初一下册数学 讲义 第10讲 实际问题与一元一次不等式 教案讲义及练习（教师版）

实际问题与一元一次不等式适用学科初中数学适用年级初一适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯.教学目标寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型.教学重点一元一次不等式组的解集和解法.灵活解一元一次不等式组，会运用不等式组的解集解决相关问题.教学难点弄清列不等式解决实际问题的思想方法.列不等式解决问题中如何建立不等式关系，并根据不等关系列出不等式.【知识导图】【教学建议】对于一元一次不等式的应用问题，关键是由实际问题向数学问题的转化过程.所以在教学过程中注重分析问题的方法，让学生学会用不等关系来解决问题.例题的选取也是从实际问题出发，让学生体会到数学与实际生活的密切联系.前面我们结合实际问题，讨论了如何根据数量关系列不等式以及如何解不等式．在本节课上，我们将进一步探究如何用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题．提出问题:某次知识竞赛共有20道题．每道题答对加10分，答错或不答均扣5分：小跃要想得分超过90分，他至少要答对多少道题？一元一次不等式的应用：例如：一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，设小明同学在这次竞赛中答对x道题，根据所给条件完成下表：答错或不答答错或不答若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题？思路分析：找不等关系是列不等式的关键，题目中的关键词语为小明竞赛成绩超过100分。解：（1）25-x,-5(25-x)(2)根据题意，得10x-5(25-x)>100,解得x>15∴小明同学至少答对16道题。根据两个不等式的解集相同，求字母的取值范围：例如：如果不等式6x<a+5和2x<4的解集相同，那么字母a的取值范围是.思路分析：可分别求出两个不等式的解集，再根据两个不等式的解集相同得出关于a的方程，从而求出a的值。解：因为2x<4的解集为x<2所以6x<a+5的解集也是x<2.所以，解得a=7.故答案：7【例题1】某地“梅花节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏梅花，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②景区游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元，公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？【答案】公司租用四座车1辆，租用十一座车6辆.【解析】设四座车租x辆，十一座车租y辆，则有解得又∵，故y=5,6当y=5时，，（舍去）∴x=1,y=6及公司租用四座车1辆，租用十一座车6辆.【例题2】绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．(1)王灿有几种方案安排甲、乙两种货车可一次性地将水果运到销售地？(2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？【答案】安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车乙种货车方案一2辆6辆方案二3辆5辆方案三4辆4辆（2）王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．【解析】(1)设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(8－x)辆，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋28－x≥20,x＋28－x≥12))，解此不等式组得2≤x≤4.∵x是正整数，∴x可取的值为2,3,4.因此安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车乙种货车方案一2辆6辆方案二3辆5辆方案三4辆4辆(2)方案一所需运费为300×2＋240×6＝2040元；方案二所需运费为300×3＋240×5＝2100元；方案三所需运费为300×4＋240×4＝2160元．∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．【例题3】为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3∶2，单价和为160元．(1)篮球和排球的单价分别是多少元？(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？【答案】（1）篮球和排球的单价分别是96元、64元．（2）共有三种购买方案：①购买篮球26个，排球10个；②购买篮球27个，排球9个；③购买篮球28个，排球8个．【解析】(1)设篮球的单价为x元，则排球的单价为eq\f(2,3)x元，据题意得x＋eq\f(2,3)x＝160，解得x＝96.故eq\f(2,3)x＝eq\f(2,3)×96＝64.所以篮球和排球的单价分别是96元、64元．(2)设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为(36－n)个．由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36－n<11,96n＋6436－n≤3200))，解得25＜n≤28.而n是整数，所以其取值为26,27,28，对应36－n的值为10,9,8，所以共有三种购买方案：①购买篮球26个，排球10个；②购买篮球27个，排球9个；③购买篮球28个，排球8个．【例题4】为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造，根据预算，共需资金1575万元，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元。请你通过计算求出有几种改造方案？【答案】（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元.（2）共有四种方案.【解析】（1）解：设改造一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元.由题意得解得答：改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元.（2）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校（6-x）所，由题意得：解得∵x取整数∴x=1,2,3,4.即共有四种方案.1.由x<y，得到ax>ay，a应满足的条件是（）A．a≥0B．a≤0C．a>0D．a<02.下列不等式一定成立的是（）A．3x<6B．-x>0C．│x│+2>0D．x2>03.下列变形不正确的是（）A．由b>5得4a+b>4a+5B．由a>b，得b<aC．由-x>2y得x<-4yD．-5x>-a得x>答案与解析1.【答案】D.

【解析】解：x<y两边都乘以a，不等式改变了方向变成ax>ay，因此由不等式性质3可知a<0．【答案】C.【解析】解：3x<6只有当x<2时才成立，同理-x>0，当x<0才成立，而x2>0当x≠0时成立，只有│x│+2>0不论x取任何实数│x│+2>0一定成立．3.【答案】D.【解析】根-5x>-a根据不等式基本性质3两边都除以-5得x<，不是x>.故D属于变形不正确的．1.若a<b<0，则-a____-b；│a│_____│b│；____．2.组成三角形的三根木棒中有两根木棒长为3cm和10cm，则第三根棒长的取值范围是_______，若第三根木棒长为奇数，则第三根棒长是_______．答案与解析1.【答案】＞、＞、＞.【解析】由a<b<0，则a，b都为负数，设a=-3，b=-2，则=-，=-，所以>，同理-a，-b，及│a││b│大小都可以确定．2.【答案】7＜第三根木棒＜13；9，11.【解析】根据三角形的边长关系定理，三角形第三边大于两边之差而小于两边之和，可得第三边的取值范围．若代数式的值不大于代数式5k＋1的值，求k的取值范围．【答案】k≥.【解析】∵代数式的值不大于代数式5k＋1的值，∴≤5k＋1，解得：k≥.本节课的学习重点是一元一次不等式在实际问题中的应用，常见的问题是方案分配问题，在解决实际问题的时候注意根据实际问题判断未知数的取值范围.1.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中，正确的是（）A．cb<abB．ac>abC．cb>abD．c+b>a+b2.若0<a<1，则下列四个不等式中正确的是（）A．a<1<B．a<<1C．<a<1D．1<<a答案与解析1.【答案】C.【解析】由数轴可知c<b<0<a，当c<b两边同乘以a,则由不等式基本性质2，ca<ab；同理当c<a两边都乘以b则由不等式基本性质3，cb>ab则已经c<a，两边都加上1，则由不等式基本性质1，c+b<a+b，因此四个选项只有C正确．2.【答案】A.【解析】因为0<a<1，设a=，=2，所以a<1<，另外由0<a<1中a<1利用不等式基本性质2，两边都除以a得1<，∴a<1<，故答案选A．1.已知3-a<，那么不等式<2a-x的解集是_______．2.有人问一位老师，所教班级有多少个学生，老师说：“一半学生在做数学，四分之一的学生在画画，七分之一的学生在读英语，还剩不足七位同学在操场上玩．”试问这个班最多有学生______个．3.小华家距离学校2.4km，某一天小华从家中出发去上学，恰好行走到一半的路程时，发现离学校上课时间只有12min，如果小华要按时到学校，那么他行走剩下的一半路程平均速度至少要到达_____．答案与解析1.【答案】x>．【分析】先求解不等式3-a<的解集a<-3再化简后面不等式<2a-x为（a+3）x<9a∵a<-3，∴a+3<0∴不等式两边同除以（a+3）时，利用不等式基本性质3，不等号方向改变解集为x>.【答案】56.【分析】设这个班最多有x个人，依题意列不等式x-（x+x+x）≤6，解得x≤56，所以这个班最多有56位同学．【答案】100m/min.【分析】设他走剩下路程速度为xm/min，依题意可列不等式12x≥×2400，x≥100所以平均速度至少要到达100m/min．已知2（1－x）<－3x，化简│x+2│－│－4－2x│.已知关于x的不等式2x-m>-3的解集如图所示求m值．3.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”（元）和“辅助员工个人奖金”（元）两种标准发放，其中，并且都是100的整数倍．注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；（2）求本次奖金发放的具体方案．4.某电信局现有600部都已申请装机的固定电话尚待装机，此外每天还有新申请装机的电话边也装机，设每天新申请装机的固定电话部数相同，若安排3个装机小组，恰好60天可将待装固定电话装机完毕；若安排5个装机小组，恰好20天可将待装固定电话装机完毕（1）求每天新申请装机的固定电话数．（2）如果要在5天内将待装固定电话装机完毕，那么电信局至少安排几个电话装机小组同时装机？答案与解析1.【答案】x+2．【分析】2（1－x）<－3x去括号，得2－2x<－3x根据不等式基本性质1，两边都加上3x，得2+x<0根据不等式基本性质1，两边都减去2，得x<－2∴x+2<0，－2x>4，∴－4－2x>0∴│x+2│－│－4－2x│=－（x+2）－（－4－2x）=－x－2+4+2x=x+2【答案】m=-1.【分析】2x-m>-3根据不等式基本性质1，两边都加上m，得2x>m-3根据不等式基本性质2，两边都除以2，得x>又∵由数轴可知x>-2，∴=-2，∴m=-1.3.【答案】解：（1）设该农机服务队有技术员工人、辅助员