九年级上册数学 讲义 第07讲 二次函数的图像及其性质（三）讲义+练习（教师版）

第7第7讲讲 二次函数的图像及其性质（三）概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点抛物线与x轴的交点；抛物线与其他直线的关系；二次函数与不等式的关系；图象法求一元二次方程的近似根教学目标掌握二次函数与一元二次方程的关系；理解二次函数与一元二次方程的区别与联系教学重点掌握二次函数与一元二次方程的关系教学难点综合运用二次函数的图象及其性质、一元二次方程的根解答问题【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入“如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”

请根据你对这句话的理解，解决下面的问题：若m，n（m<n）是关于x的方程的两根，且a<b，则a，b，m，n的大小关系是(

)本节课将主要探讨这样的问题——二次函数与一元二次方程的关系二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1二次函数与一元二次方程1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的坐标．3．当Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根,此时，抛物线与x轴有两个的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，此时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，此时，抛物线与x轴没有交点．4．设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝，x1·x2＝考点2考点2二次函数的最值三、例题精析三、例题精析类型一二次函数与一元二次方程的关系例题1例题1如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面的问题：若m，n（m<n）是关于x的方程的两根，且a<b，则a，b，m，n的大小关系是(

)A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，a，b可看作二次函数与x轴交点的横坐标，

m，n可看作直线y=1与函数交点的横坐标，如图所示，

∴．例题2例题2如图，抛物线与直线y=x的交点A，B的横坐标分别是-1和2，则关于x的不等式的解集是(

)A.B.C.D.【答案】C【解析】∵与y=x交点的横坐标分别是-1和2，

∴方程的根为-1和2，∴方程的根为1和-2，

∴与y=-x交点的横坐标分别是1和-2．

设抛物线与直线y=-x交于C，D两点，如图，

若，则，类型二二次函数的增减性及最值例题1例题1已知抛物线y=a（x-3）2+2经过点（1，-2）．

（1）求a的值；

（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【答案】解：（1）∵抛物线y=a（x-3）2+2经过点（1，-2），

∴-2=a（1-3）2+2，

解得a=-1；

（2）∵函数y=-（x-3）2+2的对称轴为x=3，

∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，

又∵抛物线开口向下，

∴对称轴左侧y随x的增大而增大，

∵m＜n＜3，

∴y1＜y2．例题2例题2二次函数，当x取值为t≤x≤t+2时，则t的取值范围是（）A．t=0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对【解析】C．∵当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，ymax=f（3）=2，与矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，，与矛盾．当3≤t，即t≥3时，与题设相等，故t的取值范围t≥3。四、课堂运用四、课堂运用基础基础点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3已知二次函数，且，则一定有（）A. B.C. D.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．答案与解析1.【答案】D【解析】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．2.【答案】A【解析】由，可知抛物线开口向下，又当时，，所以抛物线有在x轴上方的图象，必与x轴有两个交点，则方程有两个不等实根，，即可求解.解：中，∴抛物线的开口向下又当时，，∴抛物线有在第二象限的点。它的示意图如图。∴抛物线与x轴有两个交点。令，得方程有两个不相等的实数根∴故选A。3.【答案】由题意可得，x2＋x－2＝0（x-1）（x+2）=0∵将点（2,8）代入∴∴∴即为二次函数的解析式.【解析】先求出方程的两个根，再结合过已知点坐标，代入解析式即可求解4.【答案】第一象限巩固巩固如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是多少？已知二次函数有最大值2，则a、b的大小比较为（）A．a＞bB．a＜bC．a=bD．不能确定已知二次函数，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3答案与解析1.【答案】∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x=1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3【解析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（﹣1，0），又y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．2.【答案】B3.【答案】B拔高拔高在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2−2mx+m−1(m>0)与x轴的交点为A，B.(1)求抛物线的顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点。①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值．答案与解析1.【答案】解：（1）∵y=mx2-2mx+m-1=m（x-1）2-1，

∴抛物线顶点坐标（1，-1）．

（2）①∵m=1，

∴抛物线为y=x2-2x，

令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），

∴线段AB上整点的个数为3个．

②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，

∴点A在（-1，0）与（-2，0）之间（包括（-1，0）），

当抛物线经过（-1，0）时，m=当抛物线经过点（-2，0）时，m=，

∴m的取值范围为<m≤．2.【答案】（1）∵S△PBQ=PB•BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，∴；（2）由（1）知：，∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm²五、课堂小结五、课堂小结1.学习了二次函数的系数与不等式的关系；2.运用一元二次方程的根，解答关于抛物线与x轴的交点问题；3.综合运用抛物线与一元二次方程（不等式）的关系解答问题的方法和技巧。六、课后作业六、课后作业基础基础已知二次函数y=x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，则y1y2（填“＞”或“＜”）．x…0123…y…1-2-3-2…已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0()A．没有实根B．只有一个实根C．有两个实根，且一根为正，一根为负D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2.一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点()A．只有一个 B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点.二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是()A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0C．a＜0，△＞0 D．a＜0，△＜0.答案与解析1.【答案】y1＞y2．【解析】解：根据图表知，

当x=1和x=3时，所对应的y值都是-2，∴抛物线的对称轴是直线x=2，

又∵当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，

∴该二次函数的图象的开口方向是向上；

∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，

0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，

当x＞2时，y随x的增大而增大，

∴y1＞y2，

故答案是：y1＞y2．2.【答案】D．【解析】结合图象，抛物线与x轴交点个数，即可得到一元二次方程根的关系.解：由图象可得，抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，且一根小于1，一根大于2.故选D.3.【答案】B【解析】将一次函数与二次函数联立方程组，转换成关于x的一元二次方程，利用△即可求解.解：由题意得，，∴∴.∴方程有两个不相等的实数根，即一次函数与二次函数有两个交点.故选B.4.【答案】D【解析】结合二次函数开口方向即与x轴的交点的性质，即可求解.解：由题可知，要使二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值，需开口向下，即a<0；且抛物线与x轴无交点，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0无解∴△＜0.故选D.巩固巩固已知二次函数，其中为常数，且满足。试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方，还是在x轴下方？当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为已知抛物线与x轴交于A（，0），B（，0）（）。（1）求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；（2）若抛物线与y轴交于点C，且，求的值.答案与解析1.【答案】开口向下，与x轴有两个交点，物线与y轴交点在x轴上方；【解析】欲确定抛物线的开口方向，要看，还是，由，可知，得知抛物线开口向下；又，得知抛物线与y轴交点在x轴上方；再由，得知抛物线与x轴有两个交点解：∴∴抛物线开口向下；又∵，∴抛物线与y轴的交点在x轴上方；令，得∴抛物线与x轴有两个不同的交点。2.【答案】根据二次函数图象可知，y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为∴∴.【解析】根据函数顶点坐标公式，即可求解．3.【答案】（1）∵抛物线与x轴交于两点，且，令，得∴的取值范围是，且。又同为负数。∴点都在原点左侧（2）同为负数，由，得∴∵∴【解析】（1）将二次函数转化为一元二次方程，由，求出的范围；由，得出同号；再由，得出两点在原点左侧．（2）由，得出，再由，求出的解。拔高拔高已知：抛物线。（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C。试问：是否存在实数，使与相似？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由。已知二次函数（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0）.求B点坐标.答案与解析1.【答案】（1）令，得抛物线与x轴只有一个公共点，∴∴当时，抛物线与x轴只有一个公共点。（2）∵抛物线与y轴负半轴