九年级上册数学 讲义 第12讲 弦、弧、圆周角与圆心角讲义+练习（教师版）

第第12讲讲弦、弧、圆周角与圆心角概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点圆周角定理及推论.2、直径所对的圆周角是直角.3、弦、弧、圆心角教学目标理解圆周角的概念.2、掌握圆周角定理及其推论.3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.教学重点圆周角的概念和圆周角定理及其推论.教学难点圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的思想方法和完全归纳法的思想．【教学建议】本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。主要研究弧，弦，圆心角的关系。教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。对于学生而言，圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的思想方法和完全归纳法的思想是本节课的难点。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。如图所示，顶点在圆上，则得到如图的新的角∠ACB，它是什么角呢？本节课我们共同来研究这样的角.二、复习预习二、复习预习垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。三、知识讲解三、知识讲解考点1考点1圆心角、弦、弧概念1、什么是圆心角？答：顶点在圆心的角叫圆心角.2、圆心角的度数定理是什么？答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如图所示）3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中如果两条弦相等，则他们所对的圆心角、弧也相等；在同圆或等圆中如果弧相等，则他们所对的弦、圆心角也相等。考点2考点2圆周角的定理圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.考点3考点3圆周角定理的推论1、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.2、半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.考点4考点4直径所对的圆周角直径所对的圆周角：AB是直径，∠ACB是圆周角，∠ACB=90°，即半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、例题三、例题精析类型一圆心角、弦、弧例题1例题1下列语句中，正确的有（）A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧相等D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴【解析】解：A、此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故A正确；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B错误；C、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故C错误；D、任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，故D错误；故选：A．【总结与反思】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等相关知识进行解答即可．例题2例题2如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解析】解：∵∠A=50°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=50°，∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，∵点C是的中点，∴∠BOC=∠AOB=40°，故选：A．【总结与反思】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可．类型二圆周角的定理例题1例题1如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（）A．140°B．70°C．60°D．40°【解析】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，∴∠DOE=180°﹣40°=140°，∴∠P=∠DOE=70°．故选B．【总结与反思】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键

类型三圆周角定理的推论例题1例题1如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（） A．135° B．122.5° C．115.5° D． 112.5°【解析】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBC=22.5°，∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．∴∠C=（360°﹣135°）=112.5°．故选D．例题2例题2如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E=°．【解析】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC=180∘，∵∠CED=∠CAD=35∘，∴∠B+∠E=180∘+35∘=215∘.故答案为：215.类型四直径所对的圆周角例题1例题1如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（） A．116° B．32° C．58° D． 64°【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，∴∠BCD=∠A=32°．故选B．【总结与反思】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．例题2例题2如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（） A．55° B．60° C．65° D． 70°【解析】解：连结BD，如图，∵点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故选C．四、课堂运用四、课堂运用基础基础1.下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30 B．45 C．50 D．603.如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A=20°，则∠1等于（）A．40° B．45° C．50° D．60°4.如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的度数是（）A．20° B．15° C．35° D．70°答案与解析1.【答案】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；③能重合的弧是等弧，而长度相等的弧不一定能够重合，故此选项错误；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；故正确的有1个，故选：A．【解析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．2.【答案】解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB=30°；故选：A．【解析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE=60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．3.【答案】解：∵OC∥AB，∴∠C=∠A=20°，又∵∠O=2∠A=40°，∴∠1=∠O+∠C=20°+40°=60°．故选：D．【解析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．4.【答案】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=70°，∴∠B=90°﹣∠BAD=20°，∴∠ACD=∠B=20°．故选：A．【解析】首先连接BD，由AB是⊙O的直径，可求得∠ADB=90°，又由∠BAD=70°，求得∠B的度数，继而求得答案．巩固巩固1.P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26° B．28° C．30° D．32°2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA3.如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm4.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为°．5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2 B．8 C． D．2答案与解析1.【答案】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A=×32°=16°，∠ADB=×88°=44°，∵∠P+∠A=∠ADB，∴∠P=∠ADB﹣∠A=44°﹣16°=28°．故选：B．【解析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数即可．2.【答案】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【解析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．3.【答案】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3，在Rt△DOE中，DE==4，在Rt△ADE中，AD==4，故选：A．【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．4.【答案】解：连接DC，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，∵∠CAD=56°，∴∠D=90°﹣56°=34°，∴∠B=∠D=34°，故答案为：34．【解析】连接CD，根据圆周角定理求出∠ACD=90°，求出∠D，即可得出答案．5.【答案】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，∵OC2+AC2=OA2，∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，∴OC=5﹣2=3，∴BE=2OC=6，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，在Rt△BCE中，CE===2．故选：D．【解析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．拔高拔高1.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A． B．1 C． D．a2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．83.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（）A．4 B．6 C．8 D．12答案与解析1.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选：B．【解析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．2.【答案】解：如图，连接AE，则∠AED=∠BEA=90°，∴点E在以AB为直径的⊙Q上，∵AB=10，∴QA=QB=5，当点Q、E、C三点共线时，QE+CE=CQ（最短），而QE长度不变，故此时CE最小，∵AC=12，∴QC==13，∴CE=QC﹣QE=13﹣5=8，故选：D．【解析】连接AE，可得∠AED=∠BEA=90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值．3.【答案】解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8．故选：C．【解析】根据三角形内角和定理可求得∠C=∠ABC=30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长．五、课堂小结五、课堂小结本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。六、课后作业六、课后作业基础基础1.在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（）A．90° B．145° C．90°或270° D．270°或145°2.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25° B．27.5° C．30° D．35°3.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC等于（）A．65° B．35° C．70° D．55°4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°5.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是．答案与解析1.【答案】解：由题意可知：半径r=1，弦长为，根据勾股定理的逆定理可知：（）2=12+12，∴长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．故选：C．【解析】根据勾股定理的逆定理可知，的弦与半径围成的三角形是直角三角形．2.【答案】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．【解析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．3.【答案】解：∵∠D=35°，∴∠AOC=2∠D=2×35°=70°，在△AOC中，∠OAC===55°．故选：D．【解析】先根据∠D=35°可求出∠AOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠OAC的度数．4.【答案】解：连接OA，如图，∵OA=OC，∠ACO=30°，∴∠ACO=∠CAO=30°，∴∠AOC=120°，∴∠B=60°．故选：C．【解析】连接OA，要求∠B，可求与它同弧所对的圆心角∠AOC；而∠AOC是等腰三角形AOC的顶角，在已知底角的前提下可求出顶角．5.【答案】解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示．∵点B和点B′关于MN对称，∴PB=PB′．∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．∵OA=OB′=1，∴AB′=．故答案为：．【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解．巩固巩固1.已知⊙O中，=2，则弦AB和2CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．不能确定2.如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°3.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°4.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=6，则CD的长为（）A．3 B． C．6 D．5.在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径，如图，直角角尺，∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA、OB与圆的交点C、D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（）A．17 B．14 C．12 D．10答案与解析1.【答案】解：如图，取弧AB的中点E，则=，∵=2，∴==，∴AE=BE=CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选：C．【解析】如图，取弧AB的中点E，利用=2得到==，则根据圆心角、弧、弦的关系得到AE=BE=CD，再利用三角形三边的关系得AE+BE＞AB，于是有2CD＞AB．2.【答案】解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．【解析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．3.【答案】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．【解析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．4.【答案】解：∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴CE=OE=，∴CD=2CE=6，故选：D．【解析】根据圆周角定理得出∠COE=45°，进而利用垂径定理和直角三角形的性质解答即可．5.【答案】解：连接CD，∵∠AOB=90°，∴CD为圆的直径，CD=≈12，故选：C．【解析】连接CD，根据圆周角定理得到CD为圆的直径，根据勾股定理计算即可．拔高拔高1.如图，AC是⊙O直径，AC=4，∠BAC=30°，点D是弦AB上的一个动点，那么DB+OD的最小值为（）A．1+ B．1+ C． D．2．如图，点P（1，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO=45°，则点B的坐标是．3．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2=8，则AB等于．答案与解析1.【答案】解：作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE=∠BAC=30°，在Rt△DBE中，DE=BD，∴OD+BD=OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO=∠ABO=30