九年级上册数学 讲义 第14讲 正多边形和圆 讲义+练习（教师版）

正多边形和圆适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点正多边形和圆教学目标1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，正多边形内角、中心角的求法.2、掌握圆与正多边形之间的关系及其相关运算.3、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法.教学重点正多边形内角、中心角的求法，正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法.教学难点会应用圆与圆的内接正多边形的边长之间的关系解数学问题.【教学建议】从正多边形的定义出发，我们知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢?可以先带领学生探究一个，然后教师要引导学生自主探究和归纳，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识.【知识导图】观察图片，思考我们学过的正多边形圆本章我们学习的圆的知识有怎样的关系？切线长定理：切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）. 2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB，∠APO=∠BPO. 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。1、定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.3、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形.一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.4、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心.类型一与正多边形有关的概念【教学建议】主要考查正多边形的概念，熟练掌握正多边形概念是解题关键．如果一个正多边形的内角和等于900°，那么这个正多边形是（）A．正六边形 B．正七边形 C．正方形 D．正三角形【解析】根据正多边形的内角和定义（n-2）×180°列方程求解．解：（n-2）×180°=900°，n-2=5，∴n=7．下面给出五个命题（1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆.（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形.（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形.（4）正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.（5）正n边形的中心角，且与每一个外角相等.其中真命题有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】解：（1）正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；（2）各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；（3）圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；（4）边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；（5）正n边形的中心角，且与每一个外角相等．故正确的是（1）（5）．【总结与反思】利用正多边形的性质对每小题逐一进行判断即可确定真命题的个数．类型二正多边形的定义、正多边形的对称性（1）如图1，已知△PAC是圆O的内接正三角形，那么∠OAC多少度？；（2）如图2，设AB是圆O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC﹦﹒①如果α﹦45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边形是几边形？请说明理由﹒②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α应为？【解析】解：（1）∵△PAC是圆O的内接正三角形，∴∠AOC=2∠APC=2×60°=120°，∵OA=OC，；（2）①能﹒∵α=45°，∴圆内接正多边形的一个内角为90°，∴是正方形﹒②∵AC是圆的内接正n边形的一边，【总结与反思】（1）先根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可解答；（2）①假设AC是圆内接多边形的一条边，则此多边形的内角为，故此多边形是正方形；②根据正多边形内角和定理即可求出答案．如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．

（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；

（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；

（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

【解析】解：（1）方法一：

连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M．

∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，

∴OA=OB．

∵正方形ABCD，

∴OM=AB，

∴S△ABO=S正方形ABCD．

∵∠AOB=90°，

∴∠OAF=∠OBE=45度．

又∵∠A‘OC‘=90°，∠AOF+∠A‘OB=∠A‘OB+∠BOE=90°，

∴∠AOF=∠BOE．

∴△AOF≌△BOE．

∴S△AOF=S△BOE．

∴重叠部分面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF=S△ABO=S正方形ABCD．

∴S阴影=S正方形ABCD．

∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3.

方法二：过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M，N．

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∴OM=ON=AB．

∵∠ABC=90°，

∴四边形MBNO为矩形．

∵OM=ON，

∴四边形MBNO为正方形．

∴S正方形MBNO=S正方形ABCD．

∵∠FOE=90°，

∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度．

∴∠FOM=∠EON．

∴△FOM≌△EON．

∴S△FOM=S△EON．

∴重叠部分面积=S△FOM+S四边形MBEO=S四边形MBEO+S△EON=S正方形MBNO=S正方形ABCD．

∴S阴影=S正方形ABCD．

∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．（2）1：2；（3）n边形的每一个内角度数=，阴影部分对应的中心角=360°-=，

两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比=：=（n-2）：（n+2）．

但当边数超过六以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广．【总结与反思】此题考查学生的类比归纳能力，对学生能力要求较高，能正确类比总结是关键。如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数.【解析】解：(1)∠APN=60∘.∵∠APN=∠ABP+∠BAP，且点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动，∴BMˆ=CNˆ，∴∠ABP=∠NBC，∴∠APN=∠ABP+∠NBC，即∠APN=∠ABC=60∘；(2)同理：图2中,∠APN=∠ABC=90∘;图3中,∠APN=∠ABC=108∘；四、课堂运用四、课堂运用1.⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（）A．：2 B．1：1 C．1： D．：2.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（）A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S33.圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为cm2．4.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．答案与解析1.【答案】首先根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质得出EC的长，进而得出圆的内接正三角形的边长．【解析】解：如图所示：连接CO，过点O，作OE⊥CD于点E，四边形AMNB是正方形，⊙O切AB于点C，△CFD是⊙O的内接正三角形，设圆的外切正方形的边长为a，则CO=BC=，∠OCE=30°，∴CE=•cos30°=，∴这个圆的内接正三角形的边长为：2EC=，∴：a=：2．故选：A．2.【答案】解：设正六边形的边长为a，如图所示，则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为．如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；∵△ABC是等边三角形，BC=2a，∴BD=a，由勾股定理得，AD===a，∴S3=S△ABC=BC•AD=×2a×a=a2≈1.73a2．如图（2），∵四边形ABCD是正方形，∴AB=，∴S4=S□ABCD=AB2=×=a2≈2.25a2．如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴∠BOG=30°，OG===a．∴S△BOC=×a×a=a2，∴S6=6S△BOC=6×a=a2≈2.59a2．∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．∴S6＞S4＞S3．故选：B．【解析】先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据正三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可．3.【答案】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OA•cos30°，∴OA===4cm，∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．故答案为：24．【解析】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．4.【答案】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．【解析】（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．1.如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是（）A．50π﹣50 B．50π﹣25 C．25π+50 D．50π2.已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为（）A．R2 B．R2 C．6R2 D．1.5R23.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm．4.如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=s时，四边形PBQE为菱形；②当t=s时，四边形PBQE为矩形．答案与解析1.【答案】解：该餐盘的面积为3（﹣×102）+×102=50π﹣50，故选：A．【解析】由扇形面积减去三角形面积求出弓形面积，三个弓形与一个等边三角形面积之和即为餐盘面积．2.【答案】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，∠AOB=60°，OA=OB=R，则△OAB是正三角形，∵OC=OA•sin∠A=R，∴S△OAB=AB•OC=R2，∴正六边形的面积为6×R2=R2，故选：B．【解析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．3.【答案】解：作ON⊥BC于N，∵六边形DFHKGE是正六边形，∴AD=DE=DF=BF=4，∴OH=4，由勾股定理得，ON==2，则正六边形DFHKGE的面积=×4×2×6=24，设这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为h，则×4×h=24，解得，h=12，故答案为：12．【解析】作ON⊥BC于N，根据正三角形和正六边形的性质求出正六边形DFHKGE的面积，根据三角形的面积公式计算即可．4.【答案】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．故答案为2s，0s或4s．【解析】（1）只要证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明；（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，推出∠BPE=120°﹣30°=90°，推出此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形；1.已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：32.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A． B． C． D．23.（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．答案与解析1.【答案】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD；在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：3，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D．【解析】过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．2.【答案】解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r•sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即则的值是．故选：C．【解析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．3.【答案】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°，∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．（2分）（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，∴∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．（4分）（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴（7分）【解析】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．1．正多边的有关概念，正多边形与圆的关系.2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．3．运用以上的知识解决实际问题．六、课后作业六、课后作业1.如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C． D．2.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°3.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD的周长的最小值是．4.如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．答案与解析1.【答案】解：过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，∵∠ODM=∠OBN=30°，∴OB=4，DM=，DE=2，BN=2，BC=4，∴S△ABC=×4×6=12，∴S△DEF=×2×3=3，∴==4．故选：A．【解析】过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，再求得DE，BC的长，根据三角形的面积公式即可得出△DEF和△ABC的面积．2.【答案】解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=×（180°﹣150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED==30°，∴∠BED=15°+30°=45°．故选：B．【解析】根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA=30°，∠AED=30°，据此即可解答．3.【答案】解：要使△PCD的周长的最小，即PC+PD最小．利用正多边形的性质可得点C关于BE的对称点为点A，连接AD交BE于点P'，那么有P'C=P'A，P'C+P'D=AD最小．又易知ABCD为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60°，则作BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，∵AB=2，∴AM=AB=1，∴AM=DN=1，从而AD=4，故△PCD的周长的最小值为6．故答案为：6．【解析】要使△PCD的周长的最小，即PC+PD最小．易知点C关于BE的对称点为点A，连接AD交BE于点P'，那么有P'C=P'A，P'C+P'D=AD最小．又易知ABCD为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60°，则作BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，易求得AM=DN=1，从而AD=4，故△PCD的周长的最小值为6．4.【答案】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．【解析】在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．1.如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5 B．6 C．8 D．102.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．3.如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．答案与解析1.【答案】解：根据题意得：正六边形的面积=6×2=12，故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积=12﹣2=10；故选：D．【解析】由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．2.【答案】解：连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM==30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3；故答案为：3．【解析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．3.【答案】解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或，∴DE=DH=或．【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．根据∠AED=∠AOD，只要证明∠AOD=90°即可解决问题；（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．首先证明CE=AF=1，求出AC、AD，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可解决问题.1.先作半径为的第一个圆的外切正六边