人教版八年级上册数学 讲义 第13讲 分式的定义 讲义+练习（教师版）

第第13讲讲分式的定义概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、分式的概念；分是有意义的条件；分式的基本性质；约分；通分2、分式的值教学目标1、使学生了解分式概念，明确分式中分母不能为0是分式成立的条件。2、使学生理解分式的基本性质。3、使学生运用分式的基本性质对分式进行恒等变形。4、使学生在理解分式基本性质基础上对分式进行通分和约分。5、通过对分式化简的学习，渗透类比转化的数学思想。6、让学生通过实践总结分式的为0的条件，并能较熟练地解决分式为零时参数取值。7、使学生理解分式不为0的条件，通过条件求取分式的值8、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力教学重点1、理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；理解分式的基本性质；分式的通分和约分。2、分式为0，为正，为负时参数的值教学难点1、能熟练地求出分式有意义的条件，分式值为零的条件.2、灵活应用分式的基本性质将分式变形.3、灵活运用分式基本性质进行分式的通分和约分.【教学建议】本节课的主要内容是分式概念以及掌握分式有意义、分式值为0的条件.它是在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解，并以小学所学分数知识为基础，对比引出分式的概念，把学生对“式”的认识由整式扩充到有理式.学好本节课的知识,是为进一步学习分式打下扎实的基础，也是以后学习方程、函数等问题的关键.由于学生可能会用学习分数的思维定式去认知、理解分式．但是在分式中，它的分母不再是具体的数，而是抽象的含有字母的整式，会随着字母取值的变化而变化.【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：复习预习被除数÷除数=如：注意:(0不能作除数)类比：被除式÷除式=如：情境导入：面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另

一边长为

米；面积为S平方米的长方形一边长a米

，则它的另一边长为

米；一箱苹果售价P元，总重m千克，则每千克苹果的售价是

元.二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1分式的定义【教学建议】在学生已有的分数知识基础上，创设情景，产生认知冲突，引导学生开展观察特点、类比归纳、讨论交流等探究活动，在活动中向学生渗透类比思想、特殊与一般的辩证唯物主义观点.引导学生建立已有知识与新知识的联系，希望学生能够经历类比分数探究分式的情景.其中第一道小题的答案是整式，而第二道小题和第三道小题的答案就已经无法用整式来表达了，分母中出现了字母，从而引起了学生的兴趣，激发了学生的探索情趣，让学生观察，与整式有啥区别，学生观察发现，这些字母中含有字母，从而引出本节课的课题.分式的定义：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中

A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式中，a≠0；考点2考点2分式的值分式的值为0

分式的值若想为零，必须保证分式有意义，所以要求分子为零而分母不为零若分式的值为正，则分子、分母同号（同为正或同为负），即：若，则或。若分式的值为负，则分子、分母异号（一正一负），即：若，则或。考点3考点3分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示：其中A、B、C为整式（）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。三、例题三、例题精析类型一分式定义例题1例题1下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）；（2）；（3）；（4）；(5)0；（6）【解析】属于整式的有：（2）、（4）.(5)；属于分式的有：（1）、（3）（6）根据分式的定义，分式的分母必须含有字母。注意：中不要化简【总结与反思】分式的识别需要1.分母中必须含有字母；2.分子分母中有公因式不需化简的式子。（6）是学生易忽略的一类。例题2例题2【教学建议】本题主要考察分式有意义的题目，把握好分母不为0是关键。平方等非负数形式添加常数时，注意最值的选取。如，x取全体实数。当取什么值时，下列分式有意义？（1）；（2）.(3)【解析】要使分式有意义，必须且只需分母不等于零.（1）分母≠0，即≠1.所以，当≠1时，分式有意义.分母2≠0，即≠-.所以，当≠-时，分式有意义.分母≠0，即x≠1.所以，当x≠1时，分式有意义.【总结与反思】分式有意义的条件，把握分母不为零是前提关键。类型二分式的值例题1例题1要使分式的值为0，你认为x可取得数是（）A．9B．±3C．﹣3D．3【解析】由分式的值为零的条件得x2﹣9=0，3x+9≠0，由x2﹣9=0，得x=±3，由3x+9≠0，得x≠﹣3，综上，得x=3．故选D．【总结与反思】分式值为零的条件是：分子为0，且分母不为0，同时满足才可以。注意两种语言的表述：分式的值为0，或分式例题2例题2分式的值为正数的条件是（）A．x＜2 B．x＜2且x≠-1 C．-1＜x＜2D.x=2【解析】已知分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0即可．根据题意得：2-x＞0，（x+1）2≠0，∴x＜2且x≠-1，【总结与反思】分式值为正的条件：分子分母同号，分母不为0是前提。此题还有平方为非负数的参与，综合一起得出结论。例题3例题3若分式的值为负数，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x＜3C．x＜3且x≠0D．x＞-3且x≠0【解析】由于分式的分母不为0，那么此分式的分母恒为正数，若分式值为负数，则分子必为负数，可根据上述两点列出不等式组，进而可求出x的取值范围．根据题意得x-3＜0且x2≠0，解得x＜3且x≠0．【总结与反思】分式值为负的条件：分子分母异号，分母不为0是前提。此题有平方是非负数的参与，综合一起得出结论。类型三分式的基本性质例题1例题1下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）=（y≠0）；（2）=.【解析】在（1）中，题目告诉你y≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.在（2）中，可以分子、分母同除以x得到，即==.“x”如果等于“0”，就不行.在中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x≠0，但要由得到，必须有意义，即bx≠0由此可得b≠0且x≠0.（1）,因为y≠0，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同乘以y，即可得到右边，即==（2）可以分子、分母同除以x得到，即==.【总结与反思】本题是分式性质的应用，把握成立条件及隐藏条件。例题2例题2不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项的系数化为正数。（1）（2）【解析】感受分式的分子、分母的符号和分式本身的符号，有时可根据需要改变.（1）；（2）.【总结与反思】分式有三处符号，分子、分母、分式；三处中两处变化，符号不变，变一或三处，变相反。例题3例题3约分（1）；（2）【解析】分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 约分后，分子与分母不再有公因式.分子与分母没有公因式称为最简分式.（1）＝－＝－.（2）＝＝.【总结与反思】约分的前提是先将分子、分母能因式分解的因式分解，找到分子、分母的公因式，再根据分式基本性质化简即可。例题4例题4通分：（1）；（2）【解析】(1)先确定分母与的最简公分母是。然后乘以一个适当的整式。(2)先确定分母的最简公分母是（1）（2）【总结与反思】通分的前提是分子分母，先因式分解，找到分式分母间的最简公分母，利用分式性质解决问题。四、课堂运用四、课堂运用基础基础若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.若分式的值为0，则的值是（）A.﹣3B.﹣2C.0D.2化简的结果是（）A.﹣1B.1C.D.计算：=．答案与解析1.【答案】C【解析】分式有意义的条件是分母不为0.2.【答案】D【解析】分式值为0的条件是分子为0，分母不为0.3.【答案】D【解析】分式化简，先分子分母因式分解，再约分。4.【答案】y【解析】约分即可.巩固巩固使等式eq\f(7,x+2)＝eq\f(7x,x2+2x)自左到右变形成立的条件是（）A．x<0B.x>0C.x≠0D.x≠0且x≠7求分式的值：(1)；(2).当取什么值时，分式(1)没有意义？(2)有意义？答案与解析1.【答案】C【解析】分式基本性质，分子分母同乘以一个不为0的整式，分式值不变。2.【答案】见解析【解析】解：（1）当a=3时，.（2）当时，.3.【答案】见解析【解析】解：由2x-3=0，得x=当x=时，分式无意义；当x≠时，分式有意义.拔高拔高将eq\f(a2+5ab,3a-2b)中的a、b都扩大4倍，则分式的值（）A.不变B.扩大4倍C.扩大8倍D.扩大16倍把分式eq\f(x,y)中的字母的值变为原来的2倍，而缩小到原来的一半，则分式的值（）A.不变B.扩大2倍C.扩大4倍D.是原来的一半化简的结果是（）A. B. C. D.当x取何值时，下列分式的值为零？（1）（2）答案与解析1.【答案】B【解析】将eq\f(a2+5ab,3a-2b)中的a、b都扩大4倍，其分子扩大16倍，分母扩大4倍,故原分式的值扩大4倍。2.【答案】C【解析】分子括大2倍，分母缩小原来的一半，故分式的值扩大4倍。3.【答案】D【解析】分式化简属于约分，先分子分母因式分解，再约分。4.【答案】（1）（2）【解析】分式值为0，要求：分子为0，且分母不为0.即，得，又需要≠0，故。五、课堂小结五、课堂小结1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。3、分式的基本性质：（其中M是不等于零的整式）。4、应特别注意分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.5、约分的关键是找准公因式.6、分子与分母没有公因式称为最简分式.

六、课后作业六、课后作业基础基础：，分式有()A.1个B.2个C.3个D.4个如果把分式中的x和y的值都扩大5倍，那么分式的值()A.扩大5倍；B.缩小5倍；C.不改变；D.扩大25倍不改变分式的值，下列各式中成立的是()A.B.C.D.分式的值为零，则x的值为。答案与解析1.【答案】B【解析】分式定义要保证分子、分母是整式且分母中含有字母，不需化简。符合的是2.【答案】C【解析】分式中的x和y的值都扩大5倍，其分子扩大5倍，分母也扩大5倍，故分式的值不变。3.【答案】D【解析】分式基本性质，注意符号变化规律，“三”变“二”，值不变；“三”变“一”“三”，值相反。4.【答案】1【解析】分式值为0，分子为0，且分母不为0.巩固巩固下列式子中，是分式的是。当=时，分式没有意义；当时，分式有意义。如果把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（）A、扩大4倍B、扩大2倍C、不变D、缩小2倍根据分式的基本性质，分式可变形为（）A、B、C、D、答案与解析1.【答案】【解析】分式分子分母为整式，且分母中含有字母。2.【答案】≠-1【解析】分式有意义的条件是：分母≠0；无意义的条件：分母为0.3.【答案】B【解析】根据分式中的和都扩大2倍，原分式分子扩大4倍，分母扩大2倍，则原分式的值扩大2倍。4.【答案】C【解析】分式基本性质，分式符号变形规律：“三”变“二”，值不变；“三”变“一”“三”，值相反。拔高拔高使代数式÷有意义的x的值是（）A．x≠3且x≠-2B．x≠3且x≠4C．x≠3且x≠-3D．x≠-