教案初中数学人教版八年级上册2025-第十三章++三角形

第十三章三角形在小学，我们通过测量、剪拼等方法，知道三角形两边的和大于第三边，三角形内角和等于180°等结论．在本章，我们将比较系统地学习三角形的概念、三角形有关线段、三角形的内角与外角，同时进一步学习推理证明的方法．学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且可以学习一些几何研究问题的基本思路和方法．本章在整个初中数学学习中起到了承前启后的重要作用，为学生进一步学习几何知识打下了坚实的基础．13．1三角形的概念【复习导入】我们学习了关于三角形的哪些知识？你能把这些知识归纳一下吗？如果学生回答困难，教师可以细化问题，提示学生：1．画图并用语言说明怎样的图形是三角形．2．在画出的图形中标注顶点字母，指出三角形各部分的名称．课题13.1三角形的概念授课人素养目标1.结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．2．会用符号、字母表示三角形，并能按边的相等关系对三角形进行分类.教学重点三角形的表示方式.教学难点 三角形的表示方法及分类.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.说说你对三角形的了解．2．你还想了解哪些有关三角形的知识？通过回顾旧知引出新知，通过设问的方式提高学生学习的积极性.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】情景导入：如图所示的实物中，有你熟悉的图形吗？教师出示问题：问题1：观察这些图片，你能找到其中含有的三角形吗？问题2：什么样的图形叫作三角形呢？与同伴交流你找到的三角形．问题3：你能指出三角形的基本要素——边、角、顶点吗？展示几幅生活中常见的图形或图片，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生的好奇心和求知欲，进而导入本节课要研究的内容.续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．观察上述图形，然后阅读课本内容，并回答下列问题：(1)什么叫三角形？(2)三角形有几条边？有几个内角？有几个顶点？(3)三角形ABC用符号表示为________．(4)三角形ABC的边AB，AC，BC可用小写字母分别表示为________．归纳：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．三角形有三条边、三个内角、三个顶点．组成三角形的线段叫作三角形的边；相邻两边所组成的角叫作三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点．三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的三边，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．2．三角形按角分可以分成几类？按边分呢？(1)三角形按角分类如下：三角形eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直角三角形,锐角三角形,钝角三角形))(2)三角形按边分类如下：三角形eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三边都不相等的三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形))))1.提高学生的阅读水平，培养学生的自学能力．2．配备了丰富的图形和示意图，帮助学生通过视觉感知理解抽象的几何概念.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例(教材第3页例)如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AD＝DC＝AC.(1)写出以点C为顶点的三角形；(2)写出以AB为边的三角形；(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．解：(1)以点C为顶点的三角形是△ABC，△ADC；(2)以AB为边的三角形是△ABC，△ABD；(3)等腰三角形是△ABD，△ADC；等边三角形是△ADC.师生活动：学生先独立思考问题，教师进行适当点拨，鼓励学生完成，最后进行讲解并规范作答.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用【变式训练】1．如图，以CD为公共边的三角形是△CDF，△CBD；∠EFB是△BEF的内角；在△BCE中，BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；以∠A为公共角的三角形有△ABC，△ABD，△ACE．2．把表格补充完整．分类按边分类按角分类名称等腰三角形等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形三边都不相等的三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形图形序号⑥⑦②③⑤①④⑧⑨⑩⑤⑥⑦⑩⑧⑨①②③④特点三条边相等两条边相等三条边都不相等三个锐角一个钝角两个锐角一个直角两个锐角解：如表格所示.解：如表格所示.师生活动：学生先独立完成，教师巡堂并给予学习有困难的学生指导和帮助，第2题给予学生讨论的时间，最后由教师进行讲解.1.通过典型例题教会学生找到对应的三角形并且熟悉三角形的分类，能够快速识别出等腰三角形和等边三角形.2.通过变式训练的应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．留给学生充足的时间和空间思考、讨论，必要时进行恰当引导，帮助学生解决难点，培养学有余力的学生进一步提高自己运用新知识解决实际问题的能力.续表教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测【课堂检测】1．下列说法正确的是(D)①等腰三角形是等边三角形②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形③等腰三角形至少有两条边相等A．①②③B．②③C．①③D．③2．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.(1)图中共有多少个以AB为边的三角形？并把它们表示出来；(2)除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？解：(1)以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.(2)除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF，△AEF.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，进一步让学生巩固所学新知，同时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形的相关概念．2．布置作业：教材第3页练习第1，2题.通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计13.1三角形的概念eq\a\vs4\al\co1(1.三角形,的概念)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的,图形叫作三角形,边、顶点、角))2．三角形按边分类：三角形eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三边都不相等的三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形))))提纲挈领，重点突出.教学反思通过展示生活中常见的三角形实例，学生感受到数学与现实生活的紧密联系，提高学习的积极性．再通过观察、思考、分析等方式探究新知，最后再借助典型例题和课堂检测来巩固本节课所学的新知.反思，更进一步提升.详见电子资源

13.2与三角形有关的线段13．2.1三角形的边【复习导入】我们学习了关于三角形的哪些知识？你能把这些知识归纳一下吗？如果学生回答困难，教师可以细化问题，提示学生：1．三角形按边分类，有哪几种？2．我们学过哪些特殊的三角形？画图说明它们有什么典型特征．3．三角形的三边之间有什么关系？4．三角形的面积怎么求？画图说明．课题13.2.1三角形的边授课人素养目标1.理解三角形两边之和大于第三边与两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质解决问题．2．会用数学语言描述三角形的三边关系．3．了解三角形的稳定性.教学重点三角形的三边关系.教学难点 三角形的三边关系的应用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.说说你对三角形的了解．2．你还想了解哪些有关三角形的知识？通过回顾旧知引出新知，通过设问的方式提高学生学习的积极性.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】任意画一个△ABC(如图)，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？通过实例，学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生的好奇心和求知欲，进而导入本节课要研究的内容.续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．思考下列问题：(1)在一个三角形中，任意两边之和与第三边有着怎样的关系？说明你的理由；(2)在一个三角形中，任意两边之差与第三边有着怎样的关系？说明你的理由．学生活动：学生分组合作，小组讨论，通过动手试验，可以发现：三角形任意两边之差小于第三边；任意两边之和大于第三边．关键是寻找上述结论成立的理论依据，经过观察讨论(或经过教师的引导)可以发现：“两点之间，线段最短”是上述结论成立的依据．板书：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即如图，AB＋BC>AC，AB＋AC>BC，BC＋AC>AB，AC－AB<BC，BC－AC<AB，BC－AB<AC.2．三角形的稳定性如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形.1.提高学生的阅读水平，培养学生的自学能力．2．将问题引申，引导学生探索三角形的三边关系．3．让学生思考、交流三角形的三边关系．培养学生的表达能力和总结归纳能力．4．教师要注意引导学生利用符号语言描述三角形的三边关系，注意揭示图形语言与文字语言之间的联系.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第6页例)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm，则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则4＋2x＝18.解得x＝7.如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则2×4＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形．由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.1.通过典型例题向学生灌输方程思想和分类讨论思想，并对第(1)问侧重于方法的讲解，对第(2)问侧重知识点的讲解总结，让同学体会两种情况的存在．续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用例2(1)下列图形中具有稳定性是①④⑥；(只填图形序号)(2)对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．解：如图所示．师生活动：学生先独立思考问题，教师进行适当点拨，鼓励学生完成，最后进行讲解并规范作答．【变式训练】1．若等腰三角形两边的长分别为3cm和7cm，则第三边的长是7cm.2．已知：如图，D是△ABC内一点．求证：AB＋AC>BD＋CD.证明：延长BD交AC于点E，在△ABE中，AB＋AE＞BE，在△EDC中，ED＋EC＞CD，∴AB＋AE＋ED＋EC＞BE＋CD.∵AE＋EC＝AC，BE＝BD＋DE，∴AB＋AC＋ED＞BD＋DE＋CD.∴AB＋AC＞BD＋CD.师生活动：学生先独立完成，教师巡堂给学习有困难的学生以指导和帮助，第2题给予学生讨论的时间，最后由教师进行讲解.2.通过变式训练的应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．并对于难度较大的第2题，留给学生充足的时间和空间思考、讨论，必要时进行恰当引导，帮助学生解决难点，培养学有余力的学生进一步提高自己运用新知识解决实际问题的能力.活动四：课堂检测【课堂检测】1．自行车支架一般都会采用如图所示的△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是(C)A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．三角形的稳定性D．垂线段最短2．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是(C)A．2B．3C．4D．113．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a＋b|＝－a＋b＋3c.续表教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测4.已知，△ABC的三边长为4，9，x.(1)求△ABC的周长的取值范围；(2)当△ABC的周长为偶数时，求x.解：(1)∵三角形的三边长分别为4，9，x，∴9－4＜x＜9＋4，即5＜x＜13.∴9＋4＋5＜C△ABC＜9＋4＋13.即18＜C△ABC＜26.(2)∵△ABC的周长是偶数，由(1)可得△ABC的周长可以是20或22或24.∴x的值为7或9或11.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，进一步让学生巩固所学新知，同时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形的三边关系．2．布置作业：教材第7页练习第1，2题.通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计13.2.1三角形的边1．三角形三边关系：(1)三角形两边的和大于第三边；(2)三角形两边的差小于第三边．2．三角形的稳定性.提纲挈领，重点突出.教学反思通过观察、测量、分析、讨论等方式探究并归纳出三角形的三边关系．最后同学们可再借助例题和课堂检测来巩固本节课所学的新知，从而提升自身的数学思维能力及数学素养.反思，更进一步提升.详见电子资源

13.2.2三角形的中线、角平分线、高【质疑导入】如图所示，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着边BC移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，…)中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？(1)在这些线段中，有一条线段垂直于边BC；(2)有一条线段经过边BC的中点；(3)还有一条线段平分∠BAC.同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的高、中线和角平分线．这三条线段是三角形的重要线段．【复习导入】1．过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？2．已知在△ABC中，BC＝5cm，高AD＝4cm，求△ABC的面积．3．请自学三角形的高、中线、角平分线的概念，你能将它们画出来吗？学生自主学习课本的内容，弄清下面的问题：(1)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？(2)什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？(3)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？(4)三角形的高、中线和角平分线分别是线段、射线、直线中的哪一种？师生共同完成(做一做)：(1)画三角形，并在这个三角形中画出它的三条高(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高分别在哪里)，观察这三条高所在的直线的位置有何关系；(2)画三角形，并在这个三角形中画出它的三条中线(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线分别在哪里)，观察这三条中线的位置有何关系；(3)画三角形，并在这个三角形中画出它的三条角平分线(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线分别在哪里)，观察这三条角平分线的位置有何关系．课题13.2.2三角形的中线、角平分线、高授课人素养目标1.掌握三角形的中线、角平分线、高及重心的定义，以及其中体现出来的性质．2．会画三角形的中线、角平分线、高．3．会用一般到特殊的转化思想探索三角形的三条中线、三条角平分线、三条高交于一点.教学重点了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具画出三角形的高、中线与角平分线.教学难点1.三角形的角平分线与角的平分线的区别．2．钝角三角形高的画法．3．不同的三角形三条高的位置关系.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？2．什么是角的平分线？任意画一个角，画出它的角平分线． 通过画图培养学生的动手能力，同时让学生复习巩固旧知，为学习新知识做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】请同学们尝试解决下面的问题：1．你能通过测量计算，得到一张三角形纸片的面积吗？2．如果将一张三角形纸片只剪一刀，你能将其面积分成相等的两部分吗？下面我们研究完三角形中重要的线段，上面的问题便可迎刃而解．通过动手操作，激发学生强烈的好奇心和求知欲.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1.三角形的中线学生动手画、折三角形的中线，观察、猜想、验证．并提问：(1)三角形有几条中线？(2)你发现三角形的三条中线有何特点？师生活动：以上探究活动学生自主开展，并与同学进行交流．教师点拨、及时鼓励．教师可适时提出重心的概念，并提醒学生重心的位置．2．三角形的角平分线通过几何画板画一个△ABC的平分线，并提问：(1)三角形有几条角平分线？(2)你发现三角形的三条角平分线有何特点？(3)三角形三条角平分线是否交于一点？3．三角形的高线(事先让学生准备三个三角形纸片)给出一个△ABC，请你画出△ABC的高．提问：(1)你用什么画出三角形的高？(2)高有几条？(3)能用折纸的方法找出你准备好的三角形的高吗？(4)你发现用折纸折出的高与用三角板画出的高一致吗？(5)你发现三角形的三条高有何特点？请同学们拿出已准备好的其中一个三角形纸片，回答以上问题．4．探究三角形的三条中线、三条角平分线、三条高交于一点(1)分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察所作的图形，看看你有什么发现？(2)分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察所作的图形，看看你有什么发现？(3)分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察所作的图形，看看你有什么发现？师生共同归纳：三角形的三条中线相交于一点，三条角平分线相交于一点，三条高所在直线相交于一点.1.探究活动的设计是为了引导学生理解并掌握三角形的中线、角平分线、高的定义．通过动手实践，探究新知，培养学生的动手能力．2．通过动手操作，培养学生从一般到特殊的转化思想．3．经历思考、交流，归纳出三角形三条线段的画法及其性质.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1下列说法正确的是②④(只填序号)．①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．例2如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．(1)写出图中所有相等的角和相等的线段；(2)当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．解：(1)∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE.∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF.图中所有相等的角和相等的线段分别为∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC，BF＝CF.(2)∵BF＝CF，BF＝8cm，AD＝7cm，∴BC＝2BF＝2×8＝16(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×16×7＝56(cm2)．答：△ABC的面积是56cm2.师生活动：学生独立完成作答，教师对三角形的高、中线与角平分线进行强调．【变式训练】如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为边BC上的中线．DF为△ABD的边AB上的中线．已知AB＝8cm，AC＝5cm，△ABC的面积为8cm2.(1)△ABD与△ACD的周长之差是3__cm；(2)△ABD的面积是4__cm2；(3)△ADF的面积是2__cm2．师生活动：学生独立完成作答，教师对学习有困难的学生给予及时指导和帮助.1.通过应用新知，实践体验成功，学生能熟练应用三角形的中线与角平分线、高有关的数学问题．2．通过变式训练，学生进一步巩固和应用所学的知识，提高学生分析问题、解决问题的能力.续表教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测【课堂检测】1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是(D)A)B)C)D)2．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE＝2，AF＝3，填空：(1)BE＝CE＝eq\f(1,2)BC；(2)∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC；(3)∠AFB＝∠AFC＝90°；(4)S△AEC＝3．3．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2cm，S△ABD＝1.5cm2，求BC和DC的长．解：∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2cm，S△ABD＝1.5cm2，∴S△ADC＝S△ABD＝1.5cm2.∴eq\f(1,2)CD·AE＝1.5cm2.∴CD＝1.5cm.∴BC＝2×1.5＝3(cm)．综上所述，BC和DC的长分别是3cm，1.5cm.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形的高、中线与角平分线的相关结论．2．布置作业：教材第8～9页练习第1，2题.通过课堂小结的形式，学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计13.2.2三角形的中线、角平分线、高三角形中的主要线段eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(中线,角平分线,高))提纲挈领，重点突出.教学反思画直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点，教师要多鼓励学生动手操作，交流探讨，使学生掌握高的画法，尤其是钝角三角形的高的画法.反思，更进一步提升.详见电子资源

13.3三角形的内角与外角13．3.1三角形的内角第1课时三角形的内角和【复习导入】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝85°.(1)求∠DAB的度数；(2)求∠EAC的度数；(3)求∠BAC的度数；(4)通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？解：(1)∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝44°.(2)∵DE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝85°.(3)∵直线DE经过点A，∴∠DAE＝180°.∴∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°.∴∠BAC＝180°－44°－85°＝51°.(4)∵DE∥BC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.即三角形的内角和是180°.课题13.3.1第1课时三角形的内角和授课人素养目标1.理解三角形的内角和定理的内容，能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题．2．会用平行线的性质推出三角形的内角和定理.教学重点理解三角形的内角和定理及证明.教学难点三角形的内角和定理的推理过程.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形内角和是多少？2．平行线的性质有哪些？让学生回顾旧知，为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种方法能证明任意三角形的内角和等于180°呢？教师提出问题，引发学生思考.通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次验证，并不能对所有的三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和都等于180°的方法．为后面的证明做准备.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．在准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码，如图1.2．量一量：每个角各是多少度？三个内角的和是多少？3．动动手：将一个三角形的两个角剪下来拼合在一起(如图2)会形成什么角？4．想一想：小组内观察比较，会得到什么结论？5．证一证：几种常见的验证方法的辅助线作法．经过师生的合作交流，归纳出如下的解题方法：6．定理三角形三个内角的和等于180°.学生活动：将事先准备好的三角形的三个角拼合在一起，观察思考可以得出什么结论．分组交流与研讨，并抽一名学生说一说本组的方法．教师活动：指导拼合形成平角．深入参与活动，指导、倾听学生交流，引导多种方法说明．在测量、拼图等感性活动的基础上，引导学生利用添加辅助线的方法说明.1.进一步增强学生的感性认识，通过动手操作、试验说明，以引起学生体会理论说明的过程．2．培养学生合作学习，降低知识学习难度，培养其多元化思维，让学生体验数学活动充满探索．3．通过对三角形内角和定理的证明，培养学生的逻辑推理与解决问题的能力.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1(教材第12页例1)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝20°.在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°.例2(教材第12页例2)下图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由AD∥EB，得∠BAD＋∠ABE＝180°.所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝100°－40°＝60°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.师生活动：学生独立思考并分小组讨论，教师注意引导学生在遇到方位角问题时在图中进行角度标记，方便求解．【变式训练】1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B＝(C)A．50°B．55°C．45°D．40°2．如图，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，填空完成对∠A和∠P的数量关系的探索．解：∵BP平分∠ABC(已知)，∴∠PBC＝eq\f(1,2)∠ABC(角平分线的定义)．同理，得∠PCB＝eq\f(1,2)∠ACB.∵∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，∴∠P＝180°－∠PBC－∠PCB(等式的性质)＝180°－eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)(等量代换)＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°＋eq\f(1,2)∠A．师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时给予回答正确的同学以肯定.1.通过典型例题进一步巩固新知，培养学生的思维习惯及逻辑论证能力．2．分小组讨论，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生充足的空间，激发其学习的积极性，建立学好数学的自信心．3．通过变式训练结合前面所学的利用三角形内角和解决问题，提高学生对方程思想、整体思想的认知.续表教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为(A)A．10°B．15°C．20°D．25°第1题图)第2题图)2．如图，x的值为60．3．如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B＝52°，∠C＝78°，求∠BAE的度数．解：在△ABC中，∵∠B＝52°，∠C＝78°，∴∠BAC＝180°－52°－78°＝50°.∵AE是角平分线，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×50°＝25°.故∠BAE的度数为25°.4．在△ABC中，已知∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋25°，求∠A的度数．解：∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋25°，∴∠C＝∠A＋10°＋25°＝∠A＋35°.由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以，∠A＋∠A＋10°＋∠A＋35°＝180°.解得∠A＝45°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次对学生进行检测，达到让学生学有所成，了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳三角形内角和的证明方法及计算常用的思想．2．布置作业：教材第13页练习第1，2题.通过课堂小结的形式，学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计13.3.1三角形的内角第1课时三角形的内角和1．三角形的内角和定理的证明．2．三角形的内角和定理的应用.提纲挈领，重点突出.教学反思本节课先让学生动手操作以便使学生对三角形的内角和有一定的认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅入深，循序渐进，学生易接受.反思，更进一步提升.详见电子资源

第2课时直角三角形的两个锐角互余【情境导入】如图，将一根旗杆MN竖直固定在地面上，为了安全起见，在旗杆的点A处安装拉线，使拉线AB与旗杆的夹角∠BAN＝58°，为了保证角度准确，在地面固定拉线端点B时，应使拉线与地面的夹角∠ABN的度数是多少？∠CAN与∠ACN又满足什么样的数量关系？一个火柴游戏你能只用六根火柴摆出12个直角三角形吗？看到这个问题，可能很多同学都是随口就回答，不可能！但真的是这样吗？请大家不妨看下面的图：通过清点发现，确实有12个直角三角形，你也可以用一张纸片进行验证，想一想怎么说明这12个三角形都是直角三角形．课题13.3.1第2课时直角三角形的两个锐角互余 授课人素养目标1.掌握直角三角形的两个锐角互余这个定理，能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”对直角三角形进行判定．2．会通过观察、操作、证明等数学活动，研究直角三角形的特征.教学重点 直角三角形中两锐角的关系.教学难点 识别基本图形，正确应用直角三角形的性质与判定进行解题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形的内角和是多少？2．直角三角形的角度特点是什么？让学生回顾旧知，为学习新知做好准备.续表教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】1．我们学习几何知识，通常先学习一般图形，再学习特殊图形，上节课我们学习了一般三角形的一个重要性质，就是三角形的内角和定理，它反映了三角形三个内角之间的关系，今天我们学习有一个特殊内角的三角形——直角三角形．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图所示的直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”．2．直角三角形作为特殊的三角形，其内角之间还有什么独特的性质呢？(导出并板书)通过新旧知识的衔接，由一般到特殊的过程，引出直角三角形的内角关系，并为研究直角三角形的锐角之间关系提供理论支撑.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．直角三角形的性质(1)测量角度：用量角器分别测量直角三角形两个锐角的度数，精确到度，看它们是否互余；(2)猜想结论：多次测量后，得到共同的结论“直角三角形的两个锐角互余”；(3)推理证明：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＋90°＝180°.∴∠A＋∠B＝180°－90°＝90°.(4)结论表述：证明后的结论可以作为定理使用，这个结论“直角三角形的两个锐角互余”可以看作三角形内角和定理的一个推论．2．直角三角形的判定教师提问：把以上推论的条件和结论反过来，即得“有两个角互余的三角形是直角三角形”，这个结论成立吗？请证明你的结论．学生活动：独立画图，写出已知、求证，并证明．教师点拨：在没有证明三角形是直角三角形之前，不能默认它是直角三角形，比如：不能给三角形标注直角符号.1.类比三角形内角和定理的研究方法探究直角三角形的两个锐角之间的关系，体现了由一般到特殊的学习过程，并提供数学研究中常用的思想方法：类比思想，它对数学学习具有非常重要的指导意义．2．通过猜想、证明、归纳的过程加强学生的自主学习能力及逻辑推理能力．3．渗透逆向思维，让学生对互逆命题和互逆定理有一个初步的感性认识，暂不出现这两个概念.活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1(教材第14页例3)如图所示，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在△DBE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.1.通过典型例题进一步巩固提高学生应用直角三角形的性质解决具体问题的能力，培养学生推理的严谨性和书写的规范性.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用例2如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP平分∠AEF，FP平分∠EFC.(1)求证：△EPF是直角三角形；(2)若∠PEF＝30°，求∠PFC的度数．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°.又∵EP平分∠AEF，FP平分∠EFC，∴∠PEF＋∠PFE＝eq\f(1,2)(∠AEF＋∠CFE)＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴△EPF是直角三角形．(2)∵△EPF是直角三角形，∠EPF＝90°，∠PEF＝30°，∴∠PFE＝90°－30°＝60°.又∵FP平分∠CFE，∴∠PFC＝60°.师生活动：学生分小组讨论，教师巡堂并给予指导帮助，最后分小组进行提问，最后教师进行讲解并规范解答过程．【变式训练】1．如图所示，△ABC，△CDE均为直角三角形，且∠B＝45°，∠D＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，且CF平分∠DCE，∴∠FCE＝∠DCF＝eq\f(1,2)∠DCE＝45°.又∵∠B＝45°，∴∠FCE＝∠B.∴CF∥AB.(2)由(1)知，∠DCF＝45°.在△DCF中，∵∠D＝30°，∴∠DFC＝180°－∠D－∠DCF＝180°－45°－30°＝105°.2.在小组讨论及合作过程中，培养学生的互助精神和团队意识.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用2.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？(3)如图3，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？解：(1)∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠DCB＝∠B＋∠DCB＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)△ADE是直角三角形，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠ADE＝∠B，∴∠A＋∠ADE＝90°.∴∠AED＝90°.∴△ADE是直角三角形．(3)∠A＋∠D＝90°，理由如下：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵AB⊥BD，∴∠ABC＋∠DBE＝90°.∴∠A＝∠DBE.在Rt△DBE中，∠DBE＋∠D＝90°，∴∠A＋∠D＝90°.师生活动：学生独立思考及分小组讨论后，派学生代表进行讲解，最后师生共同订正完善.3.通过变式训练提高学生对新知识的综合应用能力，增强学生学习数学的信心.活动四：课堂检测【课堂检测】1．下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有①②③．(填序号)续表教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测2.如图，BD⊥AC，∠1＝∠2，∠C＝66°，求∠ABC的度数．解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)×90°＝45°.∵∠C＝66°，∴∠ABC＝180°－∠C－∠A＝69°.3．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．证明：∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝90°.∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，∴∠AOE＝∠B.∵∠BAC＋∠B＝90°，∴∠BAC＋∠AOE＝90°.∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，进一步让学生巩固所学新知，同时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳直角三角形的性质及判定．2．布置作业：教材第14页练习第1，2题.通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计13.3.1三角形的内角第2课时直角三角形的两个锐角互余1．回顾三角形的内角和定理．2．直角三角形的两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余．3．直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.提纲挈领，重点突出.教学反思本课时起点顺畅自然，适合绝大多数学生．典型例题和课堂检测，都强化了重点知识的学习，突出了数学学习的本质特征.反思，更进一步提升.详见电子资源

13.3.2三角形的外角【质疑导入】由A，B两块较长钢板搭建的人字架如图所示，资料表明，当∠1＝70°，∠3＝110°时，人字架最稳定，由于客观原因，∠3不可能度量，那么当∠2为多少度时，人字架最稳定？课题13.3.2三角形的外角授课人素养目标1.了解三角形的外角．2．会用数学的语言表达三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．3．会用简单的说理来计算三角形相关的角.教学重点三角形外角的性质.教学难点运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确推理.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形的内角和定理是什么？2．邻补角的定义是什么？3．如图，把△ABC的一边BC延长至点D，则∠ACD是三角形的内角吗？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？让学生回顾旧知为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】前面我们证明了三角形的内角和定理，它的证明思路是通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，这样就可以证明三角形的内角和等于180°.在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫作△ABC的一个外角，如图．那么三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.复习旧知识，引导学生用类比思想得到三角形外角的性质，进一步锻炼学生的动手操作能力和语言表达能力.续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．三角形的外角的定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形的外角的特征：(1)顶点在三角形的一个顶点上；(2)一条边是三角形的一边；(3)另一条边是三角形某条边的延长线.把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角．可以得到：一个三角形有6个外角，其中有3个与另外3个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的3个外角的性质．2．三角形的内角和定理的推论如图所示，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？∵∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝180°－∠4，∠1＝180°－∠4.∴∠1＝∠2＋∠3.师生共同归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻