高中数学选修一 导学案 1.2.2　第2课时　空间中平面与平面平行、垂直的证明

第2课时空间中平面与平面平行、垂直的证明(教师独具内容)课程标准：能用向量语言表述平面与平面的垂直与平行关系．教学重点：1.用向量方法解决平面与平面平行、垂直的证明问题.2.三垂线定理及其逆定理．教学难点：三垂线定理及其逆定理的应用．核心素养：通过运用平面的法向量证明面面平行与垂直培养逻辑推理素养和直观想象素养．知识点一平面与平面平行、垂直的判定已知n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔eq\x(\s\up1(01))α1⊥α2；n1∥n2⇔eq\x(\s\up1(02))α1∥α2，或α1与α2重合．知识点二三垂线定理及其逆定理(1)射影①已知空间中的平面α以及点A，过A作α的eq\x(\s\up1(01))垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是eq\x(\s\up1(02))点A在平面α内的射影(也称为投影)．②空间中，图形F上eq\x(\s\up1(03))所有点在平面α内的eq\x(\s\up1(04))射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影．(2)三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内的eq\x(\s\up1(05))一条直线与平面的一条斜线在该平面内的eq\x(\s\up1(06))射影垂直，则它也和这条斜线垂直．②三垂线定理的逆定理：如果平面内的eq\x(\s\up1(07))一条直线和这个平面的eq\x(\s\up1(08))一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．[点拨](1)从条件上看，三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直．(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，而逆定理正好相反．(3)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线．1．(平面与平面平行)已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是()A．(4，2，－2) B．(2，0，4)C．(2，－1，－5) D．(4，－2，2)答案：D2．(平面与平面垂直)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．答案：53．(三垂线定理及其逆定理)已知菱形ABCD的对角线相交于点O，平面ABCD外有一点P，且PO⊥平面ABCD，则直线PA与BD所成的角等于________．答案：90°题型一利用空间向量证明面面平行例1如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点，AB＝2，DE＝4.求证：平面BDM∥平面EFC.[证明]因为DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以DA，DC，DE两两垂直．以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，4)，F(2，2，4)，M(1，0，2)．所以eq\o(DM,\s\up6(→))＝(1，0，2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(2，0，4)．设平面BDM的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DM,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋2z1＝0，,2x1＋2y1＝0.))令z1＝1，得x1＝－2，y1＝2.所以n1＝(－2，2，1)．设平面EFC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(CF,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＋2y2＝0，,2x2＋4z2＝0.))令x2＝1，得y2＝－1，z2＝－eq\f(1,2).所以n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f(1,2))).因为n2＝－eq\f(1,2)n1，所以n1∥n2.所以平面BDM∥平面EFC.【感悟提升】证明面面平行的三种方法(1)通过向量的坐标运算，得到两平面的法向量后，通过证明两法向量共线而得到结论．(2)通过向量的坐标运算，得到某一平面的法向量后，通过证明该法向量与另一平面也垂直而得到结论．(3)通过向量的坐标运算，得到线线或线面平行后，再证明面面平行．【跟踪训练】1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)．设Q(0，2，c)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－1，0)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(－2，0，c)，eq\o(D1Q,\s\up6(→))＝(0，2，c－2)．设平面PAO的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(OA,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(OP,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,－x－y＋z＝0，))令x＝1，则y＝1，z＝2，∴n1＝(1，1，2)．若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量，∴n1·eq\o(BQ,\s\up6(→))＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，此时n1·eq\o(D1Q,\s\up6(→))＝0，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.题型二利用空间向量证明面面垂直例2如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)求证：AP⊥BC；(2)若M是线段AP上一点，且AM＝3.证明：平面AMC⊥平面BMC.[证明](1)以O为原点，过点O且平行于CB的直线为x轴，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的方向分别为y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，3，4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8，0，0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0×(－8)＋3×0＋4×0＝0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC.(2)∵PO⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，∴PO⊥AO.∵PO＝4，AO＝3，∴AP＝5，∵M为AP上一点，且AM＝3，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,5)，\f(12,5)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5)))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(16,5)，\f(12,5))).设平面BMC的一个法向量为n＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(BM,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CM,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4a－\f(16,5)b＋\f(12,5)c＝0，,4a－\f(16,5)b＋\f(12,5)c＝0，))令b＝1，则n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(4,3))).设平面AMC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AM,\s\up6(→))＝0，,m·\o(CM,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)y＋\f(12,5)z＝0，,4x－\f(16,5)y＋\f(12,5)z＝0，))令x＝5，则m＝(5，4，－3)，由n·m＝0×5＋1×4＋eq\f(4,3)×(－3)＝0，得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC.【感悟提升】证明面面垂直的三种方法(1)证明一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直．(2)证明两平面的法向量垂直．(3)证明其中一个平面的法向量平行于另一个平面．【跟踪训练】2．在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：(1)平面EFG⊥平面PBC；(2)EG⊥BC，PG⊥EG.证明：(1)证法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3，0，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1，0，0)，故eq\o(PA,\s\up6(→))＝3eq\o(FG,\s\up6(→))，∴PA∥FG.又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，令PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)．设平面EFG的一个法向量是n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,x－y－z＝0，))令y＝1，得x＝0，z＝－1，即n＝(0，1，－1)．显然eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量．∵n·eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，∴n⊥eq\o(PA,\s\up6(→))，∴平面EFG⊥平面PBC.(2)∵eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，－3，3)，eq\o(PG,\s\up6(→))＝(1，1，0)，∴eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3－3＝0，eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(PG,\s\up6(→))＝1－1＝0，∴EG⊥BC，PG⊥EG.题型三三垂线定理及其逆定理的应用例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB.[证明]证法一：如图，取F，G分别为DD1，AD的中点，连接EF，FG，GO.由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影，CO为EO在平面ABCD上的射影．又A1D⊥FG，∴A1D⊥EO(三垂线定理)．又AC⊥BD，∴EO⊥BD(三垂线定理)．又A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1DB，∴EO⊥平面A1DB.证法二：如图，连接A1O，A1E，A1C1，设正方体的棱长为2，由证法一知BD⊥EO，又EO2＝(eq\r(2))2＋12＝3，A1O2＝22＋(eq\r(2))2＝6，A1E2＝(2eq\r(2))2＋12＝9.∴A1E2＝EO2＋A1O2.∴A1O⊥EO，又A1O⊂平面A1DB，BD⊂平面A1DB，且A1O∩BD＝O，∴EO⊥平面A1DB.【感悟提升】用三垂线定理及其逆定理证明直线与直线垂直的关键是构造三垂线定理的基本图形．构造基本图形有以下三个环节：【跟踪训练】3．如图，P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，且PQ∩AO＝E，求证：OQ⊥平面PBC.证明：如图，连接BO并延长交AC于点F，连接BQ并延长交PC于点M，连接FM.∵O是△ABC的垂心，∴BC⊥AE，∵Q是△PBC的垂心，∴BC⊥PE，又AE∩PE＝E，AE，PE⊂平面PAE，∴BC⊥平面PAE，∵OQ⊂平面PAE，∴OQ⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥PA，∵O是△ABC的垂心，∴BF⊥AC.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BF⊥平面PAC，则FM是BM在平面PAC上的射影，∵Q为△PBC的垂心，∴BM⊥PC，由三垂线定理的逆定理，得FM⊥PC，又BM∩FM＝M，BM，FM⊂平面BFM，∴PC⊥平面BFM，又OQ⊂平面BFM，∴OQ⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴OQ⊥平面PBC.1．两个不同的平面α和β，平面α的一个法向量为v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v2＝(2，4，2)，则平面α与平面β()A．平行 B．垂直C．相交 D．不能确定答案：A解析：由题意知v1＝(1，2，1)，v2＝(2，4，2)，则v2＝2v1，即v1，v2共线，则α∥β.故选A.2．平面α的一个法向量为(3，1，－2)，平面β的一个法向量为(－1，1，k)，若α⊥β，则k＝()A．－2 B．2C．1 D．－1答案：D解析：因为α⊥β，所以3×(－1)＋1×1＋(－2)×k＝0，解得k＝－1.故选D.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D与BD1的位置关系为()A．相交 B．平行C．垂直 D．无法判断答案：C解析：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面ADD1A1，故BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1.故选C.4．(多选)已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是()A．v1∥v2⇔l1∥l2 B．v1⊥n1⇔l1⊥αC．n1∥n2⇔α∥β D．n1⊥n2⇔α⊥β答案：ACD解析：对于A，v1∥v2⇔l1∥l2，A正确；对于B，v1⊥n1⇔l1⊂α或l1∥α，B错误；对于C，n1∥n2⇔α∥β，C正确；对于D，n1⊥n2⇔α⊥β，D正确．故选ACD.5．已知平面α的一个法向量为(2，－4，－2)，平面β的一个法向量为(－1，2，k)，若α∥β，则k＝________．答案：1解析：因为α∥β，所以两平面的法向量共线，所以存在唯一实数λ，使得(－1，2，k)＝λ(2，－4，－2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝2λ，,2＝－4λ，,k＝－2λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝1.))课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点利用空间向量判断两个平面的位置关系根据面面垂直求参数三垂线定理的逆定理利用空间向量判断两个平面的位置关系利用空间向量判断线线、线面、面面的位置关系根据面面平行求参数利用空间向量判断面面垂直题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点三垂线定理利用空间向量证明线面垂直；利用空间向量证明面面平行利用空间向量证明线面垂直；利用空间向量证明面面垂直利用空间向量判断线线、线面、面面的位置关系根据面面垂直求参数利用空间向量证明面面平行；关于线面平行的探索性问题利用空间向量证明线面平行；利用空间向量证明面面垂直一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确答案：C解析：因为eq\f(2,－3)≠eq\f(－3,1)，且u·v≠0，所以α，β相交但不垂直．2．(多选)若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，且α⊥β，n1＝(1，2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值可能是()A．1 B．2C．－1 D．－2答案：CD解析：因为α⊥β，所以n1·n2＝(1，2，x)·(x，x＋1，x)＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2.故选CD.3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是点P在平面ABC内的射影，则点G是△ABC的()A．内心 B．外心C．垂心 D．重心答案：C解析：连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为PA，PB在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以点G是△ABC的垂心．故选C.4．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对答案：A解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，－1)，易知A，B，C三点不共线，n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－1×1＋(－1)×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).∴n也为平面α的一个法向量，又α与β不重合，∴α∥β.5．(多选)下列命题中为真命题的是()A．直线l的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的一个方向向量为b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，则l与m垂直B．直线l的一个方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥αC．平面α，β的法向量分别为n1＝(2，1，4)，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，且α与β不重合，则α∥βD．平面α经过A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)三点，向量n＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u＋t＝1答案：ACD解析：对于A，因为a＝(1，－1，2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，所以a·b＝1×2＋(－1)×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，所以a⊥b，所以直线l与m垂直，A是真命题；对于B，因为a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，所以a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，B是假命题；对于C，因为n1＝(2，1，4)，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，所以n1＝2n2，n1与n2共线，所以α∥β，C是真命题；对于D，因为A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)．因为向量n＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋u＋t＝0，,－1＋u＝0，))则u＋t＝1，D是真命题．故选ACD.二、填空题6．设平面α，β的法向量分别为m＝(1，－2，3)，n＝(－3，y，z)．若α∥β，则y＋z＝________．答案：－3解析：因为α∥β，所以m∥n，可得m＝λn，又m＝(1，－2，3)，n＝(－3，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝－3λ，,－2＝λy，,3＝λz，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,y＝6，,z＝－9，))则y＋z＝－3.7．已知a＝(1，1，0)，b＝(1，－1，0)，c＝(0，0，－3)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．答案：3解析：因为a·b＝(1，1，0)·(1，－1，0)＝1－1＋0＝0，故a⊥b，所以α⊥β；因为a·c＝(1，1，0)·(0，0，－3)＝0，故a⊥c，所以α⊥γ；因为c·b＝(0，0，－3)·(1，－1，0)＝0，故c⊥b，所以γ⊥β，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有3对．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为________．答案：垂直解析：取CD的中点P′，连接PP′，AP′，MP′，易知PP′⊥平面ABCD，所以MP′为PM在平面ABCD内的射影，由题意，得AM＝eq\r(6)，MP′＝eq\r(3)，AP′＝3，所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，由三垂线定理知AM⊥PM.三、解答题9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D交于点H.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系，设AB＝a，则B1(0，0，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0))，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，0，0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0＋0＋0＝0，eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0＋4－4＝0，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(B1D,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知eq\o(B1D,\s\up6(→))是平面ABD的一个法向量，eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，0))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，1，－1)．设平面EGF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(GF,\s\up6(→))·n＝0，,\o(EF,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)x＝0，,y－z＝0，))令y＝1，得x＝0，z＝1，所以n＝(0，1，1)．因为eq\o(B1D,\s\up6(→))＝2n，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))∥n，所以平面EGF∥平面ABD.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点．求证：(1)D1F⊥平面ADE；(2)平面A1D1F⊥平面ADE.证明：(1)以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，由已知，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，D1(0，0，1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，-1))．设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))·n1＝0，,\o(DE,\s\up6(→))·n1＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x1＋y1＋\f(1,2)z1＝0，))取z1＝2，得n1＝(0，－1，2)．∵n1＝－2eq\o(D1F,\s\up6(→))，∴n1∥eq\o(D1F,\s\up6(→))，∴D1F⊥平面ADE.(2)由(1)可得A1(1，0，1)，∴eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，设平面A1D1F的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(A1D1,\s\up6(→))·n2＝0，,\o(D1F,\s\up6(→))·n2＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＝0，,\f(1,2)y2－z2＝0，))取y2＝2，得n2＝(0，2，1)．∵n1·n2＝0×0＋(－1)×2＋2×1＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1D1F⊥平面ADE.11．(多选)已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的一个法向量为n1＝(2，－3，1)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1，1)，则()A．AB⊥ACB．AB∥平面αC．平面ABC⊥平面αD．平面ABC∥平面α答案：BD解析：对于A，因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1－2＝－1≠0，所以AB与AC不垂直，故A错误；因为eq\o(AB,\s\up6(→))·n1＝2－2＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·n1＝2－3＋1＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥n1且eq\o(AC,\s\up6(→))⊥n1，又AB∩AC＝A，所以n1⊥平面ABC.又因为n1是平面α的一个法向量，且平面α与平面ABC不重合，从而平面ABC∥平面α，AB∥平面α，故B，D正确，C错误．故选BD.12．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD＝2，CD＝3，侧面A1ADD1为菱形，∠A1AD＝60°，O，M分别为AD，CD的中点，N为线段AB上一点，当AN＝________时，平面DNC1⊥平面A1OM.答案：eq\f(4,3)解析：连接A1D，因为四边形A1ADD1为菱形，AD＝2，所以AA1＝2，又∠A1AD＝60°，所以△A1AD为等边三角形，又O为AD的中点，所以A1O⊥AD，又平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，A1O⊂平面A1ADD1，所以A1O⊥平面ABCD，以O为原点，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A1(0，0，eq\r(3))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)，0))，D(－1，0，0)，C1(－2，3，eq\r(3))，设点N(1，t，0)，平面DNC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，eq\o(DN,\s\up6(→))＝(2，t，0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1，3，eq\r(3))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DN,\s\up6(→))＝2x1＋ty1＝0，,m·\o(DC1,\s\up6(→))＝－x1＋3y1＋\r(3)z1＝0，))取x1＝eq\r(3)t，则y1＝－2eq\r(3)，z1＝t＋6，可得m＝(eq\r(3)t，－2eq\r(3)，t＋6)，设平面A1OM的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，eq\o(OA1,\s\up6(→))＝(0，0，eq\r(3))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)，0))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(OA1,\s\up6(→))＝\r(3)z2＝0，,n·\o(OM,\s\up6(→))＝－x2＋\f(3,2)y2＝0，))取x2＝3，则y2＝2，z2＝0，可得n＝(3，2，0)，因为平面DNC1⊥平面A1OM，则m·n＝3×eq\r(3)t＋2×(－2eq\r(3))＝3eq\r(3)t－4eq\r(3)＝0，解得t＝eq\f(4,3).因此当AN＝eq\f(4,3)时，平面DNC1⊥平面A1OM.13．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求证：平面A1C1B∥平面ACD1；(2)线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1?解：(1)证明：由题意，知DA，DC，DD1两两互相垂直，以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．由题意知A(3，0，0)，B(3，4，0)，C(0，4，0)，A1(3，0，2)，B1(3，4，2)，C1(0，4，2)，D1(0，0，2)，则eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－3，4，0)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0，4，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，4，0)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－3，0，2)．设平面A1C1B的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1C