第1课时 等边三角形的性质和判定

【R·数学八年级上册】第1课时等边三角形的性质和判定15.3.2等边三角形学习目标合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识.探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力.

回顾导入名称图形定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形叫作等腰三角形等腰三角形两腰相等两边相等的三角形等边对等角等角对等边三线合一轴对称图形ABC回顾导入ABC等腰三角形：ABC特殊的等腰三角形等边三角形三条边都相等探究新知1.等边三角形的性质探究把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？1.从边的角度比较，等边三角形的三条边有什么数量关系？ABC等边三角形的三条边都相等如图，∵△ABC

是等边三角形，∴AB=

BC=AC.几何语言：1.等边三角形的性质2.从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？ABCAB=

ACAB=

BC=AC∠B=∠C？∵AB=BC，∴∠B=∠C(等边对等角).同理∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.2.从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？ABC等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.如图，∵△ABC

是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.几何语言：1.等边三角形的性质3.从“三线合一”的角度比较，等边三角形的“三线”有什么关系？ABC等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.等边三角形有三条对称轴.1.等边三角形的性质对比：等腰三角形与等边三角形的性质等腰三角形等边三角形图形性质两条边相等两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线重合1条对称轴三个角都相等，且都等于60°每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合3条对称轴三边都相等针对训练教材P82练习第1题1.画出等边三角形的三条对称轴.你能发现什么？ABC对称轴分别是三条角平分线（中线或高）所在的直线，并且三条对称轴交于一点.针对训练2.如图，P是△ABC内一点，若∠PBC

=∠PCB

=

10°，△APC

是等边三角形.求∠ABP的度数.解：∵△APC是等边三角形，∴∠APC

=

60°，AP

=

CP.∵∠PBC

=∠PCB

=

10°，∴BP

=

CP.∴AP

=

BP.针对训练

探究一个三角形满足什么条件才是等边三角形？2.等边三角形的判定1.从边的角度判断：ABC三条边都相等的三角形是等边三角形如图，∵AB=

BC=AC，∴△ABC

是等边三角形.几何语言：2.等边三角形的判定2.从角的角度判断：ABC三个角都相等的三角形是等边三角形如图，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC

是等边三角形.几何语言：你能证明它吗？2.等边三角形的判定已知：如图，在△ABC

中，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC

是等边三角形.ABC证明：∵∠B=∠C

，∴AB=AC

(等角对等边).同理AB=BC

，∴AB=

BC=

AC.∴△ABC

是等边三角形.2.等边三角形的判定3.对于一个等腰三角形，如果有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？ABC60°如图，当AB=BC

时，∠B=∠C=60°.∴∠A=180°–∠B

–∠C=60°.∴∠A=∠B

=∠C=60°.∴△ABC

是等边三角形.当AC=BC

时，∠A=∠B=(180°–60°)÷2=60°.∴∠A=∠B

=∠C=60°.∴△ABC

是等边三角形.2.等边三角形的判定3.对于一个等腰三角形，如果有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？ABC60°有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.如图，∵AB=AC，∠C(或∠A，∠B)=60°，∴△ABC

是等边三角形.几何语言：对比：等腰三角形与等边三角形的判定等腰三角形等边三角形图形判定两条边相等的三角形有两个角相等的三角形三个角都相等的三角形有一个角是60°的等腰三角形三边都相等的三角形针对训练教材P82练习第2题如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？证明你的结论.解：BD=DC=DE=DF=AE=BE=AF=CFABCEFD证明：∵△ABC是等边三角形，AD是BC上的高，∴∠EAD

=∠FAD

=

30°，BD

=

DC.针对训练教材P82练习第2题又∠BDE

=∠CDF

=

60°，∴∠ADE

=∠ADF

=

30°，∴∠EAD

=∠ADE，∠FAD

=∠ADF.∴AE

=

ED，AF

=

FD.易知△BDE，△CDF

是等边三角形，∴BD=ED=EB=CD=CF=FD.∴图中共有7条与BD

相等的线段，即DC，CF，FD，AF，AE，ED，EB.ABCEFD教材P82例题例4

如图，△ABC是等边三角形，DE

//

BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE

//

BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.ABCDE若点D，E

分别在边AB，AC

的延长线上，且DE//BC，结论还成立吗？ABCDE解：成立.理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.∵DE

//

BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等边三角形.变式训练变式训练若点D，E

分别在边AB，AC

的反向延长线上，且DE//BC，结论依然成立吗？ABCDE解：成立.理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵DE

//

BC，∴∠D=∠B，∠E=∠C.∴∠D=∠E=∠BAC=∠DAE.

∴△ADE是等边三角形.随堂演练1.等边△ABC的两条角平分线

BD和

CE交于点

I，则∠BIC等于（

）A.60° B.90°C.120° D.150°C随堂演练2.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（

）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④D随堂演练3.如图，直线a

//

b，等边三角形ABC

的顶点C

在直线b

上，若∠1=42°，求∠2的度数.解：如图，设AB，AC

分别交直线a

于点D，E．∵△ABC

是等边三角形，∴∠A=

60°．又∠ADE=∠1=42°，∴∠DEC=∠ADE

+∠A=102°．又a

//

b，∴∠2=∠DEC=102°．DE随堂演练4.如图，△ABC

为等边三角形，D

是BC

延长线上一点，CE

平分∠ACD，BD=CE.求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）△ADE为等边三角形.随堂演练证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB

=

AC，∠BAC

=∠B

=∠ACB

=

60°.∴∠ACD

=

120°.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE

=∠B．

AB=AC，∠B=∠ACE，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）在△ABD

和△ACE

中，随堂演练(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴AD