三角函数试题及答案

经典三角函数试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若角α的终边经过点P(3,-4)，则sinα的值为（）。A.-4/5B.4/5C.-3/5D.3/52.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于哪个点对称？（）A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/6,1)D.(π/3,1)3.下列函数中，最小正周期为π的是（）。A.y=sin(2x)B.y=cos(x/2)C.y=tan(3x)D.y=cot(2x)4.若sinα=3/5，α是第二象限角，则cosα的值为（）。A.-4/5B.4/5C.-3/5D.3/55.化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ的结果是（）。A.sin(α-β)B.sin(α+β)C.-sin(α-β)D.-sin(α+β)6.已知cosθ=-1/2，且θ在第三象限，则sinθ的值为（）。A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/27.下列函数中，在区间(0,π/2)上是增函数的是（）。A.y=sin(2x)B.y=cos(3x)C.y=tan(x/2)D.y=cot(x+π/4)8.若α是锐角，且sinα=1/2，则tanα的值为（）。A.√3/3B.√3C.1/3D.39.已知A,B为三角形ABC的三个内角，且sinA=1/2，sinB=√3/2，则角B的度数是（）。A.30°B.60°C.120°D.150°10.下列等式恒成立的是（）。A.sin^2(x+π/2)=sin^2xB.cos^2(x+π)=cos^2xC.tan(x-π/4)=1/tan(x-π/4)D.sin(π-x)cos(π+x)=sin^2x二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.计算：sin30°cos45°+cos30°sin45°=________。12.若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的最高点为(π/4,√2)，且周期为π，则A+φ=________（结果中φ用含π的整数表示）。13.化简：cos(α+β)cosβ-sin(α+β)sinβ=________。14.在△ABC中，若a=3，b=2√3，C=30°，则边c=________。15.已知f(x)=cos(x-π/6)，则f(π/3)的值是________。三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）已知cos(α/2)=√5/5，α在第四象限，求sinα和tanα的值。17.（本小题满分15分）化简下列三角表达式：(1)(sinα+cosα)^2+(sinα-cosα)^2(2)(1+tan^2θ)/(1+cot^2θ)-sin^2θ18.（本小题满分15分）在△ABC中，已知a=5，b=7，C=60°。求：(1)边c的长度；(2)角A的大小（用反三角函数表示）。19.（本小题满分15分）已知函数f(x)=2sinx+cos(2x)。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[-π/2,π/2]上的最大值和最小值。20.（本小题满分18分）证明：sin^2(x+π/6)+sin^2(x-π/6)=(3/2)-cos(2x)。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.A6.B7.A8.B9.B10.B二、填空题11.√2/212.113.cosβ14.√715.1/2三、解答题16.解析：α在第四象限，故α/2在第二象限，sin(α/2)=-2√5/5。cosα=1-2sin^2(α/2)=1-2(5/25)=1-2/5=3/5。sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=2(-2√5/5)(√5/5)=-4/5。tanα=sinα/cosα=(-4/5)/(3/5)=-4/3。17.解析：(1)原式=sin^2α+2sinαcosα+cos^2α+sin^2α-2sinαcosα+cos^2α=2sin^2α+2cos^2α=2(sin^2α+cos^2α)=2。(2)原式=(sin^2θ+cos^2θ)/(1+cot^2θ)-sin^2θ=1/(1+1/tan^2θ)-sin^2θ=tan^2θ/(tan^2θ+1)-sin^2θ=sin^2θ/cos^2θ-sin^2θ=sin^2θ(1/cos^2θ-1)=sin^2θ(tan^2θ)=sin^4θ。18.解析：(1)由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=5^2+7^2-2*5*7*cos60°=25+49-35=39。c=√39。(2)由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得sinA=(a/c)sinC=(5/√39)sin60°=(5√3)/(2√39)。A=arcsin((5√3)/(2√39))。19.解析：(1)f(x)=2sinx+cos(2x)=2sinx+(1-2sin^2x)=-2sin^2x+2sinx+1。令t=sinx，则y=-2t^2+2t+1=-2(t-1/2)^2+3/2。函数y关于t=1/2对称，故周期T=2π/1=2π。(2)在区间[-π/2,π/2]上，sinx∈[-1,1]。当sinx=1/2时，y取得最大值3/2。当sinx=-1时，y取得最小值-1。20.证明：左边=sin^2(x+π/6)+sin^2(x-π/6)=(sinxcosπ/6+cosxsinπ/6)^2+(sinxcosπ/6-cosxsinπ/6)^2=(√3/2sinx+1/2cosx)^2+(√3/2sinx-1/2cosx)^2=(3/4sin^2x+√3sinxcosx+1/4cos^2x)+(3/4sin^2x-√3sinxcosx+1/4cos^2x)=3/4sin^2x+1/4cos^2x+3/4sin^2x+1/4cos^2x=3/2sin^2x+1/2cos^2x=3/2(1-cos^2x)+1/2cos^2x=3/2-3/2cos^2