2026年长沙市中考数学试卷（含答案及解析）

2026年长沙市初中学业水平考试数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是喜爱数学A B C D2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是A.3cm，5cm，9cm B.6cm，7cm，13cmC.9cm，9cm，19cm D.11cm，18cm，22cm3.长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片，省市两级共设5.05亿元创业投资基金，支持大学生创业.用科学记数法将数据505000000表示为4.下列运算正确的是5.不等式x＋1＜2的解集在数轴上表示正确的是ABCD6.下列调查中，调查方式选择合理的是A.了解全国初中生的课外阅读情况，选择全面调查B.了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查C.检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，选择全面调查D.检测湘江某段水域的水质情况，选择抽样调查7.冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂䖇上熔化的冰糖制作而成.若每根竹签穿5个山植，则穿n（n为正整数）串冰糖葫芦需要山植的个数是8.如图，直线a⊥b，垂足为A，点B在直线b上，AC∥BD，若∠1＝40°，则∠2的度数为A.30° B.40° C.50° D.60°9.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为3，则AB|的长为A.π B.2π C.3x D.4π10.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵奭弦图”是由与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形，过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH，且EF⊥OB、若中间最小的正方形的面积为1，AB＝5，则正方形EFGH的面积为A.25 B.36 C.49 D.64二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒。一盒草莓的标准质量为1kg，如果比标准质量多25g记作＋25g，那么比标准质量少20g记作g.12.若关于x的方程2x＋m＝2030的解是x＝2，则m的值为.13.2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”.为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”。“我爱数独”、“速算24点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动。现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是.14.在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE。若DE＝6，则BC的长为.15.在平面直角坐标系中，若反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则k的值为.（写出一个符合条件的k值即可）16.龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时，为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“棕情粽义杯”包粽子大赛.小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的2倍，后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的.已知六个篮子里的粽子数量分别为74，62，66，58，67，60，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是，.三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.18.19.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝3.分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD.（1）求∠CAD的度数；（2）求BD的长.20.2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号P遥二十三运载火箭点火发射。这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行。某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试.用x表示测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表.七年级成绩条形统计图 八年级成绩扇形统计图 七、八年级成绩统计表年级平均数方差七年级84.38134.48八年级86.40114.54根据以上信息，解答下列问题：（1）请将七年级成绩条形统计图补充完整：（2）八年级成绩扇形统计图中，B等级对应圆心角的度数为；（3）若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为A等级的有人；（4）请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况。21.如图，点B，F，C，E在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若AB＝22，EF＝5，∠E＝45°，22、某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔。请你根据下面表格中提供的信息。解答相关问题。信息1文具店的销售方式：①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元；②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元。信息2B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元。信息3这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔、（1）求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？（2）该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？23.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上任意一点（不与点A，B重合），BD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接BC.（1）求证：BC平分∠ABD：（2）已知直径AB＝10，设BC＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式。（不要求写出自变量x的取值范围）24.边长为a的菱形ABCD中，记∠BAD＝θ（0°＜θ＜90°），该菱形的周长为l，面积为S.（1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）；①l与a成正比例关系： （）②当a＝1时，S＝sinθ；（）③若该菱形的两条对角线的长满足AC：BD＝3：1，则θ（2）当θ＝60°时，解答下列问题；①如图1，点M在边BC上运动（不与点B，C重合），连接AM并延长交DC的延长线于点N，连接DM并延长交BN于点P.请问∠BPM的大小是否发生变化？如果不变，请求出∠BPM的度数；如果变化，请说明理由：②如图2，点M在边BC的延长线上运动，连接AM交边DC于点N，连接BN并延长交25.我们约定：在平面直角坐标系中，当点（x，y）的坐标满足x＋y＝xy时，称点（x，y）为“靓点”.请你根据该约定，解答下列问题：（1）若点P（x，y）为“靓点”，则点Q（2－x，2－y）是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明；（2）当k＞0时，求证：关于x的函数y＝kx＋m（k，m为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”：（3）已知关于x的二次函数y＝ax2－4ax＋4a＋2（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y2026年长沙市初中学业水平考试数学答案及解析注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）喜爱数学A B C D【答案】A【解析】【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意.2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.3cm，5cm，9cm B.6cm，7cm，13cmC.9cm，9cm，19cm D.11cm，18cm，22cm【答案】D【解析】【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形.【详解】解:A中，3＋5＝8＜9，不能组成三角形.B中，6＋7＝13，不能组成三角形.C中，9＋9＝18＜19，不能组成三角形.D中，11＋18＝29＞22，能组成三角形.3.长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片.省市两级共设5.05亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据505000000表示为（）【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为（a×10"的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.【详解】解：5050000004.下列运算正确的是【答案】B【解析】【分析】本题A选项考查二次根式的加减运算；B选项考查幂的乘法法则：am⋅an＝am＋n；C选项考查乘法分配律：a（b＋c）＝【详解】解：3-2a2⋅2（a－1）＝2a－2≠2a－1，C选项错误；a-b2＝5.不等式x＋1＜2的解集在数轴上表示正确的是（）【答案】A【解析】【分析】解一元一次不等式求出解集，根据“小于向左，大于向右，无等号画空心，有等号画实心”的原则判断数轴表示.【详解】解:x＋1＜2移项，得x＜2－1，合并同类项，得x＜1，在数轴上表示：6.下列调查中，调查方式选择合理的是（）A.了解全国初中生的课外阅读情况，选择全面调查B.了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查C.检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，选择全面调查D.检测湘江某段水域的水质情况，选择抽样调查【答案】D【解析】【分析】依据调查的范围、是否具有破坏性及结果精度要求，判断调查方式的合理性.【详解】解：A.全国初中生调查范围广，全面调查工作量大，应选择抽样调查，故不合理；B.神舟飞船设备零件质量要求极高，需全面调查，选择抽样调查不合理；C.检测鞋底弯折次数具有破坏性，应选择抽样调查，选择全面调查不合理；D.湘江某段水域水量大，无法全面检测水质，选择抽样调查合理.7.冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成.若每根竹签穿5个山楂，则穿n（n为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（）A.5＋n B.5n C.n/₅ D.⁵/n【答案】B【解析】【分析】首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题.因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式.结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可.【详解】解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共n串，∴需要山楂的个数为5×n＝5n.8.如图，直线a⊥b，垂足为A，点B在直线b上，AC∥BD.若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A.30° B.40° C.50° D.60°【答案】C【解析】【分析】利用垂直定义求出AC与直线b的夹角，再利用平行线性质求解即可.【详解】解:∵a⊥b，∴直线a与直线b的夹角为90°.∵∠1＝40°，∴AC与直线b的夹角为°.∵AC∥BD，∴∠2等于AC与直线b的夹角，∴∠2＝50°.9.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为3，则AB的长为（）A.π B.2π C.3π D.4π【答案】B【解析】【分析】连接OA，OB，由等边三角形的性质得到∠C＝60°，然后利用圆周角定理求出∠AOB＝2∠C＝120°，最后利用弧长公式求解即可.【详解】解:如图，连接OA，OB，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，∵⊙O的半径为3，即OA＝OB＝3，∴10.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形，过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH，且EF⊥OB.若中间最小的正方形的面积为1，AB＝5，则正方形EFGH的面积为（）A.25 B.36 C.49 D.64【答案】C【解析】【分析】设直角三角形两直角边分别为a，b，利用勾股定理和完全平方公式求出（a＋b2的值，通过证明四边形EBOA为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形EFGH的边长为a＋b【详解】解:设Rt△AOB的短直角边OB＝b，长直角边OA＝a，∵中间最小正方形的面积为1，∴a-b2＝1，即a∵AB＝5，∴∵EF⊥OB，∴∠EBO＝90°，∵四边形EFGH为正方形，∴∠E＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形EBOA为矩形，∴BE＝OA＝a，AE＝OB＝b，∵四个直角三角形全等，∴结合全等三角形性质同理可得，BF＝b，∴EF＝EB＋BF＝b＋a，∵∴25－2ab＝1，解得2ab＝24，∴正方形EFGH的面积：＝二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为1kg，如果比标准质量多25g记作＋25g，那么比标准质量少20g记作g.【答案】－20【解析】【分析】正负数用于表示相反意义的量，已知比标准质量多记为正，可直接推出比标准质量少的记法.【详解】解:∵比标准质量多25g记作＋25g，∴比标准质量少20g应记作－20g.12.若关于x的方程2x＋m＝2030的解是x＝2，则m的值为.【答案】2026【解析】【分析】方程的解满足方程，将x＝2代入原方程即可计算出m的值.【详解】解:∵x＝2是方程2x＋m＝2030的解，∴将x＝2代入方程得2×2＋m＝2030，整理得4＋m＝2030，解得m＝2026.13.2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”.为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算24点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是.【答案】1－6【解析】【分析】总共有6种等可能的抽取结果，抽中“玩转魔方”只有1种符合条件的结果，直接用概率公式计算即可.【详解】解：∵共有6个不同的数学活动，每个活动被抽取的可能性相等，抽中“玩转魔方”的结果只有1种，∴14.在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，若DE＝6，则BC的长为.【答案】12【解析】【分析】点D，E分别是AB，AC的中点，可判定DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线的性质即可解答.【详解】解:∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴∵DE＝6，∴BC＝2DE＝2×6＝12.15.在平面直角坐标系中，若反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则k的值为.（写出一个符合条件的【答案】1（任意大于0的常数都正确）【解析】【分析】反比例函数y＝kx的图象位于第一、第三象限时，满足条件k【详解】解：∵反比例函数y＝∴k＞0，因此任意取一个大于0的常数即可，例如k＝1符合条件.16.龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时.为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛.小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的2倍.后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的.已知六个篮子里的粽子数量分别为74，62，66，58，67，60，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是，.【答案】 ①.62 ②.67【解析】【分析】先计算六个篮子的总粽子数，根据小刘总数是小胡的2倍，得到总数量是小胡的3倍，求出小胡两个篮子的粽子总数，再找出和为该数的两个数即可.【详解】解:六个篮子的粽子总数量74＋62＋66＋58＋67＋60＝387，∵小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的2倍，∴小胡包的粽子总数为387×六个数中两个数的和为129只有62和67，因此小胡的两个篮子里的粽子数量分别是62和67.三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.【答案】5【解析】【详解】解＝2－1＋3＋1＝518.【答案】化简结果为3m－4，值为－3【解析】【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简整式，再代入m的值计算即可.【详解】解:（m＋2）（m－2）－m（m－3）＝＝＝3m－4，当19.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝3.分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接（1）求∠CAD的度数；（2）求BD的长.【答案】（1）90°（2）1【解析】【分析】（1）根据作图可知MN为AB的中垂线，则AD＝BD，又已知AB＝AC，所以∠BAD＝∠B＝∠C＝30°，则在△ABC中利用三角形内角和公式即可求解；（【小问1详解】解:∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，根据作图可知MN为AB的中垂线，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠CAD【小问2详解】解:∵∠CAD＝90°，∠C＝30°，∴∴∴20.2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭点火发射.这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行.某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试，用x表示测试成绩（单位:分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（D:60≤x＜70:C:70≤x＜80；B:80≤x＜90；A：90≤x≤100）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表：七年级成绩条形统计图 八年级成绩扇形统计图七、八年级成绩统计表年级平均数方差七年级84.38134.48八年级86.40114.54根据以上信息，解答下列问题：（1）请将七年级成绩条形统计图补充完整；（2）八年级成绩扇形统计图中，B等级对应圆心角的度数为；（3）若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为A等级的有人；（4）请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况。（3）320（4）从平均数看，八年级平均成绩为86.40分，高于七年级的84.38分，说明八年级学生航天知识测试的整体水平更高； （2）144°从方差看，八年级方差为114.54，小于七年级的134.48，说明八年级学生航天知识测试的成绩更稳定.【解析】【分析】（1）先求出C等级学生人数，然后补全统计图即可；（2）先求出B等级学生占比，然后用360°乘以这个比值即可；（3）用总人数乘以成绩样本中成绩为A等级人数的占比即可；（4）根据平均数和方差的意义解答，合理即可。【小问1详解】解:C等级学生人数:40－5－11－16＝8（人），补全条形统计图略；【小问2详解】解:B等级学生占比:1－35%－15%－10%＝40%，B等级对应圆心角的度数为:360°×40%＝144°；【小问3详解】解：即估计成绩为A等级的有320人；【小问4详解】略.21.如图，点B，F，C，E在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，）.（1）求证:△ABC≌△DEF；（2）若AB＝22，EF＝5，∠E＝45°【答案】（1）证明:∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.在△ABC和△DEF中，∠A＝∴△ABC≌△DEF（AAS）.（2）△DEF的面积是5【解析】【分析】（1）利用平行条件可得出一组对应角相等，然后利用AAS判定三角形全等；（2）由（1）可得AB＝DE，过点D向EF作高线，由于∠E＝45°，利用勾股定理可求出高线的长度，即可求出△DEF的面积.【小问1详解】略【小问2详解】解：如图所示，过点D向对边EF作垂线DG，垂足为G，则∠DGE＝90°，由（1）可得△ABC≌△DEF，∴AB∵∠E＝45°，∴△DEG是等腰直角三角形，DG＝EG，∴∴解得:DG＝2，∵EF＝5，∴22.某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔.请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题.信息1文具店的销售方式：①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元；②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元.信息2B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元.信息3这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔.（1）求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元?（2）该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元?【答案】（1）A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元（2）共需花费460元【解析】【分析】（1）根据A、B型毛笔零售价的数量关系和购买指定数量的总费用，列一元一次方程求解；（2）先计算需购买的A、B型毛笔总数量，再结合分段优惠规则分别计算费用，求和得到总花费.【小问1详解】解：设A型毛笔的零售价为每支x元，则B型毛笔的零售价为每支（x＋1）元，由题意得2x＋3（x＋1）＝28，解得x＝5，x＋1＝6，答：A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元；【小问2详解】解:需购买A型毛笔数量:30×1＝30（支），需购买B型毛笔数量:30×2＝60（支），∵30＞20，∴购买A型毛笔的费用为20×5＋（30－20）×（5－0.5）＝145（元）；∵60＞15，∴购买B型毛笔的费用为15×6＋（60－15）×（6－1）＝315（元）；总费用:145＋315＝460（元）.答：本次购买两种型号的毛笔共需花费460元.23.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上任意一点（不与点A，B重合），BD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接BC.（1）求证:BC平分∠ABD；（2）已知直径AB＝10，设BC＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式.（不要求写出自变量x的取值范围）【答案】（1）证明:如图，连接OC，∵CD是半圆O的切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠DBC，∴BC平分∠ABD；2【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的定义得到OC⊥CD，进而得到OC∥BD，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠DBC，再利用等腰三角形的性质求出，＝B，从而得到结论；（2）连接AC，根据圆周角定理得到＝90°，再结合（1）中结论证明），根据相似三角形的对应边成比例列等式，整理后得到y关于x的函数解析式.【小问1详解】略；【小问2详解】解：如图，连接AC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＝∠CDB，由（1）知，∠ABC＝∠BD，∴△ABC∽△CBD，∴即∴∴24.边长为a的菱形ABCD中，记∠BAD＝θ（0∘（1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✔”，错误的打“×”）；①l与a成正比例关系；（）②当a＝1时，S＝sinθ；（）③若该菱形的两条对角线的长满足AC:BD＝3:1，则（θ＝（2）当θ＝60°时，解答下列问题:①如图1，点M在边BC上运动（不与点B，C重合），连接AM并延长交DC的延长线于点N，连接DM并延长交BN于点P.请问∠BPM的大小是否发生变化?如果不变，请求出∠BPM的度数；如果变化，请说明理由；②如图2，点M在边BC的延长线上运动，连接AM交边DC于点N，连接BN并延长交DM于点【答案】（1）①√；②√；③√；【解析】【分析】（1）可画图，根据菱形的性质，结合锐角三角函数和成正比例关系的定义求解①②③即可；（2）①连接BD，先根据菱形的性质得到AD∥BC，∠BCD＝∠BAD＝60°，AB＝BC＝CD＝AD＝a，可证明△CBD为等边三角形得到BD＝BC＝CD＝a，∠CDB＝∠CBD＝60°，设CN＝x，则DN＝a＋x，分别证明.NCM∽△NDA和△DBM∽NDB，得到∠＝B，然后利用三角形的外角性质求解即可；△【小问1详解】解:如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AB于E，∠BAD＝θ，则①周长l＝4a，l与a成正比例关系，正确；②当a＝1时，AD＝AB＝1，∴DE＝AD·sin∠BAD＝sinθ，∴S＝AB·DE＝sinθ，正