2026秋浙教版数学九年级上册 1.2 二次函数的图象 三阶

试卷第试卷第=PAGE1页共=SECTIONPAGES10页试卷第试卷第=PAGE2页共=SECTIONPAGES10页浙教版数学九年级上册1.2二次函数的图象三阶姓名：__________班级：__________学号：__________阅卷人一、选择题（共10题）得分1．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，36），且经过E（1，100）和F（n，100）两点．下列选项正确的是（

）A．m＝8 B．n＝16C．点C的纵坐标为120 D．点（12，45）在该函数图象上2．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个()①②③④若方程两根为m，，则A．1 B．2 C．3 D．43．二次函数的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的是（）①4a+b=0；

②9a+c>3b；③若点A(-3，y1)、点B((，y2)、点(，y3)在该函数图象上，则y1④若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为xt和x2，且x11<-1<5其中正确的结论有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（

）A． B．C． D．5．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；③若，则；④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．其中，正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图所示的是二次函数（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）.下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c-n）；④若点P（t，y1），都在抛物线上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程的两根之和为C.其中正确结论的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，在▱ABCD中，∠A=30°，AB=6，AD=3.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（

）A． B．C． D．9．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①5a+b＜0；②若（4，y1），（-1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根；④对于任意实数m，a（m2-1）≤b（1-m）总成立；⑤.其中结论正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．表中所列x，y的6对值是二次函数（）图象上的点所对应的坐标，其中，．x…1…y…m0c0nm…根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则；其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4阅卷人二、填空题（共5题）得分11．如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的．①，②，③，④．

12．定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”．（1）抛物线的“二级抛物线”是；（2）若直线与（1）中的抛物线交于不同的两点、，且满足，则实数的取值范围是13．已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(-m，γ3)，是二次函数图象上的任意三点，若对于恒有的情形，则m的取值范围是.14．新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”．已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线．15．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有个．阅卷人三、解答题（共2题）得分16．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数）经过点A（-1，m），B（3，n）.（1）当m=n时，求该函数表达式.（2）若点A，B都在直线y=-x+b上，求a的值.（3）当3<x<4时，都有n<y<m，求a的取值范围.17．已知抛物线(a，b，c为常数，a<0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线顶点为P，对称轴与x轴交点为D，对称轴上有M，N两点，点M在x轴上方.（1）若a=-1，b=2，c=3，求该抛物线顶点P的坐标；（2）若a=-1，c+2b=0，当点M与点P重合时，且四边形AMBN为正方形时，求b的值；（3）若A(-1，0)，四边形AMBN为菱形，在线段AD上有动点E，抛物线上有点F，使得四边形AEFM为平行四边形，当MN=2时，NE+NF的最小值取得求此时点F的坐标和a的值.答案第答案第=PAGE1页共=SECTIONPAGES10页答案第答案第=PAGE2页共=SECTIONPAGES10页【答案区】1．【答案】D【解析】【解答】解：作PG⊥AB，

当x=1时，动点Q运动到点H的位置，

由题意和图像可知PH2=100，

当点Q运动到点G的时候，PQ最小，

结合题意和图象可得PG2=36，HG=m-1，

由勾股定理得，100=36+(m-1)2，

解得：m=9，

故选项A不符合题意；

则AG=m=9，HG=m-1=9-1=8，

当x=n时，点Q运动到点B，则PB2=PH2=100，

∴PB=PH，

∵PG⊥AB，

∴BG=HG=8，

∴n=AB=9+8=17，故选项B不符合题意；

∴当x=0，点Q在点A处，

∴AP2=AG2+PG2=9+36=117，

∴点C的纵坐标为117，故选项C不符合题意；

当x=12时，点Q运动到点K处，

∴AK=12，

∴GK=AK-AG=12-9=3，

∴PK2=KG2+PG2=9+36=45，

∴(12，45)在该函数图象上，故选项D符合题意.故答案为：D.【分析】作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，则PH2=100，当点Q运动到点G的时候，PQ最小，HG=m-1，根据勾股定理得出m的值，当x=n时，点Q运动到点B可得BG=HG=8，即可求出n的值，根据勾股定理得出点C的纵坐标，当x=12时，点Q运动到点K处，再次利用勾股定理即可得出点（12，45）是否在抛物线上.2．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，，，则，抛物线与y轴的交点B在，之间，，则，故①错误；设抛物线与x轴另一个交点，对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，，解得，则，故②错误；，，，

，解得，故③正确；根据抛物线与x轴交于点和，直线过点和，如图，方程两根为m，n满足，故④正确，

综上，正确的有③④，共2个.故答案为：B.【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由对称轴直线为x=-1可得b=2a＞0，由抛物线与y轴交点在y轴的负半轴可得c＜0，故abc＜0，据此可判断①；根据抛物线的对称性可判断出抛物线与x轴另一个交点为（-3，0），则9a-3b+c=0，据此可判断②；由抛物线经过点（1，0）可得a+b+c=0，又b=2a，则c=-3a，结合-3＜c＜-2可得关于字母a的不等式组，求解即可判断③；方程ax2+bx+c=x+1的解，就是抛物线与直线y=x+1交点的横坐标，从而画出直线y=x+1的图象结合抛物线与x轴交点即可得出-3＜m＜1＜n，据此判断④.3．【答案】B【解析】【解答】解：已知二次函数图象对称轴是直线x=2，图像经过点(-1，0)，抛物线开口向下。

1、判断结论①：二次函数对称轴公式为，代入x=2整理得到4a+b=0，结论①正确。

2、判断结论②：把9a+c>3b移项得到9a-3b+c>0，式子9a-3b+c对应自变量x=-3时的函数值，抛物线和x轴交于(-1，0)、(5，0)，x=-3在点(-1，0)左侧，抛物线开口向下，x=-3对应的函数图象在x轴下方，函数值小于0，也就是9a-3b+c<0，可得9a+c<3b，结论②错误。

3、判断结论③：计算三个点到对称轴直线x=2的距离，点A(-3，y1)到对称轴距离是5，点B(，y2)到对称轴距离是，点C(，y3)到对称轴距离是；抛物线开口向下，到对称轴距离相等的点纵坐标相等，距离越近纵坐标数值越大，因此y2等于y3，且y1小于y2、y3，结论③正确。

4、判断结论④：抛物线与x轴交点为(-1，0)和(5，0)，原式a(x+1)(x-5)=-3代表抛物线图像与直线y=-3的交点横坐标，抛物线开口向下，直线y=-3在x轴下方，两个交点一个小于-1，另一个大于5，和题干给出的范围不符，结论④错误。

综上正确结论是①、③.

故答案为：B.

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称轴x=2推导a与b的等量关系，验证结论①；将不等式9a+c>3b变形为x取-3时的函数式，结合抛物线图像判断函数值正负，验证结论②；分别算出三个点到对称轴x=2的距离，抛物线开口向下，点离对称轴越近纵坐标数值越大，对比三个点纵坐标大小验证结论③；把方程转化为抛物线和水平线交点问题，结合抛物线与x轴交点坐标判断两根取值范围，验证结论④，最后统计正确结论数量。4．【答案】A【解析】【解答】解：∵，又∵当时．∴∵，抛物线与轴的交点位于最高位置，∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，故答案为：A．

【分析】先把抛物线y1、y2的一般式配方整理为顶点式，再结合“当x≥1时y1≤2”的条件，推导出a＜0，c-a=2，再结合y2图象与y轴的交点在最高位置”的条件，确定抛物线y2的开口方向和顶点位置，即可得到正确结论.5．【答案】C【解析】【解答】解：二次函数中，，

则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确．

令，

则，

当时，则，

则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确．

点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，

故若，则，故③错误．

联立与，

则，

整理得：，

则，解得：，

令，对称轴为直线，

∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，

故当时，，

解得：．

解得：，故④正确，

综上：①②④正确，

故选：C

【分析】本题以二次函数为核心，综合考查了二次函数的图象与性质、判别式与交点个数的关系、函数值大小与点到对称轴距离的联系，以及函数图象交点问题。解题时需逐项分析：①根据二次项系数和对称轴公式直接判断开口方向和对称轴；②令函数值为0，通过判别式>0确定与x轴有两个交点的条件；③利用开口向上时“离对称轴越远函数值越大”的规律，由推导距离关系；④联立两个函数方程，转化为一元二次方程根的存在性问题，并结合自变量范围确定参数的取值范围。掌握这些知识是正确判断结论的关键。6．【答案】B【解析】【解答】解：由图象可得，函数开口朝下，与y轴交于正半轴

∴a<0，c>0

∵顶点坐标为（1，n）

∴，即b=-2a>0

∴abc<0，①错误

∵抛物线与x轴正半轴交于点B（m，0），（3＜m＜4）

当x=3时，y=9a+3b+c>0

∵b=-2a

∴9a-6a+c>0，即3a+c>0，②错误

∵抛物线的顶点坐标为（1，n）

∴，即

∴b2＝4ac-4an=4a（c-n），③正确

由题意可得，抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，函数值越大

∵点P（t，y1）带对称轴的距离为|t-1|，点到对称轴的距离为|3-t-1|=|2-t|

∵

∵

∴2t-3<0

∴

∴|t-1|<|2-t|

∴y1＞y2，④正确

由题意可得，点A(0，c)，点B(m，0)

∴OA=c，OB=m

当OA=OB时，m=c

∴B(c，0)

将点B坐标代入，得：ac2+bc+c=0

∵c=m≠0

∴ac+b+1=0

∴b+1=-ac

设方程的两根分别为

∴，⑤正确故答案为：B【分析】根据二次函数图象，性质与系数关系，结合抛物线的对称性，二次方程根与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标

∴a＞0，，

∴b=-2a，

∴3a+b=3a-2a=a＞0，故①错误；

∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）

∴a-b+c=0

∴a+2a+c=0

∴c=-3a，

∵抛物线与y轴的交点在，之间（包含端点），

∴-3≤c≤-2，

∴-3≤-3a≤-2，

解之：，故②正确；

∵当x=1时y有最小值为y=a+b+c，

∴a+b+c≤am2+bm+c

∴对于任意实数，故③正确；

∵当x=1时y的最小值为n，

∴直线y=n-1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，

∴关于x的方程没有实数根，故④错误；

∴正确结论的个数为2个.

故答案为：B.

【分析】利用抛物线的开口方向及顶点坐标可得到a的取值范围，同时可得到b=-2a，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点，可推出c=-3a，再根据抛物线与y轴的交点情况，可得到c和a的关系式，据此可求出a的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数的最值，可对③作出判断；当x=1时y的最小值为n，可得到直线y=n-1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，可得到关于x的方程的根的情况，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.8．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB=6，AD=3

∴Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒

①当0<x≤1时，过点P作PH⊥AB于点H

∴AP=3x，AQ=2x

∴BQ=AB-AQ=6-2x

∵∠A=30°

∴

∴，即

②当1<x<3时，过点P作PG⊥AB于点G，DH⊥AB

∵AB∥CD

∴DH=PG

∵∠A=30°，AD=3

∴

∴，即故答案为：A【分析】由题意可得Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒，分情况讨论：①当0<x≤1时，过点P作PH⊥AB于点H，根据边之间的关系可得BQ，再根据含30°角的直角三角形性质可得PH，再根据三角形面积，结合二次函数图象与系数的关系即可求出答案；②当1<x<3时，过点P作PG⊥AB于点G，DH⊥AB，根据直线平行性质可得DH=PG，根据含30°角的直角三角形性质可得PG，再根据三角形面积，结合一次函数图象与系数的关系即可求出答案.】9．【答案】D【解析】【解答】解：已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，顶点为(1，n)，

因此抛物线的对称轴为，即b=-2a；

由抛物线与×轴的交点对称性，另一个交点为(3，0)，

因此抛物线可表示为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a，故c=-3a，顶点纵坐标n=a(1+1)(1-3)=-4a。

又抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），即2≤c≤3，代入c=-3a得2≤-3a≤3，

解得，且抛物线开口向下，a<0。

①验证5a+b<0：

由b=-2a，得5a+b=5a-2a=3a，因a<0，故3a<0，结论①正确。

②比较y1与y2的大小：

抛物线对称轴为x=1，开口向下，点到对称轴的距离越远，函数值越小。

点(4，y1)到对称轴的距离为|4-1|=3，点(-1.5，y2)到对称轴的距离为|-1.5-1|=2.5，

因为3>2.5，故y1<y2，结论②正确。

③判断方程ax2+bx+c=n+1的根的情祝：

抛物线顶点纵坐标为n，即函数的最大值为n，因此y=n+1>n，直线y=n+1在抛物线顶点上方

故方程ax2+bx+c=n+1无实数根，结论③错误。

④验证a(m2-1)≤b(1-m)对任意实数m恒成立：

将不等式整理为am2-a≤-2a(1-m)，即am2-2am+a≤0，进一步化为a(m-1)2≤0。

因a<0，(m-1)2≥0，故a(m-1)2≤0对任意实数m恒成立，结论④正确。

⑥验证

由2≤c=-3a≤3，解得，结论⑤正确。

综上，①②④⑤正确，共4个正确结论，答案选D。故答案为：D.【分析】先根据抛物线的顶点坐标、与x轴的交点，确定抛物线的开口方向、对称轴、系数关系，再结合y轴交点的范围，逐一验证5个结论的正确性，统计正确结论的个数。10．【答案】C【解析】【解答】解：①由表格可知，当和时，函数值相等，∴对称轴为直线，∴，即，故①正确，符合题意；②由表格可知，，且，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴，∴，由表格可知，当和时，函数值相等，又∵，，∴，∴，故②正确；③由上分析可知，当时，，又∵，∴，故③正确；④当，时，可知函数过点，∵对称轴为直线，∴抛物线跟x轴的另一个交点，∴函数的解析式可设为，∵，∴，解得，∴函数解析式为：，画出函数图象如图所示：

当时，，当时，，又抛物线的顶点坐标为，∴当时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点；∴若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或；故④不正确．故答案为：C．

【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴为直线，求出b和a的关系式判断①；根据对称轴的位置和且，即可利用对称轴右侧的增减性判断a的符号，然后得到b和c的符号判断②；得到时，，再根据可判断③；根据题中的数据求出函数解析式，得到时，y的取值范围判断④解答即可．11．【答案】【第1空】③④；【解析】【解答】解：抛物线开口向上，，抛物线对称轴是直线，，抛物线与y轴交于正半轴，，，故①不正确；，故②不正确；直线经过一、二、四象限，．当时，，，，，，点A的坐标为．当直线的时，，，．，故③正确；联立得，整理得，解得，由图象知：，，，故④正确．综上，正确的命题有③④．故答案为：③④．【分析】先通过抛物线的开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置判断b的符号，以及b和的大小关系；再根据一次函数的图象与性质得到k的取值范围，结合一次函数与二次函数的交点位置判断k和的关系，即可得到最终结论.12．【答案】【第1空】y=-x2+2x-2；【第2空】；【解析】【解答】解：（1）对抛物线配方得，顶点坐标为，二次项系数为，抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反，二次项系数变为，因此的解析式为；

故答案为：y=-x2+2x-2；（2）将代入，整理得设，则方程化为，由题意得方程有两个不相等的实数根，∴，设方程两根为，由根与系数的关系得，∵，∴，整理得，∵平方数非负，∴，解得，将代入得，解得，因此实数的取值范围是．

【分析】（1）先将原抛物线利用配方法配成顶点式，根据旋转的性质，抛物线绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，开口方向相反，开口程度不变，故二次项系数变为原二次项系数的相反数，据此即可得到二级抛物线的解析式；（2）联立直线与抛物线解析式整理得，设，则原方程变为，且该方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式得出；设方程两根为，利用一元二次方程根与系数的关系得，结合已知及完全平方公式的恒等变形得出，再根据判别式大于0和平方的非负性求解的范围．13．【答案】【第1空】或m≥1；【解析】【解答】解：因为是二次函数，所以m≠0，二次函数的对称轴为直线：

由题意，对于不存在所以，对称轴不在范围，且范围内所有点的函数值都小于是x=-m处的函数值)，

分两种情况讨论：1.当m>0时，抛物线开口向上，对称轴对称轴在右侧，在内，y随x的增大而减小，不存在

因为开口向上，离对称轴越远，函数值越大，

在内点到对称轴的最大距离为点x=-m到对称轴的距离为要使所有区间内需解得，符合m>0的条件；

2.当m<0时，抛物线开口向下，对称轴不在内，则或即或①当时，对称轴时的图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小，满足不存在开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为点x=-m到对称轴的距离为x=-m要使所有区间内需解得，与m≤-4矛盾，此情况无解，②当时，对称轴时的图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，满足不存在开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为点x=-m到对称轴的距离为x=-m

要使所有区间内需即|3m等价于解得符合的条件，综上，m的取值范围是或故答案为：或【分析】先求出二次函数的对称轴，根据题意可知函数在范围内所有点的函数值都小于y3分m>0和m<0两种情况结合二次函数的性质求解即可.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∵点C在x轴正半轴上，∴点，设抛物线的解析式为，则，解得，∴抛物线的解析式为，∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，∴新抛物线的解析式为，∴新抛物线的对称轴是直线．故答案为：．

【分析】先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，再利用平移的性质求出平移后的解析式，最后求出抛物线的对称轴即可.15．【答案】【第1空】3；【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，∴代入(-2，0)、(1，0)得：，解得：，故③正确；∵抛物线开口朝下，∴，∴，，∴，故①错误；∵抛物线与x轴两个交点，∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，∴方程的判别式，故②正确；∵，∴，，∴，∵，，∴，即，故④正确；∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，∵，∴，故⑤错误，故正确的有：②③④，故答案为：3．【分析】①由抛物线的开口向下可得，由对称轴可得，再由抛物线与y轴的交点可得，即；

②由于抛物线与x轴有两个交点，则；

③由抛物线的对称性知抛物线交x正半轴于点，则由抛物线上点的坐标特征知；

④由于抛物线开口向下，则该二次函数有最大值，即当时的对应函数值，则对于任意实数m，都有，即；

⑤由于抛物线开口向下，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则当时．16．【答案】（1）由题意可知：二次函数的对称轴为直线x=a，当m=n时，点A，B关于对称轴对称，∴该函数表达式为：（2）∵A，B都在直线y=-x+b上，，即m-n=4，m=n+4，∴点A坐标为：(-1，n+4)将A，B坐标代入函数表达式：，解得：（3）

如图，点A(-1，m)关于对称轴的对称点坐标为(2a+1，m)要使3<x<4时，都