4.4《两个三角形相似的判定》（2）-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

4.4《两个三角形相似的判定》（2）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练一、基础夯实1．（2024九上·衡阳期中）如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB=∠D B．∠ACD=∠ABC C．CDBC=AD2．（2024九上·攀枝花期末）如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8，A． B．C． D．3．（2024九上·安化期中）如图所示，小正方形的边长均为1．则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B．C． D．4．（2023八下·垦利期末）如图，∠1=∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．ADAE=AB5．已知△ABC如图29-6所示，则下列4个三角形（图29-7）中，与△ABC相似的是（）A． B．C． D．6．下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（）A．ABA'B'C．ABBC=A'B7．（2024九上·天桥期中）下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD=∠B B．ADAC=CDBC C．8．（2025·广州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF、BE．求证：ABE∽DEF9．（2024九上·通州期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点．若AB=4，BE=2，EC=1．求证：∠EAB=∠CBE．10．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知ABAD（1）求证：∠ABD=∠C；（2）已知∠A=20°，∠C=40°，求∠CBD的度数．二、能力提升11．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD=MA·ME；③2CBA．①②③ B．① C．①② D．②③12．（2023九上·沭阳月考）如图所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．ABAD=ACDE B．ABAD=13．（2024九上·邛崃期中）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（）A．1 B．2 C．3 D．414．（2024九上·昆明期末）如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似的是（）A．∠B=∠ADE B．∠C=∠AED C．ACAE=AB15．（2024九上·宁波期中）如图，若果∠1＝∠2，那么添加下列任何一个条件：（1）ABAD=ACA．1 B．2 C．3 D．416．如图，在△ABC中，AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD.若E是AD的中点，则EC的长为.17．如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且BC2=AC⋅DC.18．（2025九上·北京月考）如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接CD，AD，BO，CO，AD．（1）求证：△BCO≌△BAD；（2）若OA=10，OB=6，OC=8，请直接写出∠BOC的度数．19．如图，E，F是菱形ABCD边AB，AD上的点，连接DE，点G在DE上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE.（1）求证：△ADE∽△GDA；（2）求证：CD20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2=AE·AB，连结DE.（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若AB=5，AD=4，DE=2，求EC的长.三、综合拓展21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即CBAC（1）【问题初探】如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．∵CBAC∴⋯⋯请补全以上解题过程；（2）【问题再探】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（3）【知识迁移】如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；（4）【延伸拓展】如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．

答案解析部分1．【答案】C【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：∵∠CAB=∠DAC，

∴当∠ACB=∠D或∠ACD=∠ABC时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定△ACD∽△ABC；

当ACAB=ADAC时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定△ACD∽△ABC；

即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定△ACD∽△ABC，故不符合题意；

故答案为：C．

【分析】由条件知，已有条件∠CAB=∠DAC，则可分别添加∠ACB=∠D或∠ACD=∠ABC，可判定△ACD∽△ABC，或添加2．【答案】C【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故A不符合题意；B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故B不符合题意；C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故C符合题意；D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6−2=4，故答案为：C．

【分析】根据相似三角形的判定条件，若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，因而只需判断每个选项中剪下的阴影三角形与原三角形∠A=76°的对应角是否相等，即可确定它们是否相似，逐一判断即可解答.3．【答案】A【知识点】相似三角形的判定-SAS；运用勾股定理解决网格问题【解析】【解答】解：根据题意，得∠ACB=90°+45°=135°，BC=12+观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，如图，则∠DEF=90°+45°=135°，EF=12+12=2，DE=1，

∴BCDE=∴△ABC∽△FDE，故答案为：A．【分析】求出∠ACB=135°，BC=2，AC=2，观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，然后求出∠DEF=135°，EF=2，DE=1，从而得∠ACB=∠DEF，BCDE4．【答案】D【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS【解析】【解答】∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，A、添加∠B=∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意，A错误；B、添加∠C=∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意，B错误；C、添加ADAED、添加ACAE=BC故选：D．

【分析】本题考查相似三角形的判定．先利用角的运算可求出∠DAE=∠BAC，添加∠B=∠D可利用有两组角对应相等的两个三角形相似，据此可判断A选项；添加∠C=∠E可利用：有两组角对应相等的两个三角形相似，据此可判断B选项；添加ADAE=ABAC可利用：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此可判断C选项；添加5．【答案】C【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS【解析】【解答】解：∵AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=∠B=75°，∴∠A=30°A、56B、56C、56D、56故答案为：C

【分析】根据两角对应相等，或者三边成比例，或者两边成比例有夹角相等，进行逐项分析，即可作答．6．【答案】C【知识点】相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：A、ABA'B'=ACA'C'，缺失一个条件，故A错误

B、ABAC=A'B'A'C7．【答案】B【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A,∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；B、根据∠A=∠A,ADAC=CDBCC、∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故C能判定△ACD∽△ABC；D、∵ACAD∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；故答案为：B．

【分析】

根据相似三角形的判定方法：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，依次判断即可解答．

8．【答案】证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，AB=AD=CD=4a，∠A=∠D=90°

∵CD=4DF，∴DF=a，

∵点E是AD的中点

∴AE=ED=2a，∴AE∴△ABE∽△DEF．【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；线段的中点；相似三角形的判定-SAS【解析】【分析】设AB=4a，根据正方形得性质得到AB=AD=CD=4a，∠A=∠D=90°；再由已知条件和中点的定义得到DF=a，AE=ED=2a，即可根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可解答．9．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABE=∠CEB，

∵AB=4，BE=2，EC=1，

∴ABBE=42=2，BEEC=21=2，

∴【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角【解析】【分析】根据SAS可证△EAB∽△CBE，进而可得出∠EAB=∠CBE．10．【答案】（1）证明：∵ABAD=∴△ABC∽△ADB，∴∠ABD=∠C；（2）解：∵∠A=20°，∠C=40°，∴∠ABC=180°−20°−40°=120°，

由（1）得∠ABD=∠C=40°，∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=120°−40°=80°．【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角【解析】【分析】（1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可证明△ABC∽△ADB，由相似三角形对应角相等即可得证结论；（2）利用三角形内角和定理可得∠ABC=120°，由（1）的结论求出∠ABD=∠C=40°，最后根据角的和差关系即可求解.（1）证明：∵ABAD=∴△ABC∽△ADB，∴∠ABD=∠C（2）解：∵∠A=20°，∠C=40°，∴∠ABC=180°−20°−40°=120°，∵∠ABD=∠C=40°，∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=120°−40°=80°．11．【答案】A【知识点】等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：由已知：AC=2AB,AD=2∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA，∵∠PME=∠AMD，∴△PME∽△AMD∴MP∴MP⋅MD=MA⋅ME，所以②正确；由②MP⋅MD=MA⋅ME，∠PMA=∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD=∠AED=90∵∠CAE=180∴△CAP∽△CMA，∴AC∵AC=2∴2CB所以③正确；故答案为：A.【分析】由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边比例关系可证相似三角形判断①；通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可判断②；把2CB2转化为AC2,12．【答案】A【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，A、添加ABAD=ACDE，其夹角不一定相等，不能判定△ABC∽△ADE添加ABAD=ACAE，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE添加∠B=∠D，可用两角法判定△ABC∽△ADE，

∴此选项不符合题意；添加∠C=∠AED，可用两角法判定△ABC∽△ADE，

∴此选项不符合题意.故答案为：A．

【分析】由角的和差可得∠BAC=∠DAE；根据相似三角形的判定“①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”依次判断即可求解．13．【答案】C【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴ADBP∴27−AP∴AP2−7AP＋6＝0，∴AP＝1或AP＝6，当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，∴APBC又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BCP．当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴APBP∴AP7−AP∴AP＝145检验：当AP＝145时，∵BP＝21∴APBP又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、145故答案为：C．【分析】分类讨论：①当△APD∽△BCP，②当△APD∽△BPC，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解得出AP的长度，再检验即可得出结论.14．【答案】D【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：由题意可得，∠A=∠A，A、当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故A不符合题意；B、当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故B不符合题意；C、当ACAE=ABD、当ACAE=BCDE时，不能推断故答案为：D．

【分析】A条件符合角角（AA）相似的条件之一，即两组对应角相等，能直接证明两个三角形相似，可判断A；

B条件也符合角角（AA）相似的条件，也能直接证明两个三角形相似，可判断B；

C条件符合边角边（SAS）相似的条件，即两组对应边成比例，且夹角相等，也能直接证明两个三角形相似，可判断C；

D条件表明两组对应边成比例，但没有提及夹角相等或任何其他角的信息。根据相似三角形的判定条件，仅两组边的比例相同，而没有提及它们夹的角是否相等，不足以证明两个三角形相似，因此，此条件不能直接证明△ABC与△ADE相似，可判断D；对每个选项分别分析、判断即可解答．15．【答案】C【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴（1）当添加条件“ABAD（2）当添加条件“ABAD（3）当添加条件“∠B＝∠D”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；（4）当添加条件“∠C＝∠AED”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；综上可得，添加上述条件中的1个后，能证明△ABC∽△ADE的共有3个.故答案为：C.

【分析】由已知条件和角的和差可得：∠DAE=∠BAC；

（1）根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可判断两个三角形相似；

（2）两组对应边的比相等且这两边中其中一边的对角相等的两个三角形不能判断两各三角形相似；

（3）（4）根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断两个三角形相似；16．【答案】1【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵BD=2CD,∴BDCD=2.∵E是AD的中点，∴AD=DE.∴ADDE=2.∴BDCD=ADDE=2.又∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠EDC=90°.∴17．【答案】20【知识点】相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：∵BC2=AC⋅DC，

∴BCDC=ACBC.

又∵∠C=∠C，∴∴BE=故答案为：207【分析】由BC2=AC·DC可得：ACBC18．【答案】（1）证明：∵BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，∴BO=BD，∠OBD=60°，∵△ABC是等边三角形．∴BA=BC，∠CBA=60°，∴∠OBD=∠CBA，∴∠CBO=∠ABD，在△BCO和△BAD中，OB=BD∠CBO=∠ABD∴△BCO≌△BAD(SAS)；（2）∠BOC=150°．【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：（2）∵BO=BD，∠OBD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴OD=OB=6，∠ODB=60°，∵△BCO≌△BAD，∴AD=OC=8，∠BOC=∠ADB，∵OA=10，∴AD2+O∴OA∴∠ADO=90°，∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=150°，∴∠BOC=∠ADB=150°．【分析】（1）根据旋转性质可得出BO=BD，∠OBD=60°，再根据△ABC是等边三角形．可得出BA=BC，∠CBA=60°，进而可得出∠CBO=∠ABD，再根据SAS即可得出△BCO≌△BAD；

（2）由旋转性质可得出△OBD是等边三角形，可得出OD=OB=6，∠ODB=60°，再根据△BCO≌△BAD，可得出AD=OC=8，进而根据勾股定理的逆定理可得出∠ADO=90°，进而得出∠BOC=∠ADB=150°。19．【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，

∴△ADE∽△GDA；（2）证明：∵△ADE~△GDA,

∴∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AD=CD，∴∠DEA=∠GDC，

∴∠GDC=∠FAG，

∵AF=AE,

∴AFAG=CDDG,

∴CDAF【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】(1)根据题意可得到∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，进而利用AA相似即可得到结论；

(2)由(1)得到对应边成比例，对应角相等，然后根据菱形的性质得到AB||CD，AD=CD，从而得到角相等，进一步等量代换得到AFCD20．【答案】（1）证明：∵A∴∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAE，∴△ABD∽△ADE.（2）解：∵AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，DE=2，

∴AE=AD2AB=425=165，

设EC=x，则AC=x+165，

∵∠EDC=∠DAC，∠C=∠C，

∴△EDC∽△DAC，

∴DCAC=EC