4.5《相似三角形的性质及应用》（2）-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

4.5《相似三角形的性质及应用》（2）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练一、基础夯实1．（2025九上·顺德月考）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE=3，则A．6 B．12 C．9 D．82．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（）A．16 B．8 C．2 D．13．（2025·凉州模拟）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△DOE:SA．13 B．14 C．194．（2025·郴州模拟）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，EC=2DE，AE与BD交于点F．下列结论错误的是（）A．∠DEF=∠BAF B．EFC．DEAB=15．（2025·福田模拟）如图，若△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1A．C1C2=32 B．S6．（2025九上·新昌期末）已知两个相似三角形的相似比是3:2，则它们的面积之比为．7．（2024九上·洞口期中）△ABC∽△DEF，AB=12cm，DE=8cm，△ABC的面积为81cm2，则△DEF的面积为8．（2023九上·千山月考）如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE=∠ACD，∠B=∠CED．（1）求证：△ABC∼△DEC；（2）若S△ABC:S△DEC=4:99．（2024九上·石家庄期中）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且CDAC（1）求证：∠DAC=∠B；（2）若AC=4，BC=8，△DAC的面积为9，求△ABD的面积．10．（2024·浙江模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D，且∠BAD=∠CAE．（1）△ABC与△ADE相似吗？如果相似，请说明理由；（2）连接BD，若B、D、E三点共线，记AC与DE的交点为H，若AE=2,BC=5，△AEH的面积为20，试求△BCH的面积．二、能力提升11．（2024九上·昌平期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：2512．（2025九上·义乌期中）如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，F为CD中点，则四边形OCFE的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．2513．如图，过坐标原点O的直线AB与两函数y=18x(x>0)，y=2x(x<0)的图象分别交于A，B两点，作AH⊥y轴于H，连接BH交x轴于点C，则下列结论：①SA．①② B．①②④ C．②③④ D．①③14．（2025九上·义乌期中）点O是△ABC的重心，若△BOD的面积等于6，S四边形CDOE=15．（2025九上·福田开学考）如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的916，若AB=6，则△DEF移动的距离AD=16．（2024九下·崇明期中）如图，点G是△ABC的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作GE∥BC，交AC于点E，则S△DGES17．（2022九下·荷塘期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC=CF；（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．18．（2025九上·钱塘期末）如图，在△ABC和△AED中，∠C=∠D，∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABC∽△AED．（2）若S△ABC:S△AED=4:919．（2024九上·莘县期中）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）若S△ADES△CDE=220．（2024九上·奉化期中）如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连结AC，DB，设CP=x，PD=y．（1）写出y关于x的函数解析式．（2）若CD=8时，求S△ACP三、综合拓展21．（2022九上·西安月考）如图，矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，动点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿DA边以1cm/s的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，（1）当t为何值时，△APQ的面积为16cm（2）t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.22．（2022·历城模拟）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于A（﹣2，0），图象过点B（4，n），BC⊥x轴于点C，已知tanB＝2，y＝kx+b与反比例函数y=m（1）分别求直线AB的解析式和反比例函数的解析式；（2）连接OD，OE，求S△ODE（3）是否存在点P，使得△BCP与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点

∴DE∥BC，DE=12BC，即DEBC=12

∴△ADE∽△ABC

∴S△ADES△ABC=DEBC2，即2．【答案】B【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：设另一个三角形的周长为x，

则4:x=14

解得：x=8.故答案为：B.

【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解.3．【答案】C【知识点】相似三角形的判定；相似比；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵S△DOE∴ODOC∵DE∥AC，∴∠EDO=∠ACO，∠DEO=∠CAO，∴△DOE∽△COA，∴S△DOE即S△DOE:S故答案为：C。【分析】根据已知条件，可得ODOC=13，然后再根据4．【答案】B【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵▱ABCD，∴CD∥AB，AB=CD，∴∠DEF=∠BAF，故A选项结论正确，不符合题意；∵EC=2DE，∴DEAB∵CD∥AB，∴△ABF∽△EDF，∴EFAF∵△ABF∽△EDF，∴S△DEF故答案为：B．

【分析】根据平行四边形的性质，可得CD∥AB，AB=CD，进而可得到∠DEF=∠BAF，；由EC=2DE得到DEAB=DECD5．【答案】A【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，∴C∴S∴OB∴AB故答案为：A．【分析】根据相似三角形的性质逐项进行判断即可求出答案.6．【答案】9:4【知识点】相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是3:2，∴它们的面积之比为9:4．故答案为：9:4．

【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题．7．【答案】36【知识点】相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB=12cm，DE=8cm，∴S△ABC∵△ABC的面积为81cm∴△DEF的面积为：S△DEF故答案为：36．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质可得S△ABCS△DEF8．【答案】（1）证明：∵∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠ACB=∠DCE，∵∠B=∠CED，∴△ABC∼△DEC．（2）解：由（1）得，△ABC∼△DEC，∵S△ABC∴S△ABC∵BC=12，∴EC=18【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠ACB=∠DCE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据相似三角形性质即可求出答案.（1）∵∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠ACB=∠DCE，∵∠B=∠CED，∴△ABC∼△DEC．（2）由（1）得，△ABC∼△DEC，∵S△ABC∴S△ABC∵BC=12，∴EC=18．9．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠BCA，CDAC∴△ACD∽△BCA，∴∠DAC=∠B；（2）解：AC=4，BC=8，∴ACBC∵△ACD∽△BCA，∴S△ACD∵△DAC的面积为9，∴S△ABC∴△ABD的面积=S【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.

（2）根据边之间的关系可得ACBC（1）证明：∵∠ACD=∠BCA，CDAC∴△ACD∽△BCA，∴∠DAC=∠B；（2）解：AC=4，BC=8，∴ACBC∵△ACD∽△BCA，∴S△ACD∵△DAC的面积为9，∴S△ABC∴△ABD的面积=S10．【答案】（1）解：△ABC与△ADE相似，

理由：∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵∠B=∠D，

∴△ABC∽△ADE（AA）.（2）解：连接BD，如图所示：

由（1）可得：△ABC∽△ADE，

∴∠C=∠E，

∵∠BHC=∠AHE，

∴△BCH∽△AEH，

∵AE=2，BC=5，

∴S△BCH：S△AEH=25：4，

∵S△AEH=20，

∴∴S△BCH=S△AEH=254S△AEH=254【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】（1）先根据∠BAD=∠CAE得出∠BAD=∠CAE，结合∠B=∠D即可证明△ABC∽△ADE（AA）；（2）根据相似三角形的性质得出∠C=∠E，根据对顶角相等证明△BCH∽△AEH，再根据相似三角形的性质即可得出结论.（1）解：相似，理由如下：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE；（2）解：如图：由（1）知△ABC∽△ADE，∴∠E=∠C，∵∠AHE=∠BHC，∴△AEH∽△CBH，∵AE=2,BC=5．∴△AEH与△BCH的面积比为4:25，∵△AEH的面积为20，∴△BCH的面积为125．11．【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，可得CD∥AB，所以△DEF∽△BAF，

又因为DE：EC=3：2，所以DEBA=3故选：C．【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.12．【答案】C【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：连接CE，过点C作CG⊥BD于点G，如下图，∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，∴S∴S△OCD=∵F是CD的中点，∴DF=1∵AB∥CD，∴△ABE∼△FDE，∴DF∴BE=2DE.∵△BEC和△DEC高相同，∴S∴S∵S∴2S∴S∵F是CD中点，∴S∴S故答案为：C.

【分析】连接CE，过点C作CG⊥BD于点G，利用相似三角形的性质得到BE=2DE，进而求出S△DEC=8，再利用等底同高的性质求出13．【答案】B【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：①由k值得意义知S故①正确，符合题意；②过点B作BM⊥x轴于点M，则ΔAOH∽ΔOBM∵则S△AOH故OAOB③∵AH⊥y轴，∴CO//AH，则OCAH④∵S则S△BOH则S△ABH∵BO=13OA故④正确，符合题意；故答案为：B．

【分析】利用反比例函数与一次函数图象交点问题和反比例函数k的几何意义求出△AOH的面积，再证出△AOH∽△OBM，利用相似三角形的性质证出S△AOH14．【答案】12【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积【解析】【解答】解：连接DE，

∵点O是△ABC的重心，

∴AD，BE是△ABC的中线，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DEAB=12，DE∥AB，

∴∠ABO=∠OED，∠BAO=∠ODE，

∴△OAB∽△ODE，

∴OBOE=ABDE=2，

∴S△ODE=12S△BDO=3

∴S△BDE=S△BDO+SODE=6+3=9，

15．【答案】3【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：设AC交EF于点H

由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE

∴△EAH∽△EDF

∴S△EAHS△EDF=AEDE2

∵它们重合部分的面积是△DEF面积的916

∴AEDE2=916

∴AEDE=故答案为：3【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则S△EAHS△EDF=AE16．【答案】1【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴BD是△ABC的AC边上的中线，BG：GD=2：1，∴S△ABD=S∵GE∥BC，∴△DGE∽△DBC，∴S△DGE∴S△DGE∴故答案为：19【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点，重心将三角形的每条分中线分成2：1两部分（重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份），得BD是△ABC的AC边上的中线，且BG：GD=2：1，从而得S△ABD=S△DBC，DGBD17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，

∴∠ADE＝∠ECF，

∵点E为DC的中点，

∴DE=CE，

在△ADE和△ECF中

∠ADE=∠ECFDE=CE∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△ECFASA，

∴AD=CF，

∴BC=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，

∴AB//DC，AB=2EC，

∴∠GEC=∠ABG，∠GCE=∠GAB，

∴△CEG∼△ABG，

∵△GEC的面积为2，

∴S△ABGS△CEG=ABCE2=122=14，即S△ABG=4S【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行可得∠ADE＝∠ECF，由对顶角相等可得∠AED=∠CEF，再利用中点的概念可证明△ADE≌△FCE，则AD=FC，再根据平行四边形的对边相等等量代换即可；（2）先由平行四边形的对边平行且相等可证明△CEG∼△ABG，则相似比为AGGC=ABCE=12，则S18．【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，

∵∠C=∠D，

∴△ABC∽△AED；（2）解：∵△ABC∽△AED，

∴S△ABCS△AED=BCDE2=49，

∵【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】（1）利用两角相等的两三角形相似解答；（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠C=∠D，∴△ABC∽△AED；（2）解：∵△ABC∽△AED，∴S△ABC∵BC=8，∴8DE解得：DE=12．19．【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD.（2）解：∵S∴S设S△ADE=2k，则∴S∴S由（1）知△ADE∽△ACD，∴S∵AE=4，∴16∴AD=210∵AD=AB，∴AB=210【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）判断即可；

（2）设S△ADE=2k，则S△CDE（1）证明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；（2）解：∵S∴S设S△ADE=2k，则∴S∴S由（1）知△ADE∽△ACD，∴S∵AE=4，∴16∴AD=210∵AD=AB，∴AB=21020．【答案】（1）解：y关于x的函数解析式为：y=12（2）解：由题意可得：xy=12x+y=8，

解得：x=2y=6或x=6y=2，

∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2，

∴S△ACP:S△BDP=CP【知识点】函数解析式；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】（1）解：∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴CPPB∴CP⋅PD=AP⋅PB，即：xy=12，∴y=12【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠C=∠B，∠A=∠D，从而由有两组角对应相等的两个三角形全等证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的对应边成比例建立方程，进而可求出y关于x的函数解析式；（2）已知CD=CP+PD=x+y=8，联立（1）的函数关系式，即可求得CP、PD的长，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．（1）解：∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴CPPB∴CP⋅PD=AP⋅PB，即：xy=12，∴y=12（2）解：由题意可得：xy=12x+y=8解得：x=2y=6或x=6∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2，∴S△ACP:S综上，S△ACP:S21．【答案】（1）解：由题意知，AP=2t，AQ=10−t，∵△APQ的面积为16cm∴1解得t=2或8，∵0<t<7.