浙江湖州市2025-2026学年高一下学期6月期末考试 数学 含解析

2025学年第二学期教学质量监测试卷高一数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设（i为虚数单位），则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【详解】∵，∴.2.若，，，则实数（）A.1 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解.【详解】，，，则有，所以.3.已知样本数据，，，，的方差为，样本数据，，，，的方差为，则（）A. B.C. D.与无法确定大小关系【答案】B【解析】【分析】直接根据样本的方差的定义计算可得.【详解】第一组数据：，共5个样本，平均数，方差：

.第二组数据：，共5个样本，平均数，方差：

.因为，比较得：.4.设随机事件，满足，，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】【详解】可知.5.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行B.过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线平行C.过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直D.过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面所成的角为【答案】C【解析】【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断.【详解】对A，设，则过A有且只有一个平面与平行，而内过点的无数条直线都与平行，A错；对B，设，则过有且只有一条直线与平行，过直线有无数个平面除过直线的一个平面外其它平面都与直线平行，B错；对C，过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直，C正确；对D，圆锥的轴截面是等边三角形，则圆锥的母线与底面所成的角都是，是圆锥底面所在平面外一点，由此可知D错.6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由，可得，代入，化简得，又，，所以，则有，.7.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为奇函数，则为奇函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，则（）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题【答案】A【解析】【详解】对于命题①，若、、均为上的奇函数，则，所以，所以为奇函数，即①为真命题；对于命题②，可知，则（*），因为、、均是以为周期的函数，则，，，由（*）可得所以是周期函数，同理可得、均是以为周期的函数，即②为真命题.8.如图，已知二面角的大小为，，在直线上，在内，且，设，与所成角分别为，，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】先找到线面角求出其余弦值，再结合直角三角形的性质进行等量代换.【详解】如图所示，过A作平面β于点P，连接，，则，，且，.再过P在平面β内作于O，连接，则，且.所以.在中，，，所以所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据共轭复数的定义、复数的模的定义、复数的运算法则判断各选项.【详解】对A，，A错；对B，，，因此，B正确；对C，，，C正确；对D，，所以，D正确.10.若实数，，且，则（）A.的最大值为4 B.的最小值为8C.的最小值为6 D.的最大值为【答案】BD【解析】【分析】A,B,C通过均值不等式求解，D通过柯西不等式求解.【详解】选项A，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，错误.选项B，，所以，正确.选项C，因为，所以，解得，，当且仅当时等号成立，但此时无法取到，所以，即，错误.选项D，由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立，所以，正确.11.以，，，，，为棱长的四面体的体积可以是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】通过合理分配棱长构造不同的四面体，进而计算其可能的体积，从而做出判断.【详解】①三条长度为1的棱共顶点，三条长度为的棱构成底面等边三角形，即，则，即，即两两相互垂直，所以；②三条长度为的棱共顶点，三条长度为1的棱构成底面等边三角形，即，作平面，则为平面的中心，连接，则，，所以；③长短棱交叉配对，一组对棱为1，即，因为，即，所以为等腰直角三角形，所以.方法一：以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，就是到平面的距离.因为，所以，解得，所以.方法二：设在平面的投影为，取的中点，连接，则，又因为平面，平面，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以，所以在中垂线上，在平面内，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，由得：，解得，所以，所以，所以.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的最小正周期为_______．【答案】【解析】【详解】由正弦函数的性质，函数的最小正周期为.13.将一个棱长为2cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______．【答案】【解析】【详解】如图，，，，，剩余几何体的表面积为.14.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．当比赛停止时，一共打满局的概率为_______．【答案】【解析】【分析】要打满局，必须前局结束时双方分差小于（也就是，分差），且打完第局时双方分差仍然小于（也就是，分差），这样才能继续打完剩下局，打满局.然后每两局打成的概率都是，两次独立事件同时发生，从而可得求事件的概率.【详解】要比赛打满局才停止，则比赛前局都没有满足“分差达到分”的停止条件：打完前局不停止：前局比分必须是（分差为，若分差为则提前停止），所以概率为：.前局未停止后，打完第局仍不停止：此时原本比分是，要继续不停止，第局和第局仍必须是一胜一负，总比分变为，所以概率为：.前局均未停止，就一定会打满局，各局胜负独立，因此总概率为：

.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最低分数；（结果保留1位小数）（2）若采用按比例分层抽样的方法，从得分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在的概率．【答案】（1）83.3分（2）【解析】【分析】（1）根据题意计算第80百分位数即可；（2）先根据分层抽样计算得到，抽到的人数，使用列举法得出2人成绩都在的概率.【小问1详解】由于，，所以第80百分位数在区间中，第80百分位数为，所以获得表彰同学的最低分数为83.3分．【小问2详解】与的频率之比为，所以5人中有3人得分在，记为，，，有2人得分在，记为，．设事件“座谈交流的2人得分均在”，由于，，所以．16.在中，，，，点在边上，且平分．（1）求；（2）求的长．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可.（2）利用和面积公式可求解.【小问1详解】由余弦定理得，因为，所以．【小问2详解】解法一：因为平分，，所以.由于，即，所以，所以．解法二：在中，由正弦定理得，即，所以，又因为，所以，所以，所以，在中，，由正弦定理得又因为，所以，所以．17.已知平行四边形，，，，记，，，且．（1）若，求的值；（2）当取最小值时，求与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）方法一：先利用线段比例把用基底表示，再借助数量积定义求得之间的夹角，最后代入模长与数量积即可求得结果；方法二：建立直角坐标系写出各点的坐标，得到向量的坐标后，利用坐标运算公式即可求得结果；（2）方法一：借助向量的基底运算把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角；方法二：借助坐标运算公式把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角.【小问1详解】方法一：在平行四边形中，因为，所以，因为，所以，又，所以．所以．方法二：因为，所以，又，故．以为原点建立如图直角坐标系，所以，，，，因为，所以，所以，，当时，，，所以．【小问2详解】方法一：因为，所以当时，取到最小值为4，即取到最小值为2．此时，所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0．方法二：由（1）可得：，所以，当时，取到最小值为4，即取到最小值为2．此时，所以，所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0．18.已知偶函数的图象与直线有且只有一个公共点．（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的最小值；（3）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，并令函数．若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）4（3）【解析】【分析】（1）由偶函数的性质及交点个数有有且只有一个解求参数值，即可得；（2）根据已知有，从而有，再应用基本不等式求目标式的最小值；（3）令，结合的函数图象，问题化为在区间和内各有一个解，列不等式求参数范围.【小问1详解】由为偶函数，知，由与只有一个交点，令，即方程有且只有一个解，所以，解得，所以；【小问2详解】由，即，即，又，所以，即，由于，当且仅当时取到等号，所以的最小值为4；【小问3详解】由题意，，，令，则方程，可化为，即，考虑到在上单调递减，在上单调递增，大致图象如下：所以要使方程有三个不同的实数解，只需方程在区间和内各有一个解，设，则在区间和内各有一个零点，则，得，或（另一个零点在内），得，综上，.19.如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求该五面体的体积的取值范围．【答案】（1）如图1，取的中点，连接，，，，由题意易得，可得，是的中点，所以，因为是边长为2的等边三角形，故，又为的中点，所以，又，平面，所以平面，平面，所以．（2）（3）【解析】【分析】（1）如图1，取的中点，求出，得到，则是的中点，利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到结论.（2）如图2，取的中点，求出到平面的距离即为到平面的距离为，利用三角形的面积求出，设直线与平面所成角为，则，通过计算得解．（3）解法1：如图3，通过补形将该五面体补形成三棱柱，利用线面垂直的判定定理求出平面，则，同理可得平面，求出，则，利用余弦函数的图像和性质得到的范围，则用表示，利用的范围求出的范围．解法2：如图3，通过补形将该五面体补形成三棱柱，过B作于，由对称性，易得，，，利用余弦函数的图像和性质得到的范围，则用表示，利用的范围求出的