中考数学高分突破 作业本 第1课时　代数式的推理类问题

第1课时代数式的推理类问题

（

）C

2.将x－y÷z∙m＋n（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”.例如：“x，y对调操作”的结果为y－x÷z∙m＋n，且“x，y对调操作”和“y，x对调操作”是同一种“对调操作”.下列说法：①只有“x，n对调操作”的结果与原式相等；②若“x，y对调操作”与“n，y对调操作”的结果相等，则x=n或m＋z=0；③若y=m=z，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果.其中正确的个数是（）A.0

B.1

C.2

D.3

（

）C

3.（2025∙西附）已知整式M：anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，其中n为自然数，an，an－1，…，a0均为正整数，且a0＜a1＜…＜an－1＜an，下列说法：①当n=4，a4=6，且a2为偶数时，则满足条件的整式M共有3个；②当an=5，a0为奇数时，满足条件的整式M有且仅有9个；③当an≤5时，满足条件的所有整式M有且仅有24个.其中正确的个数是（）A.0

B.1

C.2

D.3解析：①根据题意，当n=4，a4=6，且a2为偶数时，此时满足条件的整式M=6x4＋5x3＋4x2＋3x＋2或M=6x4＋5x3＋4x2＋3x＋1或M=6x4＋5x3＋4x2＋2x＋1，∴满足条件的整式M共有3个，故①正确；②若an=5，a0为奇数，当n=0时，满足条件的整式M为5；当n=1时，满足条件的整式M为5x＋1，5x＋3；当n=2时，满足条件的整式M为5x2＋4x＋3，5x2＋4x＋1，5x2＋3x＋1，5x2＋2x＋1；当n=3时，满足条件的整式M为5x3＋4x2＋3x＋1，5x3＋4x2＋2x＋1，5x3＋3x2＋2x＋1；当n=4时，满足条件的整式M为5x4＋4x3＋3x2＋2x＋1.∴满足条件的整式M共有1＋2＋4＋3＋1=11（个），故②错误；③若an=1，当n=0时，M=1；若an=2，当n=0时，M=2，当n=1时，M=2x＋1；若an=3，当n=0时，M=3，当n=1时，M=3x＋2或3x＋1，当n=2时，M=3x2＋2x＋1；若an=4，当n=0时，M=4，当n=1时，M=4x＋3或4x＋2或4x＋1，当n=2时，M=4x2＋3x＋2或4x2＋3x＋1或4x2＋2x＋1，当n=3时，M=4x3＋3x2＋2x＋1；若an=5，当n=0时，M=5，当n=1时，M=5x＋4或5x＋3或5x＋2或5x＋1，当n=2时，M=5x2＋4x＋3或5x2＋4x＋2或5x2＋4x＋1或5x2＋3x＋2或5x2＋3x＋1或5x2＋2x＋1，当n=3时，M=5x3＋4x2＋3x＋2或5x3＋4x2＋3x＋1或5x3＋4x2＋2x＋1或5x3＋3x2＋2x＋1，当n=4时，M=5x4＋4x3＋3x2＋2x＋1.综上，满足条件的整式M共有1＋2＋4＋8＋16=31（个），故③错误.故选B.（

）B

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打印前可删除此页4.（2024∙重庆）已知整式M：anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，其中n，an－1，…，a0为自然数，an为正整数，且n＋an＋an－1＋…＋a1＋a0=5.下列说法：①满足条件的整式M中有5个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；③满足条件的整式M共有16个.其中正确的个数是（）A.0

B.1

C.2

D.3解析：∵n，an－1，…，a0为自然数，an为正整数，且n＋an＋an－1＋…＋a1＋a0=5，∴0≤n≤4，当n=4时，则4＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0=5，∴a4=1，a3=a2=a1=a0=0，满足条件的整式有x4；当n=3时，则3＋a3＋a2＋a1＋a0=5，∴（a3，a2，a1，a0）=（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），满足条件的整式有2x3，x3＋x2，x3＋x，x3＋1；当n=2时，则2＋a2＋a1＋a0=5，∴（a2，a1，a0）=（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），满足条件的整式有3x2，2x2＋x，2x2＋1，x2＋2x，x2＋2，x2＋x＋1；当n=1时，则1＋a1＋a0=5，∴（a1，a0）=（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），满足条件的整式有4x，3x＋1，2x＋2，x＋3；当n=0时，0＋a0=5，满足条件的整式有5.∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；由列出的情况可知，不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；满足条件的整式M共有1＋4＋6＋4＋1=16（个），故③符合题意.故选D.（

）D

解析：若n=4，则A=a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0.∵多项式A为“对称系数多项式”，∴a0=a4，a1=a3，∴A=a0x4＋a1x3＋a2x2＋a1x＋a0.当x=－1时，A=a0×（－1）4＋a1×（－1）3＋a2×（－1）2＋a1×（－1）＋a0=a0－a1＋a2－a1＋a0=2a0－2a1＋a2，故①正确；设B为4次“对称系数多项式”，则B=b4x4＋b3x3＋b2x2＋b1x＋b0=b0x4＋b1x3＋b2x2＋b1x＋b0，∴A=（x＋1）B=（x＋1）∙（b0x4＋b1x3＋b2x2＋b1x＋b0）=b0x5＋b1x4＋b2x3＋b1x2＋b0x＋b0x4＋b1x3＋b2x2＋b1x＋b0=b0x5＋（b1＋b0）x4＋（b2＋b1）x3＋（b1＋b2）x2＋（b0＋b1）x＋b0，

∴C=D（x2－1）=（x2－1）∙（dm－2xm－2＋dm－3xm－3＋…＋d2x2＋d1x＋d0）=dm－2xm＋dm－3xm－1＋…＋d2x4＋d1x3＋d0x2－（dm－2xm－2＋dm－3xm－3＋…＋d2x2＋d1x＋d0）=dm－2xm＋dm－3xm－1＋（dm－4－dm－2）∙xm－2＋…＋（d0－d2）x2－d1x－d0.∵C=cmxm＋cm－1xm－1＋…＋c2x2＋c1x＋c0（m为偶数），di=dm－2－i（i=0，1，2，…，m－2），∴由条件可知c0＋c