七年级数学（上）有理数乘除法单元整合教案

七年级数学（上）有理数乘除法单元整合教案

设计者：[您的姓名/单位]

适用学段：初中七年级

教材版本：华东师大版

课时安排：3-4课时

日期：[当前日期]

一、设计理念与指导思想

本单元教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉持“核心素养导向”与“单元整体教学”的核心理念。我们将有理数的乘法与除法视为一个有机的整体——“有理数乘法运算”及其逆运算，而非两个孤立的知识点。设计着眼于从“数系扩充”的宏大叙事出发，引导学生理解运算的意义从非负有理数到有理数的自然延拓，体会数学内部的一致性与逻辑性。

我们强调“情境-问题-模型-应用-反思”的教学逻辑链，致力于将抽象的数学运算规则植根于真实或拟真的问题情境中，通过跨学科视角（如物理、经济、地理）激活学生的已有经验，驱动其主动建构知识。教学全过程渗透数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的培养，并关注学生从算术思维到代数思维的过渡，为后续学习方程、函数奠定坚实的算理与算法基础。

二、单元教学目标

（一）核心素养目标

1.数学抽象：能从具体情境中抽象出有理数乘除法的数学本质，理解其作为“累积变化”与“分配度量”的模型意义。

2.逻辑推理：能通过类比、归纳、演绎等思维活动，自主探索并合理论证有理数乘除法的运算法则（特别是符号法则）。

3.数学运算：掌握有理数乘除法的运算法则及运算律，能准确、熟练、合理（尤其是运用运算律简化计算）地进行混合运算。

4.数学建模：初步学会用有理数乘除法建立简单实际问题的数学模型，并解释运算结果的实际意义。

5.应用意识与创新意识：在解决跨学科、综合性问题中感受数学的应用价值，鼓励一题多解与算法优化。

（二）知识与技能目标

1.理解有理数乘法、除法的意义。

2.熟练掌握有理数乘法的运算法则（“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”），理解“任何数与0相乘都得0”。

3.理解倒数的概念，掌握求一个有理数（0除外）倒数的方法。

4.理解除法是乘法的逆运算，掌握将除法转化为乘法的法则（“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”），进而统一有理数乘除法的符号法则。

5.掌握乘法运算律（交换律、结合律、分配律）在有理数范围内的适用性，并能灵活运用以简化计算。

6.能进行有理数的乘除混合运算，遵循运算顺序，确保计算准确性。

三、学情分析与教学重难点

（一）学情分析

七年级学生已掌握了非负有理数（小学阶段的“数”）的乘除法运算，具备初步的抽象思维和归纳能力，但对负数的理解仍可能停留在“表示相反意义的量”的层面，对运算的意义延拓存在认知冲突。学生习惯于具体的、直观的思维，对于“负负得正”等抽象法则可能感到困惑甚至机械记忆。同时，他们的运算熟练度和运算律的主动运用意识有待加强。

（二）教学重点

1.有理数乘法法则的理解与运用。

2.理解除法转化为乘法的原理，熟练进行乘除混合运算。

3.乘法运算律在有理数运算中的灵活应用。

（三）教学难点

1.难点一（理解层面）：“负负得正”的算理理解。如何引导学生超越直观，从逻辑一致性和模型意义的角度接受并理解这一法则。

2.难点二（技能层面）：乘除混合运算中的符号处理与运算顺序。特别是在含有除法、分数线、括号的复杂算式中，如何避免常见错误。

3.难点三（应用层面）：在综合实际问题中，正确建立乘除法模型，并合理解释含有负数的运算结果的意义。

四、教学资源与跨学科连接

1.信息技术：动态几何软件（如GeoGebra）制作数轴模型，展示点的连续运动与累积效果；交互式课件呈现问题情境与探索过程。

2.实物模型：温度计模型、海拔示意图、收支记账表等。

3.跨学科连接点：

1.4.物理：匀速直线运动中的速度、时间与位移关系（速度方向与位移方向）；力的做功（力与位移的方向）。

2.5.地理：海拔高度的变化与温度变化的关系（大致每升高100米，气温下降0.6℃）。

3.6.经济：商品盈亏（正表示盈利，负表示亏损）与数量、总量的关系；储蓄利率（正）与贷款利息（负）。

4.7.体育：足球比赛中的净胜球计算规则。

五、教学过程设计与实施（核心环节）

第一课时：有理数的乘法——意义的延拓与法则的探究

环节一：情境导入，提出问题（预计时间：10分钟）

情境1（物理模型-运动）：展示一个点在数轴上做匀速直线运动的动画。

1.问题1：若点以每秒向右2个单位的速度运动，3秒后位置如何变化？列式计算：(+2)×(+3)=+6

。

2.问题2：若点以每秒向左2个单位（即速度为-2）运动，3秒后位置如何变化？引导学生理解“向左运动3秒”可视为“时间+3”，列式尝试：(-2)×(+3)=?

。结果是向左6个单位，即-6

。

3.问题3：如果点现在在原点，我们考察它3秒前的位置。若它一直以每秒向右2个单位的速度运动，3秒前它在哪？引导学生理解“3秒前”可视为“时间-3”。它应该在原点左边6个单位，即-6

。列式尝试：(+2)×(-3)=-6

。

4.核心提问：上述三个算式，从意义和结果上，与我们小学学的乘法有什么相同与不同？如何统一地解释这些运算？

情境2（生活模型-连续变化）：某水库水位每天变化情况。

1.规定水位上升为正，下降为负；时间后天为正，前天为负。

2.若水位每天下降3厘米（-3cm/天），问：4天后（+4天）水位变化了多少？列式：(-3)×(+4)=-12

（下降12厘米）。

3.问：已知每天下降3厘米，那么4天前（-4天）水位比现在高还是低？高（或低）多少？引导学生分析，4天前水位应该比现在高12厘米。列式：(-3)×(-4)=+12

。

环节二：合作探究，归纳法则（预计时间：20分钟）

1.观察与发现：将以上算式及更多示例（如温度变化、收支盈亏）列表呈现。

因数1

因数2

积

观察符号

观察绝对值

+2

+3

+6

同号

2×3=6

-2

+3

-6

异号

2×3=6

+2

-3

-6

异号

2×3=6

-2

-4

+8

同号

2×4=8

0

-5

0

+4

0

0

2.小组讨论：

1.3.议一议：有理数乘法运算中，积的符号与两个因数的符号有什么关系？

2.4.议一议：积的绝对值与两个因数的绝对值有什么关系？

3.5.如何用简洁的数学语言概括你们的发现？

6.归纳与表述：引导学生总结有理数乘法法则：

1.7.符号法则：同号得正，异号得负。

2.8.绝对值法则：把绝对值相乘。

3.9.零的法则：任何数与0相乘，积仍为0。

4.10.关键强调：先确定符号，再计算绝对值。

11.“负负得正”的深度理解（难点突破）：

1.12.逻辑一致性论证：引导学生观察算式(-2)×(+3)=-6

和(-2)×(-3)=?

。如果我们要保持乘法对加法的分配律在有理数范围内仍然成立，例如计算(-2)×[(+3)+(-3)]=(-2)×0=0

。根据分配律，这应等于(-2)×(+3)+(-2)×(-3)=-6+(-2)×(-3)

。为了使等式成立，(-2)×(-3)

必须等于+6

。从而说明“负负得正”是维护数学体系内部和谐与运算律普适性的必然要求。

环节三：示范精讲，巩固新知（预计时间：10分钟）

1.教师示范：板书2-3道例题，完整展示解题步骤与思维过程。

1.2.例1：(-5)×(-6)

（强调“同号得正”）

2.3.例2：(+3.5)×(-4/7)

（强调分数与小数参与运算，先化统一形式，确定符号后算绝对值）

3.4.例3：(-8)×0×(-125)

（强调0的作用）

5.课堂即时练习（“小试牛刀”）：学生独立完成4-5道基础计算题，教师巡视指导，抓典型错误（尤其是符号错误）进行点评。

环节四：小结与预告（预计时间：5分钟）

1.引导学生回顾本节课从具体情境抽象出数学法则的过程。

2.强调乘法法则的核心是“符号”与“绝对值”两步走。

3.布置作业：基础计算题+一道思考题（如：为什么我们说“几个因数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正”？你能举例说明吗？）

4.预告下节课：乘法的好帮手——运算律。

第二课时：乘法运算律与简便运算

环节一：复习迁移，提出猜想（预计时间：8分钟）

1.快速口答有理数乘法计算题。

2.问题：在小学，我们学过乘法的交换律、结合律、分配律。这些运算律在非负数范围内非常好用。现在数的家族扩充到了有理数，这些运算律还成立吗？

3.引导学生举出具体的正数、负数、零参与的算式例子，通过计算进行验证。

1.4.如：验证交换律(-3)×4=4×(-3)

？

2.5.验证结合律[(-2)×3]×(-5)=(-2)×[3×(-5)]

？

3.6.验证分配律(-4)×[7+(-2)]=(-4)×7+(-4)×(-2)

？

环节二：探究验证，归纳结论（预计时间：12分钟）

1.小组活动：各小组选择1-2个运算律，用不同的有理数（至少包含负数）构造2-3个例子进行计算验证，并尝试用字母a,b,c（代表任意有理数）进行一般性表述。

2.结论形成：有理数乘法同样满足：

1.3.交换律：a×b=b×a

2.4.结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

3.5.乘法对加法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

6.教师点睛：运算律是数的运算的普遍性质，不因数的符号改变而改变。它们是我们进行简便计算的基石。

环节三：典例剖析，灵活运用（预计时间：15分钟）

本环节重点展示如何运用运算律简化计算，提升运算效率与准确性。

1.例1（凑整与结合律）：计算(-0.25)×(-6)×(-4)

1.2.分析：(-0.25)×(-4)=+1

，再与(-6)

相乘。

2.3.强调：先观察，再计算。符号的判断可以放在最后一步（根据负因数的个数），也可以每一步都判断。

4.例2（分配律正向运用）：计算(3/4-7/8-5/12)×(-24)

1.5.分析：将-24

分配给括号内的每一个分数，可以避免通分的繁琐。

2.6.板书：=3/4×(-24)-7/8×(-24)-5/12×(-24)=-18+21+10=13

7.例3（分配律逆向提取）：计算(-5)×(-3又1/7)+(-7)×(-3又1/7)+12×(-3又1/7)

1.8.分析：观察发现公因数(-3又1/7)

，逆向运用分配律。

2.9.板书：=(-3又1/7)×[(-5)+(-7)+12]=(-22/7)×0=0

10.例4（简便运算综合）：计算-3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4

1.11.分析：寻找倍数关系。6.28=2×3.14

，1.57=3.14/2

。将各项都转化为含有3.14

的式子。

2.12.板书：=-3.14×35.2+2×3.14×(-23.3)-(3.14/2)×36.4=3.14×[-35.2-46.6-18.2]=3.14×(-100)=-314

环节四：巩固练习与小结（预计时间：10分钟）

1.分层练习：A组（直接运用运算律计算），B组（需变形后运用运算律）。

2.学生板演，师生共评。

3.小结：有理数简便运算的“三步法”——一观察（数字特征、符号）、二联想（运算律）、三计算。

第三课时：有理数的除法——转化为乘法的艺术

环节一：情境再现，感知互逆（预计时间：10分钟）

1.复习导入：已知(-3)×4=-12

，那么求“一个数与4相乘得-12，这个数是多少？”就是解方程?×4=-12

，根据乘法意义，这个“？”就是-12÷4

。请问-12÷4=?

引导学生根据乘法逆运算得出-3

。

2.对比观察：

1.3.(-12)÷4=-3

2.4.(-12)×(1/4)=-3

3.5.发现：(-12)÷4=(-12)×(1/4)

6.引出倒数概念：因为4×(1/4)=1

，所以我们说1/4

是4

的倒数（或4

是1/4

的倒数）。类似地，-3

的倒数是-1/3

，-2/5

的倒数是-5/2

。强调：0没有倒数。

7.猜想：除以一个数，等于乘这个数的倒数。这对负数成立吗？

环节二：探究归纳，统一法则（预计时间：15分钟）

1.实例验证：

1.2.计算12÷(-3)=?

根据乘法逆运算：?×(-3)=12

，得?=-4

。

2.3.同时，12×(-1/3)=-4

。∴12÷(-3)=12×(-1/3)

。

3.4.计算(-12)÷(-3)=?

逆运算：?×(-3)=-12

，得?=4

。

4.5.同时，(-12)×(-1/3)=4

。∴(-12)÷(-3)=(-12)×(-1/3)

。

6.归纳法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

1.7.即：a÷b=a×(1/b)(b≠0)

。

2.8.这是有理数除法的根本法则。

9.符号法则的再统一：将除法转化为乘法后，符号法则自然遵循乘法法则。因此，两数相除的符号法则同样是：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0。

环节三：应用转化，掌握运算（预计时间：15分钟）

本环节重点训练“除法转乘法”的熟练度，并处理复杂情形。

1.例1（基础转化）：计算(-18)÷6

；3.5÷(-7/8)

；0÷(-4.25)

。

1.2.强调步骤：①确定符号（或先转化）；②将除数变为其倒数，除法变乘法；③进行乘法运算。

3.例2（分数线的多重含义）：计算-6/(-2/3)

。明确分数线相当于除号，即(-6)÷(-2/3)=(-6)×(-3/2)=9

。

4.例3（乘除混合运算）：计算(-3/4)×(-1又1/2)÷(-2又1/4)

。

1.5.方法一（统一为乘法）：原式=(-3/4)×(-3/2)×(-4/9)

。然后一次性确定符号（三个负因数，积为负），再算绝对值。

2.6.方法二（逐步计算）：先算前两数相乘得9/8

，再算(9/8)÷(-9/4)=(9/8)×(-4/9)=-1/2

。

3.7.对比两种方法，强调“统一为乘法”往往更简便，可以减少中间步骤的符号判断。

8.例4（含括号与运算顺序）：计算[1/2-(3/4-3/5)]÷(-7/10)

。

1.9.强调运算顺序：先小括号，再中括号（括号内先通分），最后做除法（转化为乘法）。

环节四：课堂小结与作业（预计时间：5分钟）

1.总结有理数除法的核心思想——“转化”。将未知的除法运算转化为已知的乘法运算，体现了化归的数学思想。

2.强调倒数在转化中的关键作用，以及0不能作除数。

3.布置作业：包含基础除法、乘除混合、简便运算的综合练习题。

第四课时：单元整合、综合应用与数学活动

环节一：知识结构化梳理（预计时间：10分钟）

引导学生以思维导图或知识树的形式，自主梳理本单元核心内容：

1.核心：有理数乘除法

2.两大基石：乘法法则、倒数概念。

3.一个转化：除法转化为乘法。

4.三条运算律：交换律、结合律、分配律。

5.一种思想：化归思想（除法化乘法，复杂化简单）。

6.两类应用：纯数学运算与实际问题建模。

环节二：综合应用与问题解决（预计时间：25分钟）

设计一组层次递进、跨学科背景的综合应用题。

1.题组一（基本建模）：

1.2.某气象站测得，海拔每升高100米，气温约下降0.6℃。已知山脚温度为12℃，求海拔1500米处的温度。

2.3.（分析：海拔变化+1500m

，温度总变化量为(1500÷100)×(-0.6)=15×(-0.6)=-9℃

。山脚温度12℃

，故山顶温度12+(-9)=3℃

。涉及乘法和加法。）

4.题组二（跨学科整合）：

1.5.一辆汽车在一条东西走向的公路上行驶。规定向东为正。若它的平均速度为-60千米/时

（负号表示向西），请问：

a)2小时后它在出发点的什么位置？相距多远？(-60)×2=-120

，在西边120km。

b)计划从A地出发，3小时后到达西边90km的B地，它应以什么速度行驶？(-90)÷3=-30km/h

。

c)若它先以+40km/h

的速度行驶了1.5小时，然后以-50km/h

的速度行驶了2小时，求它最终的位置。(40×1.5)+[(-50)×2]=60+(-100)=-40km

。

6.题组三（探究与开放）：

1.7.已知a,b

互为相反数，c,d

互为倒数，|m|=3

，求(a+b)/2024+m-cd

的值。

2.8.（分析：运用有理数知识整合了相反数、倒数、绝对值概念。a+b=0

，cd=1

，m=±3

，代入计算。结果有两种情况。）

环节三：数学活动——“24点”有理数版（预计时间：10分钟）

活动规则：给定四个有理数（包含负数，如-2,3,4,-6

），运用加、减、乘、除（可用括号）连接，每个数用且仅用一次，使结果等于24或-24。

如：(-2-4)×(3-7)=(-6)×(-4)=24

；[(-6)÷(-2)+7]×3=(3+7)×3=30

（不等于24）。

此活动极具趣味性和挑战性，能极大调动学生积极性，综合训练其运算能力、数感和思维灵活性。

环节四：单元总结与反思（预计时间：5分钟）

1.请学生分享本单元学习中最深刻的理解或遇到的挑战及如何克服的。

2.教师进行总结性评价，强调有理数乘除法在整个代数学习中的基础地位，鼓励学生将“观察、转化、运用运算律”的思维模式迁移到未来的学习中。

六、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在情境探究、小组讨论、回答问题中的参与度、思维深度和表达的逻辑性。

2.3.练习反馈：通过课堂练习、板演、作业，及时诊断学生在运算法则、运算顺