小学三年级数学《商中有0的三位数除以一位数：算理融合与模型建构》导学案

小学三年级数学《商中有0的三位数除以一位数：算理融合与模型建构》导学案

一、教学内容分析

（一）【核心·单元坐标定位】

本课隶属于北京版三年级上册第四单元《多位数除以一位数》第二知识块“笔算除法”第4课时。从知识序列看，本课处于承上启下的战略节点：承上——学生在二年级已掌握表内除法，在三年级上册前三单元学习了整十、整百数除以一位数的口算及余数意义，在本单元前3课时完成了无余数及有余数三位数除以一位数（各数位均能直接整除或虽不能整除但无需商0）的竖式规范；启下——本课是除法竖式中“特殊处理”的首个典型范式，直接为后续“商末尾有0的除法”“除数是两位数除法中试商后调商”提供算理支撑。依据2022版新课标“数与运算”领域第三学段要求，本课不仅承担运算能力培养，更承载推理意识与符号意识的深度浸润。

（二）【热点·新教材迭代特征】

北京版新教材（2024年秋季起逐年投入使用）在本课编排上有三处关键变化：第一，将“0除以任何不是0的数都得0”从纯计算结论上升为“规律发现课”，增设了“分桃子—分草莓—数字轴”三级抽象路径；第二，例题序列调整为先呈现“被除数中间有0且百位除尽”（306÷3），再呈现“被除数中间无0但十位不够商1”（216÷2），强调算理归一；第三，首次在除法单元设置“错例思辨”专栏，将“商漏0”这一高频错误作为教学资源前置。本设计严格对标上述迭代，以“博物馆参观人数分组”为真实情境大任务，重构学习路径。

二、学情精准画像

（一）【基础·认知起点】

通过课前测与访谈可知：100%学生能熟练计算如848÷4=212（每位都能除尽）的算式；92%学生能说出除法竖式“从高位除起，一位一位往下分”的算法；但仅有34%学生能清晰解释“为什么十位上的4除以2商要写在十位”。数据揭示关键障碍点：学生对于“数位即计数单位个数”的本质理解尚浅，算法掌握偏向机械模仿，对商的定位依据——被除数某一位上有几个除数——缺乏元认知监控。

（二）【难点·认知冲突域】

本课核心认知冲突集中于两点：第一，当被除数某一位是0时（如306÷3的十位），0个十平均分成3份，每份是0个十，这个“0”是否必须写？不写会怎样？第二，当被除数某一位不够除时（如216÷2的十位），1个十平均分成2份不够分，为何必须商0占位，而不是跳过这一位与个位合并成16去分？这两种情形在表象上一个“有0”一个“无0”，但算理内核完全一致——都是“该数位上的计数单位个数不够分1个除数”。打通这种“异中求同”是思维进阶的标志。

三、素养化目标体系

（一）【观念建构层】

1.通过多元表征（实物分、面积图、计数器、竖式）的转换与对比，深刻理解“0在商中起占位作用”的数学本质，建构“不够商1就商0”的通用除法计算模型。

2.经历“猜想—验证—归纳”的完整探究过程，完成对“0除以任何不是0的数都得0”从生活经验到数学规律的抽象升华。

（二）【关键能力层】

3.能准确区分“商中间有0”的两种情形（被除数该位为0、被除数该位不为0但小于除数），规范书写竖式简便写法，正确率稳定在90%以上。

4.能运用本课模型解释生活中的平均数问题，初步感知“总量、份数、每份数”在“0”特殊状态下的守恒关系。

（三）【情意态度层】

5.在“错例诊疗”活动中形成自我反思、严谨求实的科学态度，体验数学简洁美与逻辑美。

四、教学重难点

（一）【重中之重·运算核心】

掌握商中间有0的三位数除以一位数的竖式计算规范，尤其是0占位的强制性与书写简洁性的辩证统一。

（二）【难中之难·算理关键】

深度理解“不够商1就商0”的计数单位细分原理，破除“0可以不写”或“跳过此位”的经验误区。

五、教学实施过程（六阶进阶，约40分钟）

【第一阶】激活经验，制造认知冲突（约5分钟）

（一）情境锚点投放

教师呈现北京自然博物馆实景图，声情并茂讲述：“阳光小学三年级有306名同学，他们将分成3组依次进入恐龙化石展厅。如果想让每组人数同样多，你会计算每组多少人吗？”学生根据前3课时经验迅速列式306÷3。教师指名在黑板书写竖式，几乎全体学生都能算出商12，但竖式写法呈现两极分化——约半数学生直接在十位写0，半数学生将十位空出或跳过后在个位写2。

（二）原认知暴露

教师不急于评判，将两种典型板书记录在侧，追问：“现在出现了两种写法，商分别是102和12，差了一个0，人数却从102人变成了12人，相差90人。问题出在哪里？”此时教室气氛骤然紧张，学生直观感受到“0的存亡”引起了结果的巨大偏差，认知冲突被充分激化。【高频失分点·难点】教师顺势揭示课题：今天我们就当“数学小侦探”，专门破解除法竖式中关于0的秘密。

【第二阶】多元表征，解构算理内核（约8分钟）

（一）计数器演绎——从半抽象到抽象

教师为每组提供计数器，任务驱动：“在计数器上拨出306，平均分给3个组，怎么分？”学生动手操作：百位上3颗珠，每组分1颗，百位分完；十位上0颗珠，无法继续分；个位6颗珠，每组分2颗。教师抓住关键帧：“十位上0颗珠，分给3个组，每组得到多少颗？怎么用算式记录？”学生自然说出0÷3=0。

（二）面积图勾连——几何直观介入

教师出示预先绘制的3行×100列方格图局部，将306涂色为3个整百列和6个独立方格。提问：“请你在图上圈出‘每组分到的部分’。”学生发现百位列可直接圈，6个方格可均分，而十位区域为空白。教师追问：“空白区域在竖式中对应哪一位？这一位的分的结果怎么写？”学生顿悟：空白区域就是0个十，分不到任何十，商的十位必须写0。

（三）【算理关键·重要】本质提炼

师生共同凝练核心观点：除法竖式中的每一位，都是在分这一位上的计数单位；如果这一位上一个计数单位都不够分给除数（或根本没有计数单位），就要用0来告诉别人——这一位我分过了，但什么都没分到。板书双线并置：

*情形A（被除数该位为0）：0个十÷3=0个十，商0

*情形B（被除数该位非0但小于除数）：暂不呈现，留作伏笔。

【第三阶】迁移建模，攻克变式难点（约10分钟）

（一）情境升级——数据微调

“四年级有216名同学也要分成2组参观，每组多少人？”学生列式216÷2。教师组织尝试练习，巡视中捕捉典型资源。此时绝大多数学生会受前例定势影响，在十位商0，但竖式过程出现分歧：有学生完整写出十位“1÷2=0……1”，落下的1与个位6组成16继续除；有学生直接省略十位计算步骤，仅在商十位写0后将个位6落下来除以2。

（二）【热点·辩学】关键辨析

教师将两种竖式并置，组织“你支持哪一种？为什么？”微型辩论。反方（支持简写派）认为：反正十位商0，写那么多0乘、减的过程太啰嗦；正方（支持完整派）认为：简写容易忘记十位为什么商0，而且如果十位有余数忘了落怎么办。教师顺势引导：“简写是不是偷懒？数学追求简洁，但简洁必须建立在算理清晰的基础上。我们一起来还原简写省略了什么。”板书动态演示：

完整式：十位1÷2，商0，0×2=0，1-0=1，落下个位6成16。

简写式：直接商0，落下6成16。

教师追问：“1-0=1这一步虽然没写，但‘余1’这个事实消失了吗？”学生恍然大悟：简写并不是没计算，而是心里算了，把余下的1个十在心里和个位6合并成16。因此，两种写法都对，但简写必须以透彻理解余数合并为前提。

（三）模型统整——异中求同

师生合作完成大概念建构表：

|算式|十位情况|十位商的含义|共性本质|

|306÷3|十位是0|0个十÷3=0个十|该数位上的计数单位不够（或没有）分给除数一个|

|216÷2|十位是1|1个十÷2，不够1个十，商0|该数位上的计数单位不够分给除数一个|

教师总结板书核心法则：【运算核心·必考】“除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；如果不够商1（包括该位为0的情况），就在那一位上商0占位。”这一法则将两种表面迥异的情形统一于同一个算理逻辑之下，实现从程序性知识向原理性知识的跃升。

【第四阶】溯源归元，攻克“0÷0”悖论（约5分钟）

（一）反例思辨——为什么除数不能是0

教师设疑：“我们已经学了0÷3=0，0÷5=0，是不是0除以任何数都得0？”多数学生点头。教师微笑抛出“陷阱”：0÷0等于几？一石激起千层浪。有学生脱口而出等于0，有学生小声嘀咕等于1，有学生陷入沉思。教师组织小组讨论2分钟。

（二）悖论引爆——逻辑自洽

小组汇报时，认为等于1的学生提出：“因为1×0=0，所以0÷0=1。”认为等于0的学生反驳：“0×0=0，所以0÷0=0。”还有学生怯怯地说：“好像几都可以，因为任何数乘0都得0。”教师此时高度赞扬：“你们触及了数学最深刻的禁忌！0÷0没有唯一的答案，它像一个变色龙，你想让它等于几它就等于几，这样的结果在数学中是混乱的、无意义的。所以我们必须加上一道封印——0不能作除数。”板书补充：【基础·必记】“0除以任何不是0的数都得0。”突出强调“不是0”这一关键前提。

【第五阶】结构化练习，形成技能自动化（约8分钟）

（一）基础性练习——形成肌肉记忆

出示题组（独立完成，同桌互批）：

1.402÷2=2.609÷3=3.505÷5=

重点监控：商的十位是否为0？竖式书写是否规范（0是否对齐十位）？

（二）辨析性练习——高阶思维介入

出示“数学医院”病案：

*病例A：624÷6=14（竖式过程显示十位2÷6商0后被跳过，直接落个位4成24÷6=4）

*病例B：840÷4=210（正确）

*病例C：720÷3=24（错误，漏写百位商后的0）

【非常重要·高频考点】组织“主诊医师”发言：病例A错在商漏0，正确商应为104；病例B正确，但追问学生——商的十位明明是1，不是0，为什么这节课却在练商中间有0？引导学生辨析：商中间有0指的是该位本身是0，而210的十位是1，属正常计算，本课重点并非“商里有0”而是“因不够分而人为商0”。

（三）跨学科融合——数学眼光看世界

【创新设计】播放30秒视频：丝绸博物馆中，一位工艺师将一根长达306厘米的丝线均匀分成3段，用来编织不同图案；另一位工艺师将216厘米的丝线分成2段。提问：“用除法算式表示这个过程，你会写竖式吗？”学生快速完成。教师升华：数学不仅存在于课本，古代工匠在没有任何口诀的情况下，凭“均分”的本能智慧创造了灿烂文明。今天我们学习的竖式，不过是将这种本能翻译成了符号语言。

【第六阶】课堂复盘与认知延伸（约4分钟）

（一）思维脑图构建

学生闭目回忆，教师带领默念：“今天我们打通了除法竖式的任督二脉——无论被除数这一位是0，还是不够除，我们的对策只有一个：商0占位。0就像交通岗亭，虽然没有人，但必须站在那里指挥交通，否则数字的车流就会乱套。”

（二）认知冲突再回首

教师再次出示开课时的两种306÷3竖式，全班齐声判定正确写法，并齐读商中间0占位口诀：“百位除尽看十位，十位是0商0对；十位不够商1时，也请0来把位占；个位计算别忘掉，落下一组合起来。”

（三）延伸性提问

“如果被除数末尾有0，比如240÷2，商的末尾会出现0吗？这个0也是‘不够分’导致的吗？”留下悬念，为下节课《商末尾有0的除法》铺设认知期待。

六、作业设计（分层进阶，总时长约20分钟）

（一）【基础·必做】

1.竖式计算并验算：804÷4=915÷3=545÷5=707÷7=

要求：每道题先用竖式计算，再用乘法验算，养成“凡算必验”的习惯。

（二）【拓展·选做】

2.数学日记：《我是小小审计员》

资料：某工厂将618个玩具平均分给6个销售点，会计计算结果是13个。请你用竖式帮他审计，指出错误原因并写出正确报告。

（三）【挑战·研究】

3.开放题：在□里填合适的数。

□□□÷3=1□0

要求：写出所有可能的除法算式，并说明你的思考过程。

七、板书设计（框架逻辑）

左侧主板书：

【核心定律】

0÷任何非0数=0

↓迁移

不够商1→商0占位

【竖式双模】

306÷3=102216÷2=108

（十位0占位）（十位0占位）

异形异形

↓↓

同构：该位计数单位<除数

右侧副板书：

【高频错例警示】

306÷3=12❌（漏0，大小错误）

216÷2=18❌（跳位，程序错误）

【跨学科微镜头】

丝线均分→除法模型

八、教学反思路径（课后自评要点）

（一）成效观测点

1.是否95%以上学生能正确计算商中间有0的标准式；

2.是否80%以上学生能用自己的话解释“十位不够除为什么必须写0”；

3.是否70%以上学生在验算时主动利用“商×除数=被除数”反向监控。

（二）补偿机制

针对“遗漏0”顽固性错误，设计“三步自查法”：一查商与被除数位数是否大致匹配；二查商每一位下方是否有对应的除数相乘痕迹；三查未写出的0是否在