小学数学五年级上册《九章算术》中的“圭田术”与多边形面积跨学科主题学习教学设计

小学数学五年级上册《九章算术》中的“圭田术”与多边形面积跨学科主题学习教学设计

一、教学内容分析

本课内容是基于西师大版五年级上册第五单元“多边形面积的计算”中“你知道吗”栏目深度开发与重构的主题学习课。原教材内容旨在通过介绍《九章算术》中关于平面图形面积的记载，让学生了解古代数学成就，渗透数学文化。在此基础上，本设计以跨学科主题学习为理念，以“圭田术”为核心载体，打通数学史、语文学科（文言文阅读）、历史学科（秦汉度量衡制度）的壁垒，构建“探寻古代中国数学家如何算面积”的核心驱动问题。

本课不仅承载着巩固与拓展三角形面积计算公式（底×高÷2）的知识功能，更重要的是引导学生经历从古代算法表述（如“半广以乘正从”）到现代数学符号语言的翻译与转化过程，深刻理解“出入相补”这一中国传统数学中极具智慧的几何原理。通过对比古代不同的算法顺序（如“半广以乘正从”与“半正从乘广”），体会数学思想的灵活性与一致性，最终达成对数学文化根源的深度认同，树立文化自信。这不仅是知识的教学，更是民族血脉的寻根之旅【重要】【文化自信】。

二、学情分析

五年级学生已经掌握了长方形、平行四边形、三角形的面积计算公式，并经历了平行四边形和三角形面积的推导过程，积累了初步的“转化”数学思想方法经验。他们对新事物充满好奇，具备了一定的动手操作能力和小组合作探究能力。然而，学生对数学知识的认识往往停留在“是什么”和“怎么用”的层面，对于知识“从何而来”、“为何这样想”以及背后的文化逻辑缺乏深入思考。

学生在语文课上开始接触简单的文言文，但对古代度量衡单位（如步、亩、里）和古汉语数学术语（如广、从、圭田）极为陌生，这既是学习的难点，也是激发探究兴趣的生长点。因此，本课的设计需要搭建“古今对话”的桥梁，将晦涩的古文转化为可操作的数学活动，让学生在“做数学”的过程中“读数学史”、“悟数学道”。

三、核心素养目标

1.会用数学的眼光观察现实：能够从《九章算术》的文言文描述中，抽象出几何图形（三角形、梯形等），理解古代“圭田”即现代三角形这一数学建模过程【基础】。

2.会用数学的思维思考现实：经历从“半广以乘正从”到“底÷2×高”再到“底×高÷2”的算法等价转化过程，深度理解三角形面积公式中“÷2”的几何意义；初步感悟“出入相补”原理在面积计算中的普适性，发展逻辑推理和直观想象素养【非常重要】【难点】。

3.会用数学的语言表达现实：能够用自己的语言解释古代面积计算方法的合理性，并能将古代的算法用现代数学公式和语言进行转译与表达【重要】。

4.会用品格的力量涵养精神：通过了解《九章算术》的成书背景及其在世界数学史上的地位，增强民族自豪感；通过模仿古人“注经”的方式给课本做批注，体验文化传承与创新的责任感【热点】。

四、教学重难点

1.教学重点：理解《九章算术》中“半广以乘正从”的含义，并探究其与现代三角形面积公式（底×高÷2）的内在一致性。

2.教学难点：理解“出入相补”原理（即“以盈补虚”）在“圭田术”推导过程中的应用，深刻体会古代数学的算法智慧和几何直观。

五、教学准备

1.教师准备：制作多媒体课件（含《九章算术》书影、刘徽画像、秦汉度量衡介绍短视频、动态演示“以盈补虚”过程的GeoGebra动画）；设计《古今对话·探秘圭田》探究学习单；准备竹简造型的道具若干（用于情境导入）。

2.学生准备：剪刀、一般三角形纸片（非等腰、非直角，最好是锐角三角形）、透明胶带；课前简单查阅关于《九章算术》的简介。

六、教学实施过程（核心环节，约占全文70%）

（一）创设情境，穿越古今：从“方田章”到“圭田术”

课堂伊始，教师手持一卷仿制的竹简，以庄重而富有感染力的语调创设情境：“同学们，在两千多年前的秦汉时期，我们的祖先在丈量土地、兴修水利、分配田产的过程中，积累了丰富的数学经验，最终汇集成了我国流传至今最古老的数学专著——《九章算术》。”（课件同步展示《九章算术》古代刻本书影）【重要】【文化情境】

教师引导学生快速浏览教材第五单元后的“你知道吗”栏目，并提问：“大家看到了，《九章算术》的第一章叫‘方田’，主要讲什么呢？”学生回答：“讲各种形状田地的面积计算。”教师顺势引出本课的核心研究对象：“在方田章中，记载了一种形状的田，叫‘圭田’。大家看这个‘圭’字，想到了什么？”（引导学生联想古代帝王诸侯手持的礼器“玉圭”，其形状上尖下方，类似三角形）【跨学科：语文识字】

“那么，‘圭田’就是三角形形状的田地。古人是如何精准计算这块田的面积以便公平赋税的呢？让我们穿越时空，化身汉代的小官吏，跟着《九章算术》一起去解开这个千年算法之谜。”教师板书本课主标题：《圭田探秘——寻访九章算术中的面积智慧》。

（二）初识古文，转译算法：解读“半广以乘正从”

1.呈现原文，划分句读：课件出示《九章算术·方田》中的一段原文（带现代标点）：“圭田术曰：半广以乘正从。”【基础】

教师引导学生像读文言文一样，先读准字音，再尝试断句。学生在语文课上积累的文言文语感被调动起来，能够初步划分出“半广/以乘/正从”。教师强调这里的“术”指的是计算方法。

2.破解关键词，图文结合：这是本环节的认知冲突点。教师出示学习单上的探究任务一：“破解‘广’与‘正从’”。

教师展示一幅古代田亩图，并讲解：“在古代数学中，‘广’指的是东西方向的宽度，对于一块圭田（三角形）而言，通常指的是三角形的底边。而‘正从’的‘从’在古汉语中读作zòng，通‘纵’，指南北方向的长度，也就是我们现在所说的三角形的高。”【难点】

学生结合图形，在小组内尝试用自己的话解释“半广以乘正从”的操作步骤。经过讨论，学生能够用白话表述为：“把底边分成两半（取底的一半），然后用它去乘高。”

3.古今互译，算式表达：教师进一步引导学生用现代的数学算式表达这个算法。学生在学习单上写下：三角形面积=底÷2×高。

至此，学生发现，古代算法与现代教科书上的公式虽然表述不同（现代公式为底×高÷2），但运算顺序虽有不同，结果却应该是一样的。这引发了学生的好奇：为什么古人不直接用底乘高再除以2，而要麻烦地先取底的一半呢？

（三）动手操作，溯源算法：探究“半广”背后的几何原理

1.提供学具，独立尝试：为了解开这个谜团，教师引导学生进入探究任务二：“古人为何‘半广’？——动手还原‘以盈补虚’”。【非常重要】【操作实践】

教师发给每个小组一个用硬纸板剪好的锐角三角形（即“圭田”），并提出要求：“请大家想象自己就是两千年前的数学家刘徽，我们现在没有学过任何面积公式，但我们要想办法把这块三角形的田，转化成长方形或正方形，看看能不能通过长方形面积来算出三角形的面积。注意，只能剪一次或两次，然后拼一拼。”

2.小组合作，探索方法：学生在小组内展开激烈的讨论和操作。因为之前学过三角形面积推导，有些学生会迁移“倍拼法”（用两个完全一样的三角形拼成平行四边形）的经验。教师此时要进行关键性引导：“古人可能只有一块田，他们不舍得去借一块完全一样的来拼，他们想在‘不增补’（不增加额外土地）的情况下，通过切割这一块田来重新摆放。这就是古人更常用的‘以盈补虚’或‘出入相补’法。”【重要】【数学思想】

在教师的启发下，学生开始探索新的分割方法。部分思维活跃的小组会找到方法：沿着三角形两边中点的连线（中位线）剪开，得到一个小的三角形和一个梯形，然后再将小三角形旋转、平移，最终正好拼成一个长方形。

3.展示汇报，对比分析：请成功的小组上台展示操作过程。学生边操作边讲解：“我们沿着这个点（中点）剪开，然后把剪下来的小三角形旋转过来，填补到梯形的另一侧，就拼成了一个长方形。”

教师在黑板上用教具同步演示，并追问：“仔细观察，拼成的这个长方形和原来的三角形有什么关系？”引导学生发现：

长方形的长等于原来三角形的底吗？（不是，长方形的一条长边等于三角形的底，另一条长边等于三角形底的一半，实际上是底的长度？此处需精确：拼成的长方形，其“长”对应的应该是原三角形的底，而“宽”对应的是原三角形高的一半。）

更准确的表述：通过“以盈补虚”拼成的长方形，它的长是原三角形的底，它的宽是原三角形高的一半。所以长方形面积=底×（高÷2）。

教师再引导