小学二年级数学表内除法（二）结构化认知与模型建构全景导学案

小学二年级数学表内除法（二）结构化认知与模型建构全景导学案

一、单元主题与设计哲学：从技能习得走向意义建构

本导学案针对人教版二年级数学下册第四单元“表内除法（二）”进行整体设计。本单元隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》第一学段“数与代数”领域的“数与运算”主题，是整数除法教学体系中承上启下的关键节点。学生在二年级上册及下册第二单元已初步理解平均分的含义，掌握了用2至6的乘法口诀求商的方法。本单元将口诀范围扩展至7、8、9，并首次系统引入涉及单价、数量、总价以及倍数关系的现实模型。

本设计的核心理念在于：拒绝将本单元窄化为单纯的计算技能训练课，而是将其定位为一场从“算术思维”向“代数思维”的软着陆。我们将以“结构化认知”为经线，以“模型建构”为纬线，通过具身操作、多元表征与逻辑说理，引导学生在真实问题情境中不仅“算出得数”，更能“讲清道理”、“提炼模型”。本设计严格遵循新课标“内容结构化”理念，将碎片化的口诀记忆整合为可迁移的运算策略，将生活情境抽象为严谨的数学模型，最终实现学生运算能力、推理意识与模型意识的协同发展。

二、单元教学内容与学情精准画像

（一）教材逻辑链的深层解码

本单元教材编排遵循“口诀求商技能强化→模型建构初步→综合应用与结构化梳理”的三阶递进路径。第一阶（用7、8、9的口诀求商）并非全新知识，而是方法的迁移与拓展，核心在于引导学生自主发现“口诀积即被除数”的算理一致性；第二阶（解决问题）是素养落地的核心载体，首次以显性化方式呈现“总价÷单价=数量”、“总价÷数量=单价”及“求一个数是另一个数的几倍”的除法结构；第三阶（整理与复习）要求超越单一技能，引导学生自主构建表内除法整体认知图谱，发现商不变的规律雏形。

【核心】本单元的学科本质在于：除法是沟通乘除互逆关系与等分/包含两种现实原型的思维枢纽。

（二）学情前测分析与认知障碍预警

基于对本年龄段儿童认知心理学的深度把握，我们做出以下精准学情研判：

1.【基础】优势区：学生已能熟练背诵7-9的乘法口诀，且具备“想口诀求商”的基本经验。大部分学生能够解决“把总数平均分成几份”的标准问题。

2.【难点】关键障碍区：一是思维定势的负迁移。当情境从“平均分”变为“包含除”（如求一个数里包含几个另一个数）或逆向求单价时，部分学生难以准确对应除数与商的位置。二是【高频考点】“倍数关系”的首次抽象。学生常混淆“谁是标准量”，将“求倍数”错误地用加法或乘法解决。三是【难点】“单价、数量、总价”三个抽象术语与具体物品价格的对应关系，以及根据问题灵活选择除数是单价还是数量的逆向思维。

三、单元目标层级体系与素养锚点

（一）【基础】知识与技能层

1.熟练掌握用7、8、9的乘法口诀求商的方法，形成必要的口算技能，正确率达95%以上，脱口而出率达85%以上。

2.能根据乘除互逆关系，快速写出一个乘法算式对应的两个除法算式。

3.能结合具体情境理解“单价”“数量”“总价”的含义，掌握三者之间的数量关系式。

4.能理解“倍”的概念，解决“求一个数是另一个数的几倍”及“求一个数的几倍是多少”的实际问题。

（二）【关键能力】过程与方法层

1.经历“观察信息—提出问题—构建算式—检验反思”的完整解决问题流程，培养审题意识与检验习惯。

2.通过“圈一圈、画一画、算一算”等多元表征转换，实现从直观动作思维到抽象符号思维的过渡，发展几何直观。

3.在算法多样化的基础上实现算法优化，深刻体会“乘法口诀求商”的简洁性与普适性，发展推理意识。

（三）【核心素养】情感态度与价值观层

1.在“国庆节布置教室”“购物小当家”等主题情境中，感受除法在解决生活问题中的广泛应用，激发持久的学习内驱力。

2.通过小组共学、互评互议，养成认真倾听、敢于质疑、乐于分享的理性精神。

3.渗透爱国主义教育，在中国古老算筹思想及现代科技成就中感悟民族自信。

四、知识结构化重构与核心要点全景罗列

【非常重要】本部分将全单元知识点按照“认知逻辑”而非“教材页码”进行重组，形成完整的知识清单：

（一）口诀求商技能强化系统

1.用7的乘法口诀求商：迁移“七七四十九”“七八五十六”等口诀，理解“除数是几，就想几的口诀”。

2.用8的乘法口诀求商：重点突破被除数56、64、32、16、48等数的拆分。

3.用9的乘法口诀求商：重点突破被除数27、36、45、54、63、72、81。

4.【高频考点】乘除混合运算的运算顺序：从左到右依次计算，初步感知同级运算规则。

5.【难点】带括号的除法综合算式：先算括号内，再算括号外，建立运算顺序的规则意识。

6.【核心】口诀求商的本质：除法算式中的除数和商，就是乘法口诀中的两个乘数，被除数就是积。

（二）除法现实模型建构系统

1.【非常重要】“等分除”模型：已知总数和份数，求每份数。句式：“把……平均分成……份，每份是多少？”

2.【非常重要】“包含除”模型：已知总数和每份数，求份数。句式：“……里面有几个……？”

3.【高频考点】“单价、数量、总价”模型：

[1]核心关系式：单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量=单价。

[2]变式训练：已知总价和购买数量，求单价（逆向思维）。

[3]比较问题：哪种商品更便宜？（先求单价再比较）。

4.【高频考点】“倍数关系”模型：

[1]求一个数是另一个数的几倍：用除法，倍数=一个数÷另一个数（标准量）。

[2]求一个数的几倍是多少：用乘法，几倍数=标准量×倍数。

[3]【难点】和倍问题的简单渗透（作为拓展，不要求全体掌握）。

5.【热点】两步计算的实际问题：连乘、连除、乘除混合（如“买2个同样的文具盒需要16元，买5个需要多少钱？”）。

（三）结构化梳理与规律发现系统

1.表内除法表的自主构建：按“商相同”或“除数相同”进行分类整理。

2.【核心】规律的初步发现：

[1]横着看：除数不变，被除数越大，商越大。

[2]竖着看：商不变，被除数和除数同时乘一个相同的数（商不变规律的具体实例，不归纳文字结论，只感知现象）。

[3]被除数和除数相同（不为0），商为1。

[4]除数是1，商等于被除数。

五、教学实施过程：四阶十环深度建构

【非常重要】本部分为导学案核心，采用“四阶十环”的认知进阶结构，详细呈现每一环节的师生行为与思维触发点。

（一）第一阶：迁移·同化——口诀求商的自动化与原理深化（2课时）

第1课时用7、8的口诀求商

1.【激活】经验唤醒环节（3分钟）

教师不以“今天我们学习7、8的口诀求商”直接切入，而是呈现布置教室主题图（彩旗56面，挂成8行）。设问：“根据这个信息，你能提出一个用除法解决的问题吗？”学生自然迁移第二单元经验，列出56÷8。

【核心追问】“为什么这道题用除法？”引导学生说出“因为是平均分”。这里不仅是列式，更是对除法意义本质的回扣。

2.【碰撞】算法多样化与优化环节（12分钟）

学生独立尝试计算56÷8。预设会出现：摆小棒（圈一圈）、连减法（56-8-8-8……）、想乘法口诀等。

【核心教学行为】教师将三种方法并列呈现在黑板上，组织学生辨析：“哪种方法最快？如果数字变成5600÷8呢？”通过极端化设问，迫使学生体悟“想口诀”的普适性与高效性。此时，【难点】自然突破：学生不仅知道用“七八五十六”，更深刻理解了为什么用这句口诀——因为除数是8，就要找8和几相乘得56。

3.【变式】结构迁移环节（10分钟）

教师不直接给出56÷7的算式，而是改换条件：“还是这56面旗，如果挂成7行，平均每行挂几面？”学生独立列式并求商。

【非常重要】此处必须组织“比较辨析”：56÷8=7和56÷7=8，这两道题有什么相同和不同？引导学生发现：同一句口诀可以计算两个除法算式；被除数不变，除数变了，商也变了。这是对乘除互逆关系的深度强化。

4.【通关】技能达标（10分钟）

分层练习：

[1]基础层（人人过关）：32÷848÷656÷721÷742÷7

[2]【高频考点】应用层：49颗星星，平均分给7个小组，每组分几颗？

[3]【思维拓展】□里能填几？7×□＜458×□＜60

第2课时用9的口诀求商及综合应用

1.【自主学习】迁移尝试（5分钟）

出示例2主题图（27个气球，每9个摆一行）。学生独立列式、计算、检验。教师巡视，重点关注学困生对口诀“三九二十七”的提取速度。

2.【难点突破】口诀顺向与逆向思维的流畅切换（15分钟）

设计“口诀反应大挑战”活动：

[1]看到“七九六十三”，你能写出哪几道算式？预设：7×9=63，9×7=63，63÷7=9，63÷9=7。

[2]根据算式找口诀：63÷7=？口诀是（）。72÷8=？口诀是（）。

[3]【非常重要】听口诀写算式：教师说“四八三十二”，学生写出两道乘法、两道除法。此环节旨在打破学生“口诀只能用于乘法”的惯性，建立“口诀库即运算工具库”的认知结构。

3.【核心】计算策略优化（10分钟）

对比练习组：

18÷6=18÷9=

56÷7=56÷8=

64÷8=64÷÷?（开放题，学生自行设计除数并计算）

引导学生归纳：被除数不变，除数越大，商越小。渗透函数思想。

4.【综合】解决问题（10分钟）

呈现信息量大、需要筛选信息的题目：有45个苹果，每盘放5个，已经放了6盘，还要放几盘？

【关键能力】本题不仅考查除法，更考查学生能否在多余信息中提取关键的数量关系。

（二）第二阶：具象·抽象——除法现实模型的深度建构（3课时）

第3课时【非常重要】【高频考点】单价、数量、总价模型（一）

1.【情境创设】真实问题引入（5分钟）

教师不是直接板书公式，而是扮演“马虎的顾客”：“我带了56元，想买8元一个的地球仪，能买几个呢？”学生本能回答“7个”。教师追问：“你是怎么这么快算出来的？”

【核心】从生活经验上升为数学原理。

2.【概念具象化】术语揭示与对应（8分钟）

教师出示三个词语卡片：单价、数量、总价。组织学生将情境中的信息与卡片连线：

56元——总价

8元——单价

7个——数量

【难点】学生初次接触“单价”，易与“总价”混淆。必须通过大量实例辨析：一个篮球45元，这是单价；买3个篮球共135元，这是总价。

3.【模型提炼】关系式的发现（12分钟）

小组合作探究：根据“56÷8=7”，你能像编故事一样，用“单价、数量、总价”这三个词把算式讲出来吗？

学生汇报：总价÷单价=数量。

教师顺势迁移：如果求“一个地球仪多少钱”，已知总价和数量，怎么列式？24÷6=4（元）。引导学生自主归纳：总价÷数量=单价。

【核心】此处绝不允许死记硬背公式，必须让学生在具体情境中理解“求每份是多少用除法”和“求份数用除法”的本质区别。

4.【高频考点】检验意识培养（5分钟）

完成计算后，强制要求学生进行检验：7×8=56，4×6=24。

规范检验格式：用乘法验算除法，看积是否等于被除数。

第4课时单价、数量、总价模型（二）——比较与综合

1.【变式训练】求单价与求数量的混合辨析（10分钟）

呈现一组对比题：

[1]小明买3本同样的笔记本花了27元，每本多少钱？

[2]小明带了27元，每本笔记本9元，可以买几本？

组织学生用画图法表示两道题的区别。第一题是平均分（把27元平均分成3份），第二题是包含除（27元里面有几个9元）。

2.【热点】比较类问题（12分钟）

教材练习九第4题变式：哪家商店的牛奶便宜？

甲商店：6盒装牛奶42元；乙商店：8盒装牛奶56元。

教学策略：引导学生先分别求出每盒的单价（42÷6=7元，56÷8=7元），再比较。此题【非常重要】在于它揭示了“总价÷数量=单价”的应用价值，且能通过计算结果相等渗透“单价一定，总价与数量成正比”的雏形。

3.【难点】信息冗余与缺失问题的处理（8分钟）

[1]信息冗余：小红买了4支铅笔，付给售货员20元，找回4元，每支铅笔多少钱？

引导学生辨析：付出20元，找回4元，实际总价是多少？需要先减后除。

[2]信息缺失：妈妈买了5个苹果，一共花了20元，________，每千克苹果多少钱？

学生讨论：还需要知道什么信息？（每个苹果多重或者一共多重）渗透量感与单位意识。

4.【综合应用】拓展训练（5分钟）

开放题：请用“48÷6=8”编一道关于买文具的应用题，并指出哪个是单价，哪个是数量，哪个是总价。

第5课时【难点】【高频考点】倍数关系的除法模型

1.【旧知联结点】倍概念的唤醒（5分钟）

二年级上册已初步认识“倍”，但很多学生已遗忘。教师通过摆学具复习：第一行摆2个圆片，第二行摆6个圆片。提问：第二行的个数是第一行的几倍？学生通过圈一圈发现：6里面有3个2，所以是3倍。

2.【模型建构】求一个数是另一个数的几倍（15分钟）

出示例题：唱歌的有35人，跳舞的有7人，唱歌的人数是跳舞的几倍？

【核心】必须让学生明确“标准量”是谁。标准量是“跳舞的人数”，列式35÷7=5。

关键追问：商“5”后面要不要写“倍”字？严格规范：倍不是单位名称，是表示两个数量之间的关系，答题时一般不在算式后带“倍”，但在口答中要说“是5倍”。

3.【难点辨析】求倍数与求差分的混淆防御（10分钟）

对比呈现：

[1]小红有8个苹果，小明有2个苹果，小红的苹果数是小明的几倍？

[2]小红有8个苹果，小明有2个苹果，小红比小明多几个？

组织学生辨析：什么时候用除法，什么时候用减法。前者是比较“包含关系”，后者是比较“相差关系”。这是【高频错题】，必须通过反复对比强化。

4.【逆向迁移】已知倍数求较大数（5分钟）

作为本课时的弹性内容：如果小明有8张邮票，小红的邮票数是小明的4倍，小红有多少张？引导学生从“倍”的含义出发：就是求4个8是多少，用乘法。

（三）第三阶：综合·应用——复杂情境中的策略选择（2课时）

第6课时乘除混合的两步计算应用题

1.【模型链接】从一步到两步的跨越（10分钟）

呈现核心例题：2双手套16元，买5双手套需要多少钱？

【非常重要】此题型是三年级归一问题的前身。教学策略：

第一步：分析“先算什么，再算什么”。

先求1双多少钱（单价）：16÷2=8（元）。

再求5双多少钱（总价）：8×5=40（元）。

第二步：列综合算式。16÷2×5。强调运算顺序。

2.【难点】除加、除减混合（10分钟）

教材习题深化：林林家铺子。妈妈带了100元，买了一件68元的上衣，剩下的钱买4元一双的袜子，能买几双？

学生独立分步列式：100-68=32（元），32÷4=8（双）。

综合算式：（100-68）÷4。重点讲解为什么要加小括号——先算减法，改变运算顺序。

3.【合作探究】多样化解题策略（10分钟）

出示开放性题：小明和小红共买了24支铅笔，小明买的支数是小红的2倍。他们各买了多少支？

此题对于二年级是极高挑战。采用画线段图策略：

小红：1份

小明：2份

总共3份是24支，先求1份（小红）：24÷3=8（支），再求小明：8×2=16（支）。

此处不强求全员掌握，但为学优生提供思维跳板，渗透和倍问题的几何直观解法。

4.【课堂检测】独立练习（5分钟）

设计两道变式题，确保各层次学生均有获得感。

第7课时单元知识结构化整理与规律初探

1.【前置任务】展示与评价（8分钟）

课前布置学生制作“表内除法知识小报”。课始随机抽取3份展示，从“知识点全面”“有自己发现的规律”“设计清晰”三个维度进行同学互评。

2.【核心活动】除法表的分类整理（15分钟）

小组合作：教师提供20余张未排序的表内除法算式卡片（商1-9）。任务：“这些算式要参加家族会议，请你按一定的标准帮它们入座，并说说你为什么这样分。”

预设学生会按商相同、除数相同、被除数相同等方式分类。教师引导学生重点观察“商相同”的那一列。

【非常重要】纵向比较：

第一列（商2）：2÷1=2，4÷2=2，6÷3=2，8÷4=2……

你发现了什么？被除数和除数怎么变化的？

学生能直观感知：被除数和除数同时乘同一个数，商不变。这是商不变性质的早期经验积累，虽不要求背诵性质，但【核心素养】推理意识得以发展。

3.【规律应用】挑战自我（12分钟）

利用发现的规律填空：

6÷2=3

（6×2）÷（2×2）=（）

（6×4）÷（2×4）=（）

（6×□）÷（2×□）=3

此题设计意图：虽是二年级内容，但通过具体算式感受变与不变，为四年级正式学习商不变性质埋下长达两年的认知伏笔。

4.【文化渗透】算筹与除法（5分钟）

播放微视频：中国古代用算筹计算除法的方法。感受中华数学文化的源远流长，增强民族自信。

（四）第四阶：复盘·升华——单元测评与精准补偿（1课时）

第8课时单元闯关与补偿教学

本课时不采用传统试卷考试，采用“基础关+应用关+挑战关”的星级闯关模式。

1.【基础关】计算能力大检阅（限时5分钟）

16道口算题，覆盖7、8、9除法及少量加减法，重点关注计算速度与正确率。同桌互批，错误率较高的题目集体回顾口诀。

2.【应用关】生活中的除法（独立探究15分钟）

提供一份“超市购物小票”，其中部分商品的数量或单价被墨水污染。学生需根据总价和已知条件推算被污染的单价或数量。

此题是【高频考点】的综合呈现，且极具真实感，能有效检测学生模型运用能力。

3.【挑战关】思维擂台赛（小组合作10分钟）

题目：一根绳子长48米，第一次用去8米，第二次用去的是第一次的3倍。这时绳子短了多少米？

此题陷阱：学生易算成“还剩多少米”，问题问的是“短了多少米”，即用去的总长度。考查审题细致度。

4.【补偿教学】精准滴灌（10分钟）

针对闯关过程中暴露出的共性问题（如单价模型逆向题错误率高），进行3-5分钟的微讲解。随后发布分层弹性作业。

六、评价系统：嵌入全程的表现性评价

本设计摒弃单一的纸笔测试，构建“嵌入式”评价系统：

1.【过程性评价】课堂观察量表

维度包括：能否清晰表述除法算理（推理意识）、能否独立画图表征数量关系（几何直观）、在小组合作中是否承担解释或质疑角色（合作素养）。教师每课时针对3-5名重点学生进行针对性记录。

2.【表现性评价】作品分析法

收集学生第7课时制作的“除法表”或“知识网络图”。评价标准不重美观重逻辑：分类标准是否科学？规律发现是否准确？对后进生，只要能把口诀与算式对应，即为合格；对优等生，要求能横向纵向多个维度关联。

3.【结果性评价】星级闯关档案

单元闯关不赋分，不排名，以“攻克几星”作为自我诊断依据。设定“三星”为课标达成标准。未达三星者，教师提供个性化“补偿练习便签”；达三星以上者，获得“数学小讲师”资格，在自习课为