高中物理盲校专用：生活中的圆周运动全维知识清单

高中物理盲校专用：生活中的圆周运动全维知识清单一、核心素养导航与盲校学习策略本章节《生活中的圆周运动》是牛顿第二定律在曲线运动中的升华，是连接理论物理与工程技术的桥梁。对于高中盲校物理学习而言，我们的目标不仅是掌握公式，更要通过多感官通道（触觉、听觉、本体感觉）建立深刻的物理图景，实现缺陷补偿与思维拓展。【重要】盲校学习核心策略：1.触觉代偿：通过触摸火车轮轨模型、拱桥模型、过山车轨道模型等教具，建立“外轨高于内轨”、“凸桥与凹桥”的空间概念。2.听觉辅助：通过描述性语言、音频模拟（如火车转弯时轮缘挤压铁轨的不同声音），帮助学生判断向心力来源的变化。3.本体感觉：利用可倾斜的轨道小车模拟“失重”和“超重”感觉，体验圆周运动中的视重变化。4.逻辑建模：强化“受力分析→寻找圆心→确定向心力来源→列牛顿第二定律方程”的程序性思维，这是攻克盲生物理难点的关键。【高频考点】本章内容是高考的必考板块，通常以选择题、计算题形式出现，重点考查模型建构能力、临界条件分析和多过程综合应用。二、基础概念与模型建立【基础】（一）圆周运动的解题通法对于任何圆周运动，其核心思维是：由合力提供向心力。1.运动学描述：线速度vvv、角速度ω\omegaω、周期TTT、转速nnn之间的关系，v=ωr=2πrTv=\omegar=\frac{2\pir}{T}v=ωr=T2πr​。2.动力学方程：F合=F向=ma向=mv2r=mω2r=m4π2T2rF_{合}=F_{向}=ma_{向}=m\frac{v^{2}}{r}=m\omega^{2}r=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}rF合​=F向​=ma向​=mrv2​=mω2r=mT24π2​r。必须明确，向心力是效果力，由重力、弹力、摩擦力或其合力提供。（二）盲校特殊教具对应理解针对视障生，需要通过触觉模型理解以下关键构件的形状：1.火车轮与轨：触觉模型显示，火车轮缘是突出的，且铁轨并非简单的平面。在转弯处，外轨垫高形成斜面。2.桥面弧度：通过不同曲率的弧形木条，感受凸形桥（拱桥）和凹形桥的区别。三、水平面内的圆周运动实例精析【非常重要】【高频考点】（一）铁路的弯道：火车转弯模型1.水平轨道问题：若内外轨等高，外轨对轮缘的侧向弹力提供向心力。由于火车质量巨大，此举极易损坏铁轨和车轮。【易错点】学生常误以为火车有向心力，但不知来源，需明确此处是“挤压外轨”产生的弹力。2.最佳解决方案——斜面支持：［设计思想］将外轨适当垫高，使轨道平面向圆心侧倾斜。此时，火车受到的重力mgmgmg和支持力FNF_NFN​的合力F合F_合F合​指向圆心，提供向心力。［定量分析］设倾角为θ\thetaθ，轨道半径为rrr。由几何关系知，F合=mgtan⁡θF_合=mg\tan\thetaF合​=mgtanθ。当火车以规定速度v0v_0v0​转弯时：mgtan⁡θ=mv02rmg\tan\theta=m\frac{v_0^{2}}{r}mgtanθ=mrv02​​【重要结论】规定速度v0=grtan⁡θv_0=\sqrt{gr\tan\theta}v0​=grtanθ<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​。［触觉教学点］通过触摸斜面模型，理解支持力FNF_NFN​不再竖直向上，而是垂直于倾斜轨道面斜向上。3.速度变化对轮轨的挤压分析【难点】【高频考点】：1.4.【情况A】当v=v0v=v_0v=v0​时：重力和支持力的合力恰好等于所需向心力。此时，内外轨均不受轮缘的侧向挤压。此为理想状态。2.5.【情况B】当v>v0v>v_0v>v0​时：火车做离心趋势增强，需要更大的向心力。重力与支持力的合力不足，火车将挤压外轨，使外轨产生一个向内的侧向压力FN‘F_N‘FN​‘来补充向心力。方程变为：mgtan⁡θ+FN’cos⁡θ?mg\tan\theta+F_N’\cos\theta?mgtanθ+FN​’cosθ?（需按实际角度严格分解），简化为合力增大。结论：外轨受挤压。3.6.【情况C】当v<v0v<v_0v<v0​时：火车做近心趋势，重力和支持力的合力过大。火车将挤压内轨，使内轨产生一个向外的侧向压力。结论：内轨受挤压。7.盲校解题要点：1.8.无论速度如何，受力分析时必须先画出重力和支持力（支持力垂直于轨道平面）。2.9.向心力是水平指向圆心的，不可沿斜面分解，而应将力正交分解到水平（法向）和竖直方向。（二）公路弯道：汽车转弯模型1.水平路面：汽车转弯的向心力由车轮与地面的静摩擦力提供。f静=mv2rf_{静}=m\frac{v^{2}}{r}f静​=mrv2​【重要】最大静摩擦力决定了转弯的安全速度。vmax=μgrv_{max}=\sqrt{\mugr}vmax​=μgr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​（μ\muμ为动摩擦因数，近似等于最大静摩擦因数）。［易错点］学生容易写成滑动摩擦力，注意此处若无侧滑，应为静摩擦。2.倾斜路面（高速路、赛道）：设计与火车转弯类似，由支持力与重力的合力（有时可辅助静摩擦）提供向心力。分析方法同上。四、竖直面内的圆周运动实例精析【非常重要】【热点】【难点】（一）汽车过拱形桥（凸形桥）1.物理过程：汽车以速度vvv通过桥顶时，做圆周运动，轨道半径rrr为桥的曲率半径。2.受力与方程（以桥顶为例）：［受力分析］竖直向下的重力mgmgmg，竖直向上的支持力FNF_NFN​。这两个力的合力提供向心力。［动力学方程］mg−FN=mv2rmgF_N=m\frac{v^{2}}{r}mg−FN​=mrv2​［视重（压力）计算］根据牛顿第三定律，汽车对桥面的压力FN‘F_N‘FN​‘大小等于FNF_NFN​。FN’=mg−mv2rF_N’=mgm\frac{v^{2}}{r}FN​’=mg−mrv2​3.【重要结论】：1.4.汽车对桥的压力FN‘F_N‘FN​‘小于汽车的重力mgmgmg，处于失重状态。2.5.速度vvv越大，压力越小。3.6.完全失重临界：当mg=mv2rmg=m\frac{v^{2}}{r}mg=mrv2​，即v=grv=\sqrt{gr}v=gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​时，FN’=0F_N’=0FN​’=0。此时汽车只受重力，且恰好不脱离桥面。4.7.若v>grv>\sqrt{gr}v>gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​，汽车将“飞”离桥面做平抛运动，不再沿桥面圆弧运动。【易错点】此时圆周运动模型失效。8.盲校体验教学：用小车在拱形教具上滑行，用手指按压小车与桥面接触点，感受不同速度下（模拟）压力的变化。（二）汽车过凹形桥1.物理过程：汽车以速度vvv通过凹形桥最低点时。2.受力与方程：［受力分析］竖直向下的重力mgmgmg，竖直向上的支持力FNF_NFN​。合力提供向上的向心力（向心加速度向上）。［动力学方程］FN−mg=mv2rF_Nmg=m\frac{v^{2}}{r}FN​−mg=mrv2​［视重计算］汽车对桥面的压力FN‘F_N‘FN​‘：FN’=mg+mv2rF_N’=mg+m\frac{v^{2}}{r}FN​’=mg+mrv2​3.【重要结论】：汽车对桥的压力大于自身重力，处于超重状态。速度vvv越大，压力越大。这极易导致爆胎或桥面损坏。【高频考点】（三）绳球模型与杆球模型（拓展至竖直面内非匀速圆周运动）【难点】【高频考点】这是汽车过桥模型的变式与延伸。1.轻绳模型（或内轨道，类似凸桥顶点极限）：1.2.特点：绳只能提供拉力，不能提供推力。2.3.最高点临界条件：重力完全提供向心力，mg=mvmin2rmg=m\frac{v_{min}^{2}}{r}mg=mrvmin2​​，得vmin=grv_{min}=\sqrt{gr}vmin​=gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​。3.4.【考点】当v≥grv\ge\sqrt{gr}v≥gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​时，物体能做完整圆周运动；当v<grv<\sqrt{gr}v<gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​时，物体不能到达最高点。5.轻杆模型（或管道，类似凹桥与凸桥的组合）：1.6.特点：杆既能提供拉力，也能提供支持力。2.7.最高点临界条件：vmin=0v_{min}=0vmin​=0。3.8.讨论：1.4.9.当0<v<gr0<v<\sqrt{gr}0<v<gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​时，杆对物体是向上的支持力，mg−FN=mv2rmgF_N=m\frac{v^{2}}{r}mg−FN​=mrv2​（FNF_NFN​为支持力）。2.5.10.当v=grv=\sqrt{gr}v=gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​时，杆对物体作用力为零。3.6.11.当v>grv>\sqrt{gr}v>gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​时，杆对物体是向下的拉力，mg+FN=mv2rmg+F_N=m\frac{v^{2}}{r}mg+FN​=mrv2​（FNF_NFN​为拉力）。五、圆周运动中的临界与极值问题【重要】【难点】（一）水平面内转弯的临界1.静摩擦力临界：在水平弯道，最大静摩擦力提供最大向心力，fmax=μmg=mvmax2rf_{max}=\mumg=m\frac{v_{max}^{2}}{r}fmax​=μmg=mrvmax2​​，解得最大安全速度vmax=μgrv_{max}=\sqrt{\mugr}vmax​=μgr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​。这是雨雪天要减速的原因。2.倾斜面不侧滑临界：分析火车转弯中内外轨恰不受力时的速度v0v_0v0​。（二）竖直面内脱轨的临界1.拱桥脱轨临界：v=grv=\sqrt{gr}v=gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​时，刚好脱离桥面。2.绳模型断裂临界：在最低点拉力最大，Tmax−mg=mvmax2rT_{max}mg=m\frac{v_{max}^{2}}{r}Tmax​−mg=mrvmax2​​，当TmaxT_{max}Tmax​超过绳的最大承受力时绳断。（三）圆锥摆模型小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线摆开一定角度。1.动力学方程：mgtan⁡θ=mω2lsin⁡θmg\tan\theta=m\omega^{2}l\sin\thetamgtanθ=mω2lsinθ，解得cos⁡θ=gω2l\cos\theta=\frac{g}{\omega^{2}l}cosθ=ω2lg​。2.【重要】角速度ω\omegaω越大，摆角θ\thetaθ越大（悬线越倾斜），周期TTT越小。六、航天与离心现象【基础】【热点】（一）航天器中的完全失重1.模型类比：地球可以看作一个巨大的“拱形桥”。当航天器（或汽车）绕地球做匀速圆周运动时，其速度达到第一宇宙速度附近。2.物理分析：航天器绕地球做圆周运动，重力mgmgmg（即万有引力）全部用来提供向心力。mg=mv2Rmg=m\frac{v^{2}}{R}mg=mRv2​此时，航天器内的一切物体，其重力也全部用于提供绕地球运动的向心力，因此物体对支持物的压力（或拉力）为零，即处于完全失重状态。3.【高频考点】在完全失重的环境中，与重力相关的现象消失（如液体压强消失、天平无法使用、弹簧测力计无法测重力等），但由惯性、弹力、摩擦力等决定的物理规律依然有效（如胡克定律、牛顿第二定律）。（二）离心运动【基础】1.定义与条件：做圆周运动的物体，当提供的向心力F供F_{供}F供​突然消失或不足以提供所需的向心力F需=mv2rF_{需}=m\frac{v^{2}}{r}F需​=mrv2​时，物体将做逐渐远离圆心的运动。1.2.若F供=0F_{供}=0F供​=0，物体沿切线方向飞出。2.3.若0<F供<mv2r0<F_{供}<m\frac{v^{2}}{r}0<F供​<mrv2​，物体沿曲线（一条逐渐远离圆心的螺旋线）远离圆心。4.应用与防止：1.5.【应用】洗衣机脱水（利用离心运动将水甩出）、离心分离器、离心铸造、棉花糖制作。2.6.【防止】汽车转弯需限速（防止静摩擦力不足以提供向心力而侧滑）、砂轮防护罩（防止碎片离心飞出伤人）。七、模型建构与解题程序总结【★★★三步走解题法★★★】第一步：确定对象，分析运动。明确研究对象做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。这一步骤对盲生尤为重要，需通过触觉或语言描述在脑海中建立清晰的“虚拟空间”。第二步：受力分析，找向心力。1.按“一重、二弹、三摩擦、四其他”的顺序对物体进行受力分析。2.千万注意：向心力不是独立的力，必须标出性质力，然后找出这些力指向圆心的合力（即向心力）。3.【易错警示】在倾斜轨道或竖直平面内，不要漏掉力，也不要凭空增加一个“向心力”。第三步：正交分解，列方程求解。4.建立坐标系：通常沿半径方向（法向）和垂直半径方向（切向）进行分解。5.沿半径方向（指向圆心）：F合=mv2r=mω2rF_{合}=m\frac{v^{2}}{r}=m\omega^{2}rF合​=mrv2​=mω2r。6.垂直半径方向：列平衡方程或牛顿第二定律切向分量式。7.最后结合关联关系（如几何关系、临界条件）求解。八、典型考题类型与解答要点【高频考点】（一）选择题常见设错1.关于向心力的错误说法：误以为向心力是“特殊力”、“与重力弹力并列的力”。正确：向心力是效果力。2.火车转弯速度与挤压判断：给出速度，要求判断挤压哪侧铁轨。技巧：比较实际速度与v0=grtan⁡θv_0=\sqrt{gr\tan\theta}v0​=grtanθ<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​的关系。3.超重失重判断：过拱桥顶点是失重，过凹形桥底是超重。（二）计算题典型考法1.基础计算：给定汽车质量、桥半径、速度，求压力或安全速度。直接套用公式FN=mg±mv2rF_N=mg\pmm\frac{v^{2}}{r}FN​=mg±mrv2​。2.临界计算：求拱桥顶不脱离的最大速度vmax=grv_{max}=\sqrt{gr}vmax​=gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​；求绳球模型最高点最小速度vmin=grv_{min}=\sqrt{gr}vmin​=gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​。3.综合应用：结合平抛运动。例如，汽车以速度vvv过拱桥顶，恰好离开桥面做平抛运动，求落地点水平位移。此时，v=grv=\sqrt{gr}v=gr<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.