安徽省合肥市2026届高三下学期第二次教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省合肥市2026届高三下学期第二次教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，，则，又，故.2.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，故在复平面内对应的点位于第一象限.3.记为数列的前项和，已知，，则（）A.18 B.54 C.81 D.162【答案】B【解析】当时，，则，故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，即，故.4.直线与抛物线交于，两点，则（）.A. B.6 C. D.8【答案】D【解析】，解得或，则.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故，故，故，即.6.已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有，圆柱的侧面积，故当且仅当、时，取最大，此时圆柱的外接球半径为，则该球的体积.7.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，，则，，由，则，即，由，则，即，故；由，则，即，即；综上可得：.8.在中，，为边上一点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，由，则，，在中，由正弦定理可得，由，则，故，由，故，故，即，则，则，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表：兴趣班年龄园艺班摄影班书画班合计12510272015256018103563合计503070150从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（）A.事件与事件互斥B.事件与事件相互独立C.60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人D.这150人年龄平均数的估计值为60岁【答案】BC【解析】对A：由园艺班中有年龄位于区间的人，故事件与事件可以同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误；对B：，，，有，则，故事件与事件相互独立，故B正确；对C：，故60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人，故C正确；对D：，故D错误.10.在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（）A.B.平面C.D.直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】对A：连接，由，分别为棱，的中点，则，由平行六面体性质可得，且，故四边形为平行四边形，故，又，故，故A正确；对B：连接、、、，设，由，则四边形为菱形，故，为中点，由，，，故与全等，故，又为中点，故，又，、平面，故平面，故B正确；对C：由，，则、、都为等边三角形，故，则，，故，故，即，故C错误；对D：连接，由，，故直线与所成角即为直线与所成角，即为，，，，则，故D正确.11.已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（）A.点的轨迹方程为B.当点不在轴上时，直线与的斜率之积为C.当时，D.过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为【答案】ACD【解析】又：，则，半径，由为线段的垂直平分线，故，又为上的任意一点，故，由，则，则或，则，故点的轨迹为以、为焦点，的双曲线，由、，故，则，即点的轨迹方程为，故A正确；对B：设在左侧，由点的轨迹方程为，故、，设，则有，故，则，故B错误；对C：由，故，则，即，由B知，又，，故，即，则，即，故C正确；对D：取点关于对称点，则，故点的轨迹方程为，由在上且，则为中点，则有，，故，，即有，化简得，故可设，，，则，其中，即的最大值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非零向量，满足，，则与的夹角为________.【答案】【解析】由，则，即，则.13.设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________.【答案】【解析】由最小值为，则的最小正周期为，即，则，，解得，又，故.14.已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________.【答案】【解析】因为，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，，因为，所以，所以，所以，所以，因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，当时，，，，则；当时，，，，则.所以函数在上单调递减，在上单调递增.①若，则，因为，，则，显然，此时；②若，同①可知；③若，则，表示函数的图象上两点、的垂直高度差，由图可知，，，所以，又因为，即.综上所述，故，即的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单.（1）求该订单乘客接受动态调价的概率；（2）已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率.解：（1）设事件表示“出行目的为工作通勤”，表示“出行目的为接驳交通枢纽”，表示“出行目的为其他”，事件表示“乘客接受动态调价”.由题意得：，，.，，.由全概率公式：.代入计算：.故该订单乘客接受动态调价的概率为.（2）由贝叶斯公式：.代入计算：.故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为.16.设函数.（1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标；（2）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）因为，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：，即，即，所以曲线在点处的切线过定点；（2），，当时，，则在上单调递减，此时最多有一个零点，不满足题意；当时，令，解得，令，解得，于是在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，又因为有两个零点，所以，即，解得或，因此，的取值范围为.17.记椭圆：的左、右顶点分别为，右焦点为，为上的动点.已知过点且与恰有一个公共点的直线的方程为，与直线分别交于两点.（1）证明为定值；（2）求面积的最小值及此时点的坐标.（1）证明：直线的方程为，当时，，即，而，，则，同理，，因此，由在上，得，则，所以为定值1.（2）解：令，由（1）得，则直角梯形的面积，而，于是，，因此，当且仅当，即时取等号，此时，则直线的斜率，即，又，而，解得，所以的面积有最小值1，点的坐标为.18.如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.（1）证明：；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）当时，求四棱锥体积的最大值.（1）证明：连接，由为中点，则，又，则四边形为菱形，设，则为中点，则，故；（2）解：当时，是边长为的等边三角形，又因为梯形的面积为，所以的面积为，所以，所以，以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，设为平面的法向量，则，即，令，则，所以，设为平面的法向量，则，即，令，则，，所以，所以，因此，平面与平面夹角的余弦值为；（3）解：过作，垂足为，因为四边形为菱形，所以，即，又是平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，又因为，、平面，所以平面，设，，则，，根据的面积为，得，即，要使三棱锥的体积最大，则最大，因为，所以，，其中，令，记，，令，，或（舍），当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，即，所以三棱锥的体积最大值为，因此，四棱锥体积的最大值为.19.“二分法”是一种常用的检索方法.为正整数且数，为了寻找，我们可以把与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到.检索的过程分为取数和比较两个步骤.①取数：是集合中的整数，若为偶数，取；若为奇数，取.②比较：比较与的大小关系.若，则停止检索：若，则，，继续检索：若，则，，继续检索，下一次检索区间范围更新为，其中，.对于正整数，从集合中任取一个数，按上述检索过程找到数经历的比较次数为，记.（1）请完成表1和表2.表1：时，不同取值所经历的比较次数1234567比较次数23133表2：当时，不同取值所经历的比较次数12345678910111213141516比较次数43423414342434（2）求、，并求出；（3）证明：，.参考数据：.（1）解：通过实际操作可以发现：当时的取值与其比较次数如下表：1234567比较次数3231323当时的取值与其比较次数如下表：12345678910111213141516比较次数4342434143424345（2）解：由（1）知可