福建福九联盟2025-2026学年高一下学期期中适应性练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建福九联盟2025-2026学年高一下学期期中适应性练习数学试题一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面说法不正确的是（）A.多面体至少有四个面 B.平行六面体六个面都是平行四边形C.棱台的侧面都是梯形 D.长方体、正方体都是正四棱柱【答案】D【解析】对于A：最简单的多面体是三棱锥，有4个面，所以多面体的面数大于等于4，所以“多面体至少有四个面”正确，故A正确；对于B：由平行六面体的定义可知：平行六面体六个面都是平行四边形，故B正确；对于C：由棱台的定义可知：棱台的侧面都是梯形，故C正确；对于D：按照正四棱柱的定义，底面必须是正方形，所以底面不是正方形的长方体就不是正四棱柱，故D错误.故选：D.2.已知复数满足，则（）A.5 B.3 C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以．3.已知向量，则（）A. B.5 C. D.25【答案】C【解析】方法一：因为，所以，所以，所以.方法二：因为，所以，，所以，又，所以，所以.4.如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为在平行四边形中，F为的中点，，所以.故选：B.5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，，即，因此，故排除A.故选：D.6.在平面直角坐标系中，角以为始边，把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，若，则（）A.有最小值 B.有最小值C.有最大值 D.有最大值1【答案】B【解析】根据题意，角是将角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度得到的，故，所以，因为在上单调递减，而，所以当时，有最大值为，当时，有最小值为，即，所以，故，所以有最小值，有最大值.7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值可能为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，，，当时，；当时，的可能取值，0．故选：B.8.设函数，，若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：因为，均是偶函数，所以只需考虑在上的零点情况，（1）当时，，在上单调递增，在上单调递减，可得，即，解得（2）当时，，，所以两函数图象没有交点，所以无零点.综上所述，a的取值范围为.解法二：，，易知为偶函数，故只需考虑的零点情况.当时，恒成立，不存在零点；当时，在上单调递增，要使在区间内存在零点，只需，，得，又也符合题意，得.综上a的取值范围为.解法三令得，函数的零点问题转化为函数与在区间的交点问题.如图可知，a的取值范围为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知都是复数，下列选项中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】对于选项A，取，，则，，满足，但，则A不正确；对于选项B，设，，因为，所以不同时为0，，则B正确；对于选项C，取，，满足，则C不正确；对于选项D，因为，所以，所以或，则，则D正确．故选：BD．10.如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A：，错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：，D正确.故选：BCD.11.已知函数，则（）A.是的一个周期B.的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有7个零点【答案】BCD【解析】由，，可得是偶函数，是的一个周期，当时，，如图画出函数图象，，，所以不是的一个周期，故A错；由图可知的值域为，故B对；，所以直线是函数图象的一条对称轴，故C对；令，即，由图可得函数与的图像有7个交点，故D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为_____．【答案】2【解析】已知复数是纯虚数，，解得或，，解得，综上，．13.若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________.【答案】4【解析】∵向量在向量上的投影向量为，∴，∴，，则，∴.故答案为：4.14.已知平面向量，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为______．【答案】【解析】由，向量与所成的角为60°，可得，由，则，化简可得对任意实数t恒成立，令，则恒成立，由于函数图象抛物线开口向上，所以需要满足，即，所以.由向量的三角不等式，有，又，则的最小值为.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，，其中且．（1）求的值；（2）当为何值时，与互相垂直．解：（1）由，得，则，所以.（2）依题意，，，，由与垂直，得，即，所以．16.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．17.如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，BC边上的中点为D．（1）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积；（2）求直三棱柱外接球的表面积；（3）求点到平面的距离．解：（1）由题意得，，从而，所以，所以S△ADCS△A1B1S△ABB1所以，，所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为．（2）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为O，取H为等边△ABC的外心，所以AH为等边△ABC外接圆半径，设为r，根据正弦定理，则，因为，所以，在中，，所以直三棱柱外接球的表面积（3）因为三棱柱是直棱柱，所以⊥平面，⊥平面ABC，⊥平面ABC，三棱锥的体积=S设点到平面的距离为h，则VB1-A所以h=318.在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角B；（2）若，D是上的点，平分，求长；（3）求边上的中线的取值范围．解：（1）已知，由余弦定理可得，因为，代入中，得，化简得，则，因为，所以．（2），，由余弦定理得，即，又因为，所以，由面积关系SΔ12所以acsinπ3（3）因为E是AC的中点，所以，则，由正弦定理得，ac=b即，因为A∈0,π，所以，所以，所以，所以，所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．19.“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的值；（3）若的面积为，设点为的费马点，求的最小值.解：（1）因为，由正弦定理得