2026年应用多元统计试题(含答案)

2026年应用多元统计试题(含答案)一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设随机向量X=(X1,…,XpA.NB.χC.FD.t答案B2.主成分分析中，第一主成分对应的方向是（）。A.使原始变量相关系数最大的方向B.使投影后方差最大的方向C.使投影后方差最小的方向D.使均方误差最小的方向答案B3.因子分析模型中，变量Xi的共同度hA.特殊因子对XiB.公共因子对XiC.因子载荷矩阵的列平方和D.原始变量的总方差答案B4.Fisher判别分析的基本思想是（）。A.寻找投影方向，使组内方差最大、组间方差最小B.寻找投影方向，使组间方差最大、组内方差最小C.寻找投影方向，使总方差最大D.寻找投影方向，使误判概率最小答案B5.系统聚类法中，若定义两类之间的距离为两类中最近样品之间的距离，则该方法称为（）。A.最长距离法B.中间距离法C.最短距离法D.类平均法答案C6.典型相关分析研究的是（）。A.两组变量之间的相关关系B.一组变量内部的相关结构C.变量与主成分之间的相关D.因子之间的相关答案A7.在判别分析中，当各总体协方差阵相等且未知时，距离判别通常采用（）。A.欧氏距离B.马氏距离C.曼哈顿距离D.切比雪夫距离答案B8.设原始变量X1,…,XA.iB.maxC.pD.1答案A9.对单个多元正态总体均值向量检验，当总体协方差阵未知时，应使用（）。A.t检验B.F检验C.HotellingT2D.卡方检验答案C10.K均值聚类分析属于（）。A.层次聚类法B.划分聚类法C.模糊聚类法D.基于密度的聚类法答案B二、填空题（每空2分，共20分）1.设X∼Np(μ,Σ)，则E(X)=\\\答案第1空：μ；第2空：Σ2.主成分分析中，第j个主成分的方差贡献率定义为\\\\\\，前m个主成分的累计方差贡献率定义为\\\\\\。答案第1空：λji3.因子分析模型Xi=μi+ai1F1+⋯+aimF答案第1空：因子载荷；第2空：特殊因子4.在系统聚类法中，类间距离定义方法除最短距离法、最长距离法外，还有\\\\\\和\\\\\\等。答案第1空：类平均法；第2空：重心法（或离差平方和法、中间距离法，任选两个均可）5.距离判别中，若两个总体G1,G2的协方差阵相等，则线性判别函数可写为W(x)=(x−μ)′Σ答案第1空：μ1+三、判断题（每题1分，共10分）1.主成分分析中，各主成分之间是互不相关的。答案正确2.因子分析中，因子载荷矩阵经过正交旋转后，各变量的共同度会改变。答案错误解析正交旋转不改变共同度，只改变因子载荷结构，使因子更易于解释。3.马氏距离不受变量量纲和相关性影响。答案正确4.系统聚类法中的最短距离法容易产生链状分类。答案正确5.判别分析中，误判概率可以通过训练样本直接准确计算，不依赖于总体分布假设。答案错误解析实际误判率通常依赖分布假设或使用交叉验证等方法进行估计，无法仅由训练样本直接准确计算。6.典型相关分析中，各对典型变量之间都是相互独立的。答案错误解析典型变量对之间不相关，但未必独立；不同对典型变量之间也不相关。7.主成分分析中，第一主成分的方差贡献率一定不小于第二主成分的方差贡献率。答案正确8.对两个多元正态总体均值向量进行比较时，若协方差阵未知但相等，可以使用HotellingT2答案正确9.K均值聚类算法需要事先指定聚类个数K。答案正确10.因子分析中的公共因子是不可观测的潜在变量。答案正确四、简答题（每题5分，共20分）1.简述主成分分析的基本步骤。答案(1)对原始数据进行标准化，或计算协方差矩阵/相关矩阵；(2)求协方差矩阵（或相关矩阵）的特征值和特征向量；(3)按特征值从大到小排序，确定主成分个数；(4)写出主成分表达式，并计算方差贡献率与累计贡献率；(5)结合专业知识解释主成分含义。2.简述因子分析中因子旋转的作用。答案因子旋转通过正交或斜交变换改变因子载荷矩阵，使每个变量只在一个或少数几个公共因子上有较大载荷，从而使因子结构更简单、更易于解释。正交旋转不改变共同度，斜交旋转允许因子之间存在相关。3.简述距离判别的基本思想。答案首先根据已知类别的样本估计各总体的均值和协方差矩阵；然后对新样品计算其到各总体的马氏距离；最后将样品判归到距离最近的那个总体。当各总体协方差阵相等时，判别函数为线性函数。4.简述聚类分析与判别分析的主要区别。答案聚类分析事先不知道类别，根据样品或变量间的相似性/距离将其分组，属于无监督学习；判别分析事先已知类别，根据训练样本建立判别规则，用于对新样品进行分类，属于有监督学习。五、计算分析题（每题10分，共30分）1.设某标准化变量X1Σ求：(1)Σ的特征值和特征向量；(2)两个主成分的表达式；(3)各主成分的方差贡献率和累计方差贡献率。答案：(1)特征方程为det(Σ−λI)=对应λ1=3e对应λ2=1e(2)两个主成分为$$Y_1=\frac{1}{\sqrt2}(X_1+X_2),\quad

Y_2=\frac{1}{\sqrt2}(X_1-X_2).$$(3)方差贡献率：第一主成分为λ第二主成分为1累计贡献率分别为75%和100解析：主成分方向由协方差矩阵的特征向量决定，特征值大小反映主成分方差大小。第一主成分对应最大特征值，方差贡献率最大。2.设某因子分析模型的因子载荷矩阵为$$A=\begin{pmatrix}

0.8&0.1\\

0.6&0.4\\

0.2&0.7

\end{pmatrix}.$$求：(1)各变量的共同度hi(2)各公共因子的方差贡献gj(3)若因子模型为Xi=j=1答案：(1)共同度为因子载荷矩阵行平方和：hhh(2)公共因子方差贡献为列平方和：gg(3)第1个变量的因子模型为X方差分解式为V解析：共同度反映公共因子对变量方差的解释程度，因子方差贡献反映每个公共因子对所有变量方差的总体解释能力。3.从某二元正态总体N2(μ$$\bar{\mathbf{x}}=\begin{pmatrix}8\\6\end{pmatrix},

\quad

\mathbf{S}=\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}.$$在显著性水平α=0.05下检验H0:μ答案：计算差值向量d样本协方差矩阵的逆为$$\mathbf{S}^{-1}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}4&-2\\-2&4\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}.$$HotellingT2$$T^2=nd'\mathbf{S}^{-1}d

=25\times\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

=25\times\frac{1}{3}=\frac{25}{3}\approx8.333.$$转化为F统计量：$$F=\fr