2027人教版高考数学复习讲义：第一课时　二次函数及其性质

第5节一元二次函数、方程和不等式

第一课时二次函数及其性质

课标要求理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关

系解决简单问题.

【知识梳理】

1.二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f(x)＝________________.

(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________.

(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

2.二次函数的图象和性质

函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

(抛物线)

定义域________________

－2－2

值域4acb，＋∞－∞，4acb

4a4a

对称轴x＝________________

顶点坐标________________

奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

－∞，－b

－∞，－b在2a上单调递

在2a上单调递______；

单调性______；

－b，＋∞

在2a上单调递______－b，＋∞

在2a上单调递______

[常用结论与微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

a>0，a<0，

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.

Δ<0Δ<0

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.()

(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.()

4ac－b2

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.()

4a

2.(北师大必修一P34T1(2)改编)函数y＝－3x2＋12x－8的最大值为________.

3.(人教A必修一P100T4改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数

k的取值范围为________.

4.(人教B必修一P139T8改编)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得

最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________.

考点一二次函数的解析式

例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)

＝________.

思维建模二次函数解析式的选择规律

训练1已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，

则二次函数的解析式为________________.

考点二二次函数的图象

例2(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，且函数f(x)的图象

可能是()

(2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，

0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为()

A.b2＞4acB.2a－b＝1

C.a－b＋c＝0D.5a＜b

思维建模研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有

一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；

“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

训练2(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是

()

A.2a＋b＝0

B.4a＋2b＋c<0

C.9a＋3b＋c<0

D.abc<0

考点三二次函数的最值

例3(2025·福州段考)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.

(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；

(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.

思维建模闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三

点是指区间两个端点和中点，一轴指的