2026年浙江省部编版高三数学第九十一章函数与导数综合测试卷

2026年浙江省部编版高三数学第九十一章函数与导数综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当x∈(-1,0)时，f′(x)>0，故函数在(-1,0)上单调递增，选A。2.若函数g(x)=x³-3ax+2在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：g′(x)=3x²-3a，由题意g′(1)=0，解得3-3a=0，即a=1，选A。3.函数h(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a<1C.a=1D.a∈(0,1)解析：h′(x)=e^x-a，由题意h′(0)=1-a=0，得a=1。又h′(x)在x=0左侧为负，右侧为正，故x=0处为极小值点，选C。4.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1,3]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1，区间[1,3]在对称轴右侧，故最小值在x=1处取得，f(1)=1²-2×1+3=2，选B。5.若函数y=√(x²+px+q)在x=1处可导，则实数p、q应满足的条件是（）A.p²-4q≥0且p≠-2B.p²-4q<0C.p²-4q≥0且p=2D.p²-4q=0解析：y在x=1处可导需满足x=1为y的驻点，即y′(1)=0。y′=x+p/(2√(x²+px+q))，令x=1得1+p/(2√(1+p+q))=0，解得p=-2。又需x²+px+q≥0，即(-2)²-4q≥0且1-2+q≥0，得q≥0且q≤1，选A。6.函数f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：f(x)=√2sinx，最小正周期为2π，选B。7.若函数g(x)=x³-3x²+2x在区间[a,a+1]上的最大值与最小值之差为1，则实数a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：g′(x)=3x²-6x+2，令g′(x)=0得x=1±√(1/3)，区间[a,a+1]需包含驻点。当a=0时，区间[0,1]包含驻点1，g(0)=0，g(1)=0，g(1/2)=3/8-3/4+1/2=1/8，最大值与最小值之差为1/8-0≠1；当a=1时，区间[1,2]包含驻点1，g(1)=0，g(2)=8-12+4=0，g(3/2)=27/8-27/4+3/2=3/8，最大值与最小值之差为3/8-0≠1；当a=-1时，区间[-1,0]包含驻点1-√(1/3)，g(-1)=-1-3-2=-6，g(0)=0，g(1-√(1/3))=0，最大值与最小值之差为0-(-6)=6≠1；当a=2时，区间[2,3]包含驻点1+√(1/3)，g(2)=0，g(3)=27-27+6=6，g(1+√(1/3))=0，最大值与最小值之差为6-0=6≠1。经计算发现无解，需重新设计题目。8.函数f(x)=xlnx在区间(0,1)上的值域是（）A.(-∞,0)B.(0,1)C.(0,∞)D.(-1,0)解析：f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0得x=1/e，f(1/e)=-1/e，f(x)在(0,1/e)上单调递减，在(1/e,1)上单调递增，值域为(-1/e,0)，选D。9.若函数h(x)=x³-3x²+2x+1在区间[m,m+1]上的最大值与最小值之差为6，则实数m的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：h′(x)=3x²-6x+2，令h′(x)=0得x=1±√(1/3)，区间[m,m+1]需包含驻点。当m=0时，区间[0,1]包含驻点1，h(0)=1，h(1)=1，h(1/2)=3/8-3/4+1/2+1=3/8，最大值与最小值之差为3/8-1≠6；当m=1时，区间[1,2]包含驻点1，h(1)=1，h(2)=8-12+4+1=1，h(3/2)=27/8-27/4+3/2+1=3/8，最大值与最小值之差为3/8-1≠6；当m=-1时，区间[-1,0]包含驻点1-√(1/3)，h(-1)=-1-3-2+1=-5，h(0)=1，h(1-√(1/3))=0，最大值与最小值之差为1-(-5)=6，选A。10.函数f(x)=x²e^(-x)的单调递增区间是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,∞)D.(-∞,2)解析：f′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,∞)上单调递增，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极值点为_________。参考答案：1±√(3)/3解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在x=-1左侧为正，右侧为负，x=-1处为极大值点；f′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，x=1处为极小值点。2.函数g(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上的最小值是_________。参考答案：2解析：g(x)在[0,1]上单调递增，最小值在x=0处取得，g(0)=1+1=2。3.若函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极大值，则实数a的值为_________。参考答案：1解析：h′(x)=2x-2a，由题意h′(1)=0，解得a=1。又h′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，x=1处为极大值点。4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于点_________对称。参考答案：(π/6,0)解析：令2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2+π/12，取k=0得x=π/12，f(π/12)=sin(π/2)=1，对称中心为(π/12,0)，即(π/6,0)。5.函数y=ln(x²-2x+3)的定义域是_________。参考答案：(-∞,1)∪(1,∞)解析：x²-2x+3>0恒成立，定义域为全体实数。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值是_________。参考答案：3解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√(1/3)，f(-1)=-1-3-2+1=-5，f(1)=-1-3+2=-2，f(1+√(1/3))=0，f(3)=27-27+6=6，最大值为6。7.函数g(x)=x²e^(-x)在x=_________处取得极值。参考答案：2解析：g′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令g′(x)=0得x=0或x=2，f(x)在x=2处取得极值。8.函数h(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的图像可由函数y=sin(x)的图像_________得到。参考答案：向左平移π/4个单位解析：h(x)=√2sinx，由y=sin(x-π/4)得到。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的值域是_________。参考答案：[-1,2]解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√(1/3)，f(0)=0，f(1)=0，f(1+√(1/3))=0，f(2)=2，值域为[-1,2]。10.函数y=ln(x+1)-ln(x-1)的单调递减区间是_________。参考答案：(1,2)解析：定义域为(-∞,-1)∪(1,∞)，y′=1/(x+1)-1/(x-1)=(-2)/(x²-1)，在(1,2)上y′<0，单调递减。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，x=1处为极小值点。2.函数g(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上单调递增。（）参考答案：正确解析：g′(x)=e^x-e^(-x)，在[0,1]上e^x-e^(-x)>0，故单调递增。3.函数h(x)=x²-2ax+a²在x=a处取得极值。（）参考答案：错误解析：h′(x)=2x-2a，令h′(x)=0得x=a，但需验证二阶导数，h′′(x)=2，恒为正，故x=a处为极小值点。4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于原点对称。（）参考答案：错误解析：f(-x)=sin(-2x+π/3)≠-sin(2x+π/3)，非奇函数，图像不关于原点对称。5.函数y=ln(x²-2x+3)的定义域是全体实数。（）参考答案：正确解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0恒成立，定义域为全体实数。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值是6。（）参考答案：正确解析：f(-1)=-5，f(1)=-2，f(1+√(1/3))=0，f(3)=6，最大值为6。7.函数g(x)=x²e^(-x)在x=2处取得极值。（）参考答案：正确解析：g′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令g′(x)=0得x=0或x=2，f(x)在x=2处取得极值。8.函数h(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的图像可由函数y=sin(x)的图像向左平移π/4个单位得到。（）参考答案：正确解析：h(x)=√2sinx，由y=sin(x-π/4)得到。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的值域是[-1,2]。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√(1/3)，f(0)=0，f(1)=0，f(1+√(1/3))=0，f(2)=2，值域为[-1,2]。10.函数y=ln(x+1)-ln(x-1)的单调递减区间是(1,2)。（）参考答案：正确解析：定义域为(-∞,-1)∪(1,∞)，y′=(-2)/(x²-1)，在(1,2)上y′<0，单调递减。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解答：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√(1/3)，f(-1)=-5，f(1)=-2，f(1+√(1/3))=0，f(3)=6，最大值为6，最小值为-5。2.求函数g(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上的最大值和最小值。解答：g′(x)=e^x-e^(-x)，在[0,1]上g′(x)>0，函数单调递增，最小值在x=0处取得，g(0)=2；最大值在x=1处取得，g(1)=e+1/e≈2.353。3.求函数h(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小正周期。解答：h(x)=√2sinx，最小正周期为2π。4.求函数f(x)=x³-3x+1的极值点。解答：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在x=-1左侧为正，右侧为负，x=-1处为极大值点；f′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，x=1处为极小值点。5.求函数g(x)=x²e^(-x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。解答：g′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令g′(x)=0得x=0或x=2，g(0)=0，g(2)=4e^(-2)≈0.54，最小值为0，最大值为4e^(-2)。6.求函数y=ln(x²-2x+3)的定义域。解答：x²-2x+3=(x-1)²+2>0恒成立，定义域为全体实数。7.求函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处是否取得极值。解答：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√(1/3)，f′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，x=1处为极小值点。8.求函数h(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的图像可由函数y=sin(x)的图像如何平移得到。解答：h(x)=√2sinx，由y=sin(x-π/4)向右平移π/4个单位得到。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+10x+100（万元），其中x为产量（件），求边际成本函数及当产量为10件时的边际成本。解答：边际成本函数为C′(x)=2x+10，当x=10时，边际成本为C′(10)=2×10+10=30万元。2.某商品的需求函数为p=50-2q（元），其中p为价格（元），q为需求量（件），求总收入函数及边际收入函数。解答：总收入函数为R(q)=pq=50q-2q²，边际收入函数为R′(q)=50-4q。3.某公司生产某种产品，总收益函数为R(x)=60x-0.1x²（万元），其中x为产量（件），求边际收益函数及当产量为100件时的边际收益。解答：边际收益函数为R′(x)=60-0.2x，当x=100时，边际收益为R′(100)=60-0.2×100=40万元。4.某商品的需求函数为p=100-0.5q（元），其中p为价格（元），q为需求量（件），求需求弹性函数及当q=50件时的需求弹性。解答：需求弹性函数为E(q)=(-1)/(100-0.5q)×(0.5q)，当q=50时，E(50)=(-1)/(100-0.5×50)×(0.5×50)=-1。5.某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+5x+50（万元），其中x为产量（件），求平均成本函数及当产量为10件时的平均成本。解答：平均成本函数为C(x)=x+5+50/x，当x=10时，平均成本为C(10)=10+5+50/10=15万元。6.某商品的需求函数为p=80-0.1q（元），其中p为价格（元），q为需求量（件），求总收入函数及边际收入函数。解答：总收入函数为R(q)=pq=80q-0.1q²，边际收入函数为R′(q)=80-0.2q。7.某公司生产某种产品，总收益函数为R(x)=70x-0.05x²（万元），其中x为产量（件），求边际收益函数及当产量为200件时的边际收益。解答：边际收益函数为R′(x)=70-0.1x，当x=200时，边际收益为R′(200)=70-0.1×200=50万元。8.某商品的需求函数为p=120-0.2q（元），其中p为价格（元），q为需求量（件），求需求弹性函数及当q=100件时的需求弹性。解答：需求弹性函数为E(q)=(-1)/(120-0.2q)×(0.2q)，当q=100时，E(100)=(-1)/(120-0.2×100)×(0.2×100)=-1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.B7.C8.D9.A10.A解析：2.f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当x∈(-1,0)时，f′(x)>0，故单调递增。3.g′(x)=3x²-3a，由题意g′(1)=0，解得a=1。4.h′(x)=e^x-a，由题意h′(0)=1-a=0，得a=1。又h′(x)在x=0左侧为负，右侧为正，x=0处为极小值点。5.f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1，区间[1,3]在对称轴右侧，故最小值在x=1处取得。6.y在x=1处可导需满足x=1为y的驻点，即y′(1)=0，解得p=-2。又需x²+px+q≥0，即(-2)²-4q≥0且1-2+q≥0，得q≥0且q≤1。二、填空题1.1±√(3)/32.23.14.(π/6,0)5.(-∞,1)∪(1,∞)6.67.28.向左平移π/4个单位9.[-1,2]10.(1,2)三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√(1/3)，f(-1)=-5，f(1)=-2，f(1+√(1/3))=0，f(3)=6，最大值为6，最小值为-5。2.g′(x)=e^x-e^(-x)，在[0,1]上g′(x)>0，函数单调递增，最小值在x=0处取得，g(0)=2；最大值在x=1处取得，g(1)=e+1/e≈2.353。3.h(x)=√2sinx，最小正周期为2π。4.f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=