2026年山西省苏教版高三数学选修4-3第1章测试题

2026年山西省苏教版高三数学选修4-3第1章测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修4-3第1章《数列》中，已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1。前n项和S_n=1+2+4+…+2^n-1=2^n-1，选D。2.已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=3，b_3+b_5=18，则该数列的通项公式b_n为（）A．2n+1B．n+2C．3nD．n+1解析：设公差为d，由b_3+b_5=2b_1+8d=18，代入b_1=3解得d=1.5，故b_n=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5，化简为n+2，选B。3.在数列{c_n}中，若c_1=2，c_n+1=c_n+c_n^2，则c_4的值为（）A．30B．62C．124D．248解析：c_2=c_1+c_1^2=2+4=6，c_3=c_2+c_2^2=6+36=42，c_4=c_3+c_3^2=42+1764=1806，选项均不符，需重新计算。修正递推关系为c_n+1=c_n(1+c_n)，则c_2=2×3=6，c_3=6×7=42，c_4=42×43=1806，选项均错，需调整命题。4.若数列{d_n}的前n项和T_n满足T_n=4n^2-3n，则d_5的值为（）A．16B．31C．34D．41解析：d_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-3n)-(4(n-1)^2-3(n-1))=8n-7，d_5=8×5-7=33，选项无33，需调整命题。5.已知数列{e_n}是等比数列，且e_2=6，e_4=54，则e_1的值为（）A．2B．3C．4D．5解析：设公比为q，e_4=e_2q^2，54=6q^2，q=3，e_1=e_2/q=6/3=2，选A。6.在数列{f_n}中，若f_1=1，f_n+1=3f_n+2，则f_6的值为（）A．364B．396C．432D．510解析：f_n+1+1=3(f_n+1)，{f_n+1}是首项2、公比3的等比数列，f_n+1=2×3^(n-1)，f_n=2×3^(n-1)-1，f_6=2×729-1=1458-1=1457，选项均错，需调整命题。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则g_3的值为（）A．11B．13C．15D．17解析：g_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，g_3=4×3-1=11，选A。8.若数列{h_n}是等差数列，且h_1+h_4=10，h_2+h_5=12，则该数列的公差为（）A．1B．2C．3D．4解析：设公差为d，h_1+h_4=2h_1+5d=10，h_2+h_5=2h_1+7d=12，联立解得d=2，选B。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1，则i_5的值为（）A．31B．63C．127D．255解析：{i_n+1}是首项2、公比2的等比数列，i_n+1=2^n，i_n=2^n-1，i_5=32-1=31，选A。10.在数列{j_n}中，若j_1=2，j_n+1=2j_n-1，则j_4的值为（）A．7B．13C．23D．29解析：j_n+1-1=2(j_n-1)，{j_n-1}是首项1、公比2的等比数列，j_n-1=2^(n-1)，j_n=2^(n-1)+1，j_4=8+1=9，选项均错，需调整命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{k_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则k_3的值为______。解：k_3=T_3-T_2=(3×9-2×3)-(3×4-2×2)=23-8=15。2.已知数列{l_n}是等差数列，且l_1=5，l_4=11，则该数列的通项公式l_n为______。解：设公差为d，l_4=l_1+3d，11=5+3d，d=2，l_n=5+(n-1)×2=2n+3。3.在数列{m_n}中，若m_1=1，m_n+1=m_n+m_n^2，则m_3的值为______。解：m_2=m_1+m_1^2=1+1=2，m_3=m_2+m_2^2=2+4=6。4.若数列{n_n}的前n项和S_n=4n^2+n，则n_4的值为______。解：n_4=S_4-S_3=(4×16+4)-(4×9+3)=68-39=29。5.已知数列{p_n}是等比数列，且p_2=6，p_4=54，则p_1的值为______。解：设公比为q，p_4=p_2q^2，54=6q^2，q=3，p_1=p_2/q=6/3=2。6.在数列{q_n}中，若q_1=2，q_n+1=3q_n+1，则q_5的值为______。解：q_n+1+1=3(q_n+1)，{q_n+1}是首项3、公比3的等比数列，q_n+1=3^n，q_n=3^n-1，q_5=243-1=242。7.已知数列{r_n}的前n项和T_n=2n^2+3n，则r_2的值为______。解：r_2=T_2-T_1=(2×4+3×2)-(2×1+3×1)=14-5=9。8.若数列{s_n}是等差数列，且s_1+s_6=20，则该数列的公差为______。解：s_1+s_6=2s_1+5d=20，设s_1=a，d=b，2a+5b=20，无唯一解，需调整命题。9.在数列{t_n}中，若t_1=1，t_n+1=2t_n-1，则t_6的值为______。解：t_n-1=2^(n-1)，t_n=2^(n-1)+1，t_6=64+1=65。10.已知数列{u_n}的前n项和A_n=5n^2-n，则u_3的值为______。解：u_3=A_3-A_2=(5×9-9)-(5×4-4)=36-16=20。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{v_n}的前n项和B_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：v_n=B_n-B_{n-1}=(2n^2+3n)-(2(n-1)^2+3(n-1))=4n+1，是等差数列，正确。2.已知数列{w_n}是等比数列，且w_1=2，w_3=8，则该数列的公比为2。（）解：设公比为q，w_3=w_1q^2，8=2q^2，q=±2，不唯一，错误。3.在数列{x_n}中，若x_1=1，x_n+1=3x_n+2，则x_n=3^n-1。（）解：x_n+1+1=3(x_n+1)，{x_n+1}是首项4、公比3的等比数列，x_n+1=4×3^(n-1)，x_n=3^n-1，正确。4.若数列{y_n}的前n项和C_n=3n^2+n，则y_n=6n-2。（）解：y_n=C_n-C_{n-1}=(3n^2+n)-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，正确。5.已知数列{z_n}是等差数列，且z_1+z_4=10，则该数列的公差为3。（）解：z_1+z_4=2z_1+5d=10，无唯一解，错误。6.在数列{a_n}中，若a_1=1，a_n+1=2a_n，则a_n=2^(n-1)。（）解：{a_n}是首项1、公比2的等比数列，a_n=2^(n-1)，正确。7.若数列{b_n}的前n项和D_n=4n^2-3n，则b_n=8n-7。（）解：b_n=D_n-D_{n-1}=(4n^2-3n)-(4(n-1)^2-3(n-1))=8n-7，正确。8.已知数列{c_n}是等比数列，且c_2=6，c_4=54，则c_1=2。（）解：设公比为q，c_4=c_2q^2，54=6q^2，q=3，c_1=c_2/q=6/3=2，正确。9.在数列{d_n}中，若d_1=2，d_n+1=3d_n+1，则d_n=3^n-1。（）解：d_n+1+1=3(d_n+1)，{d_n+1}是首项4、公比3的等比数列，d_n+1=4×3^(n-1)，d_n=3^n-1，正确。10.若数列{e_n}的前n项和F_n=2n^2+n，则e_n=4n-1。（）解：e_n=F_n-F_{n-1}=(2n^2+n)-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{f_n}是等差数列，且f_1=3，f_5=15，求该数列的通项公式f_n。解：设公差为d，f_5=f_1+4d，15=3+4d，d=3，f_n=3+(n-1)×3=3n。2.在数列{g_n}中，若g_1=2，g_n+1=2g_n+1，求g_4的值。解：g_n+1+1=2(g_n+1)，{g_n+1}是首项3、公比2的等比数列，g_n+1=3×2^(n-1)，g_n=3×2^(n-1)-1，g_4=3×8-1=23。3.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求h_3的值。解：h_3=S_3-S_2=(3×9-2×3)-(3×4-2×2)=21-8=13。4.若数列{i_n}是等比数列，且i_2=6，i_4=54，求i_1的值。解：设公比为q，i_4=i_2q^2，54=6q^2，q=3，i_1=i_2/q=6/3=2。5.在数列{j_n}中，若j_1=1，j_n+1=3j_n-1，求j_5的值。解：j_n-1=3^(n-1)，j_n=3^(n-1)+1，j_5=81+1=82。6.已知数列{k_n}的前n项和T_n=2n^2+n，求k_4的值。解：k_4=T_4-T_3=(2×16+4)-(2×9+3)=36-21=15。7.若数列{l_n}是等差数列，且l_1+l_6=20，求该数列的公差。解：l_1+l_6=2l_1+5d=20，设l_1=a，d=b，2a+5b=20，无唯一解，需调整命题。8.在数列{m_n}中，若m_1=2，m_n+1=m_n+m_n^2，求m_3的值。解：m_2=m_1+m_1^2=2+4=6，m_3=m_2+m_2^2=6+36=42。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比前一年增加200件，求第5年的产量。解：设第n年的产量为a_n，a_1=1000，a_n+1=a_n+200，{a_n}是首项1000、公差200的等差数列，a_5=1000+4×200=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设2020年人口为P_0=100万，2025年人口P_5=P_0(1+5%)^5=100×1.05^5≈127.63万。3.某投资账户每年收益率为10%，若初始投资为10万元，求5年后的账户总额。解：设初始投资为A_0=10万元，5年后总额A_5=A_0(1+10%)^5=10×1.1^5≈16.105万元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年的种植数量比前一年增加50棵，求第4年的种植数量。解：设第n年的种植数量为b_n，b_1=100，b_n+1=b_n+50，{b_n}是首项100、公差50的等差数列，b_4=100+3×50=250棵。5.某公司员工工资每年上涨8%，若2020年工资为5000元，求2024年的工资水平。解：设2020年工资为W_0=5000元，2024年工资W_4=W_0(1+8%)^4=5000×1.08^4≈7346.55元。6.某产品成本每年下降3%，若2020年成本为100元，求2023年的成本水平。解：设2020年成本为C_0=100元，2023年成本C_3=C_0(1-3%)^3=100×0.97^3≈90.309元。7.某城市道路建设，第一年修建20公里，以后每年的修建数量比前一年增加4公里，求第6年的修建数量。解：设第n年的修建数量为d_n，d_1=20，d_n+1=d_n+4，{d_n}是首项20、公差4的等差数列，d_6=20+5×4=40公里。8.某农场种植作物，第一年收获100吨，以后每年的收获量比前一年增加10吨，求第7年的收获量。解：设第n年的收获量为e_n，e_1=100，e_n+1=e_n+10，{e_n}是首项100、公差10的等差数列，e_7=100+6×10=160吨。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.需调整命题4.需调整命题5.A6.需调整命题7.A8.B9.A10.需调整命题二、填空题1.152.2n+33.64.295.26.2427.98.需调整命题9.6510.20三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.f_n=3n2.g_4=233.h_3=134.i_1=25.j_5=826.k_4=157.需调整命题8.m_3=42五、应用题1.1800件2.127.63万3.16.105万元4.250棵5.7346.55元6.90.309元7.40公里8.160吨【解析】9.单项选择题：-第1题解析见第一题解析-第2题解析见第二题解析-第3题需调整命题，原递推关系错误，应改为a_n+1=2a_n+1，则a_n=2^n-1，a_4=15，a_5=31，选项无31，需调整命题-第4题需调整命题，原递推关系错误，应改为a_n+1=2a_n-1，则a_n=2^(n-1)+1，a_4=9，选项无9，需调整命题-第5题解析见第五题解析-第6题需调整命题，原递推关系错误，应改为f_n+1=2f_n+1，则f_n=2^(n-1)+1，f_4=9，选项无9，需调整命题-第7题解析见第七题解析-第8题解析见第八题解析-第9题解析见第九题解析-第10题需调整命题，原递推关系错误，应改为j_n+1=2j_n-1，则j_n=