2026年高考数学压轴题专项训练题库

2026年高考数学压轴题专项训练题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，若存在实数a，使得f(x)＝ax在区间[－2，2]上恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（－1，0）∪（0，1）B．（－2，－1）∪（1，2）C．（－1，0）∪（1，2）D．（－2，－1）∪（0，1）解析：首先构造函数g(x)＝f(x)－ax＝x³－(3＋a)x＋2，问题转化为g(x)在[－2，2]上恰有两个不同零点。求导得g′(x)＝3x²－(3＋a)，令g′(x)＝0得x＝±√(1＋a/3)。当a＝－3时，g′(x)≥0，函数单调递增，无解；当a＞－3时，g(x)在x＝－√(1＋a/3)处取得极大值，在x＝√(1＋a/3)处取得极小值。由题意需满足g(－2)•g(2)＜0且g(－√(1＋a/3))＞0且g(√(1＋a/3))＜0。计算得g(－2)＝8＋6－2a，g(2)＝8－6－2a，g(－√(1＋a/3))＝(－√(1＋a/3))³－(3＋a)(－√(1＋a/3))＋2＝－2√(1＋a/3)＋2，g(√(1＋a/3))＝2√(1＋a/3)－2。解不等式组8＋6－2a×8－6－2a＜0，－2√(1＋a/3)＋2＞0，2√(1＋a/3)－2＜0，得a∈(－1，0)∪(1，2)。故选C。2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinAcosB＋sinBcosC＝1/2，且a²－b²＝c²－2accosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由sinAcosB＋sinBcosC＝1/2，利用正弦和角公式得sin(A＋B)＝1/2，即A＋B＝π/6或5π/6。由余弦定理a²－b²＝c²－2accosA得cosA＝(b²－c²)/(2ac)，结合A＋B＝π/6得sinC＝sin(π－A－B)＝sin(5π/6－A)。利用正弦定理a/sinA＝b/sinB＝c/sinC，代入sinC得a²cosA＝b²sin(5π/6－A)，化简得a²(b²－c²)/(2ac)＝b²sin(5π/6－A)。由于sin(5π/6－A)＝√3/2cosA－1/2sinA，代入整理得a²＝b²，即a＝b，故△ABC为等腰三角形。3.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n＋1/n，n∈N，则数列{a_n}的前n项和S_n的最小值为（）A．2B．3C．4D．5解析：构造b_n＝n•a_n，则b_n＋1＝b_n＋1，即b_n为常数列，b_n＝n。所以a_n＝1/n，S_n＝1＋1/2＋…＋1/n＝H_n（n为n阶调和级数）。利用调和级数性质H_n≈lnn＋γ（γ为欧拉常数），当n＝3时S_3＝1＋1/2＋1/3＝11/6＜3，当n＝4时S_4＝11/6＋1/4＝25/12＜4，当n＝5时S_5＝25/12＋1/5＝61/30＜4，当n＝6时S_6＝61/30＋1/6＝67/30＜4，当n＝7时S_7＝67/30＋1/7＝139/70＜4，当n＝8时S_8＝139/70＋1/8＝317/140＜4，当n＝9时S_9＝317/140＋1/9＝2933/1260＞4。故S_n的最小值为4。4.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，若关于x的不等式f(x)－k|x－2|＜0在实数集R上恒成立，则实数k的取值范围是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：分段函数f(x)＝{4－3x，x＜12－x，1≤x≤23x－4，2＜x≤34x－6，x＞3当x＝2时f(x)取最小值2。不等式f(x)－k|x－2|＜0等价于k|x－2|＞f(x)－2。当x＜1时，k(2－x)＞4－3x－2，得k＞2x－2，x趋近于1时k＞0；当1≤x≤2时，k(2－x)＞2－x－2，得k＜2/x，x趋近于1时k＜2；当2＜x≤3时，k(x－2)＞3x－4－2，得k＜3x/(x－2)，x趋近于2时k趋近于正无穷；当x＞3时，k(x－2)＞4x－6－2，得k＜4x/(x－2)，x趋近于3时k＜4。综上k∈(0，2)。5.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，则实数k的值为（）A．－1B．0C．1D．2解析：圆心(1，－2)，半径√(1²＋(－2)²－(－4))＝√9＝3。直线l到圆心(1，－2)的距离d＝|k•1－(－2)－1|/√(1＋k²)＝|k＋1|/√(1＋k²)。由垂径定理|AB|＝2√(r²－d²)，代入2√3＝2√(9－(k＋1)²/(1＋k²))，化简得3(1＋k²)＝9－(k＋1)²，解得k＝1。6.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若存在x₀∈(π/4，π/2)，使得f(x₀)＝m成立，则实数m的取值范围是（）A．(1，√2)B．(1，2)C．(√2/2，1)D．(0，1)解析：f(x)＝1/2－1/2cos2x＋cosx，令t＝cosx，x∈(π/4，π/2)得t∈(0，√2/2)。令g(t)＝－1/2t²＋t＋1/2，t∈(0，√2/2)，对称轴t＝1，g(0)＝1/2，g(√2/2)＝1－√2/4。所以g(t)max＝g(√2/2)＝1－√2/4，g(t)min＝g(0)＝1/2，即f(x)∈(1－√2/4，1/2)。由于1－√2/4≈0.293，1/2＝0.5，所以f(x₀)∈(0，1)。7.已知函数f(x)＝x²＋2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值为－1，则实数a的取值范围是（）A．[－2，0]B．[－1，0]C．[－3，－1]D．[－4，－2]解析：对称轴x＝－a，分三种情况：①当－a＜－1即a＞1时，f(x)在[－1，1]上单调递增，f(－1)＝－1，得a＝0，矛盾；②当－a＞1即a＜－1时，f(x)在[－1，1]上单调递减，f(1)＝－1，得a＝－1；③当－1≤－a≤1即－1≤a≤1时，f(x)在x＝－a处取得最小值，f(－a)＝－a²－2a＋1＝－1，得a＝0或a＝－2。综上a∈[－2，0]。8.已知函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的零点个数为m，且f(x)在[－2，2]上的最大值为n，则m＋n的值为（）A．4B．5C．6D．7解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝－8＋6＋2＝0，f(2)＝8－6＋2＝4，f(－1)＝－1＋3＋2＝4，f(1)＝1－3＋2＝0。所以f(x)在[－2，2]上有三个零点x＝－2，x＝－1，x＝1，m＝3。f(2)＝4为最大值，n＝4。所以m＋n＝7。9.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，若关于x的不等式f(x)－k|x－2|＜0在实数集R上恒成立，则实数k的取值范围是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：同第4题，k∈(0，2)。10.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若存在x₀∈(π/4，π/2)，使得f(x₀)＝m成立，则实数m的取值范围是（）A．(1，√2)B．(1，2)C．(√2/2，1)D．(0，1)解析：同第6题，m∈(0，1)。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________。2.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，则k²＝________。3.若数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n＋1/n，n∈N，则a_4＝________。4.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若f(x)在区间[0，π/2]上的最大值为p，最小值为q，则p＋q＝________。5.已知函数f(x)＝x²＋2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值为－1，则a²的最大值为________。6.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的零点个数为m，且f(x)在[－2，2]上的最大值为n，则m²－n＝________。7.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，若关于x的不等式f(x)－k|x－2|＜0在实数集R上恒成立，则k的取值范围________。8.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若存在x₀∈(π/4，π/2)，使得f(x₀)＝m成立，则m的取值范围________。9.若函数f(x)＝x²＋2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值为－1，则a的取值范围________。10.已知函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的零点个数为m，且f(x)在[－2，2]上的最大值为n，则m＋n＝________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的最大值为4，则f(x)在[－2，2]上恰有两个零点。2.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，则k＝1。3.若数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n＋1/n，n∈N，则数列{a_n}是等比数列。4.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若f(x)在区间[0，π/2]上的最大值为√2/2，最小值为0，则f(x)在[0，π/2]上单调递减。5.若函数f(x)＝x²＋2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值为－1，则a＝0。6.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的零点个数为3，且f(x)在[－2，2]上的最大值为4，则f(x)在[－2，2]上恰有一个极值点。7.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，若关于x的不等式f(x)－k|x－2|＜0在实数集R上恒成立，则k∈(0，2)。8.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若存在x₀∈(π/4，π/2)，使得f(x₀)＝m成立，则m∈(1，√2)。9.若函数f(x)＝x²＋2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值为－1，则a²的最小值为0。10.已知函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的零点个数为3，且f(x)在[－2，2]上的最大值为4，则f(x)在[－2，2]上单调递增。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。2.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，求实数k的值。3.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n＋1/n，n∈N，求a_n的通项公式。4.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，求f(x)在区间[0，π/2]上的最大值和最小值。5.已知函数f(x)＝x²＋2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值为－1，求实数a的取值范围。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的零点个数为3，求f(x)在[－2，2]上的最大值。7.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，若关于x的不等式f(x)－k|x－2|＜0在实数集R上恒成立，求实数k的取值范围。8.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若存在x₀∈(π/4，π/2)，使得f(x₀)＝m成立，求实数m的取值范围。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，若存在实数a，使得f(x)＝ax在区间[－2，2]上恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围。2.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，求实数k的值。3.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n＋1/n，n∈N，求a_n的通项公式。4.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，求f(x)在区间[0，π/2]上的最大值和最小值。5.已知函数f(x)＝x²＋2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值为－1，求实数a的取值范围。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的零点个数为3，求f(x)在[－2，2]上的最大值。7.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，若关于x的不等式f(x)－k|x－2|＜0在实数集R上恒成立，求实数k的取值范围。8.已知函数f(x)＝sin²x＋cosx，若存在x₀∈(π/4，π/2)，使得f(x₀)＝m成立，求实数m的取值范围。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.C4.A5.C6.D7.A8.D9.A10.D二、填空题1.612.413.414.315.116.517.(0，2)18.(0，1)19.[-√2/2，√2/2]20.7三、判断题1.×22.×23.×24.×25.×26.×27.√28.×29.×30.×四、简答题1.解：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝－8＋6＋2＝0，f(－1)＝－1＋3＋2＝4，f(1)＝1－3＋2＝0，f(2)＝8－6＋2＝4。所以f(x)在[－2，2]上的最大值为4，最小值为0。2.解：圆心(1，－2)，半径3。直线l到圆心距离d＝|k•1－(－2)－1|/√(1＋k²)＝|k＋1|/√(1＋k²)。由垂径定理|AB|＝2√(r²－d²)，2√3＝2√(9－(k＋1)²/(1＋k²))，化简得3(1＋k²)＝9－(k＋1)²，解得k＝1或k＝－5。但k＝－5时d＝6>3，不满足相交条件，故k＝1。3.解：构造b_n＝n•a_n，则b_n＋1＝b_n＋1，即b_n为常数列，b_n＝n。所以a_n＝1/n。4.解：f(x)＝1/2－1/2cos2x＋cosx，令t＝cosx，x∈[0，π/2]得t∈[0，1]。令g(t)＝－1/2t²＋t＋1/2，t∈[0，1]，对称轴t＝1，g(0)＝1/2，g(1)＝1。所以f(x)在[0，π/2]上的最大值为1，最小值为1/2。5.解：f(x)在x＝－a处取得最小值，f(－a)＝－a²－2a＋1＝－1，得a＝0或a＝－2。当a＝0时f(x)＝x²＋1在[－1，1]上最小值为1>－1，不满足；当a＝－2时f(x)＝x²－4x＋1在[－1，1]上最小值为f(2)＝－3<－1，满足。所以a＝－2。6.解：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4。所以f(x)在[－2，2]上的最大值为4。7.解：f(x)分段为：x＜1时f(x)＝4－3x，k|x－2|＝2k－kx，不等式化为4－3x－2k＋kx＜0，得x＞(4－2k)/2－k；1≤x≤2时f(x)＝2－x，k|x－2|＝k(2－x)，不等式化为2－x－k(2－x)＜0，得x＞2/(k＋1)；2＜x≤3时f(x)＝3x－4，k|x－2|＝k(x－2)，不等式化为3x－4－k(x－2)＜0，得x＜(4－2k)/3＋2。要使不等式在R上恒成立，需(4－2k)/2－k≤1且2/(k＋1)≤1且(4－2k)/3＋2≥3，解得k∈(0，2)。8.解：f(x)＝1/2－1/2cos2x＋cosx，令t＝cosx，x∈[π/4，π/2]得t∈[√2/2，1]。令g(t)＝－1/2t²＋t＋1/2，t∈[√2/2，1]，g(√2/2)＝1－√2/4，g(1)＝1。所以f(x)在[π/4，π/2]上的最大值为1，最小值为1－√2/4。故m∈(1－√2/4，1)。五、应用题1.解：构造函数g(x)＝f(x)－ax＝x³－(3＋a)x＋2，问题转化为g(x)在[－2，2]上恰有两个不同零点。求导得g′(x)＝3x²－(3＋a)，令g′(x)＝0得x＝±√(1＋a/3)。当a＝－3时，g′(x)≥0，函数单调递增，无解；当a＞－3时，g(x)在x＝－√(1＋a/3)处取得极大值，在x＝√(1＋a/3)处取得极小值。由题意需满足g(－2)•g(2)＜0且g(－√(1＋a/3))＞0且g(√(1＋a/3))＜0。计算得g(－2)＝8＋6－2a，g(2)＝8－6－2a，g(－√(1＋a/3))＝－2√(1＋a/3)＋2，g(√(1＋a/3))＝2√(1＋a/3)－2。解不等式组8＋6－2a×8－6－2a＜0，－2√(1＋a/3)＋2＞0，2√(1＋a/3)－2＜0，得a∈(－1，0)∪(1，2)。2.解：圆心(1，－2)，半径3。直线l到圆心距离d＝|k＋1|/√(1＋k²)。由垂径定理|AB|＝2√(r²－d²)，2√3＝2√(9－(k＋1)²/(1＋k²))，化简得3(1＋k²)＝9－(k＋1)²，解得k＝1或k＝－5。但k＝－5时d＝6>3，不满足相交条件，故k＝1。3.解：