河北省2026届九年级下学期中考命题信息原创(三)数学试卷（含部分解析）

2026年河北省中考命题信息原创卷(三)数学(满分120分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意)1.-5与x的QUOTE1212的和可以表示为 ()A.QUOTE-5+12x-5+12x B.QUOTE-5+x2-5+x2 C.QUOTE-52+x-2.如图所示，该几何体的左视图是 ()3.若整数501…0用科学记数法表示为QUOTE5.01脳106,5.01脳106,A.4 B.5 C.6 D.74.若关于x的不等式(a-2)x≥2-a的解集为x≤-1,则a的取值范围是 ()A.a≥2 B.a>2 C.a<2 D.a≤25.新课标跨学科试题据晋代张华的《博物志》记载：“削冰令圆，举以向日，以艾承其影，则得火.”如图是冰块制成的凸透镜在太阳光下形成的光路图，与主光轴平行的太阳光经过折射后均交于点F.若∠1=150°,∠2=160°,则∠3的度数为 ()A.50° B.110° C.120° D.130°6.(新情境书法如图，爱好书法的小明闲暇时在网格纸上写下了“河”字，已知点A(-1，-2)，B(0,1),则点C的坐标为 ()A.(4,1) B.(4,2) C.(3,3) D.(5,3)7.新课标数学文化我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足.”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完.”下列说法错误的是 ()A.设孩童人数为x,可列方程为4x+12=6x B.设梨数为y，可列方程为QUOTEy-124=y6C.孩童的人数是6 D.梨的个数为308.嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程，嘉嘉在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是-2和7，淇淇在解答过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和6，则这个一元二次方程正确的根是 ()A.2和3 B.-2和-3 C.-2和3 D.2和-39.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=40°,∠C=90°,AB=8.将Rt△ABC绕AB的中点O逆时针旋转得到△DEB,点D，E分别是点A，B的对应点，点A的运动路径为QUOTEAD,AD,则图中阴影部分的面积是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE10.新定义合作数如果一个三位数十位上的数字等于个位、百位上的数字之和或数字之积，那么这个三位数称为“合作数”，如155和165就是“合作数”.已知一个三位数十位上的数字为9，从3，4，5，6这四个数字中任选两个数字分别作为这个三位数的个位和百位上的数字，则这个三位数是“合作数”的概率为 ()A.QUOTE1212 B.QUOTE512512 C.QUOTE516516 D.QUOTE131311.如图,P是线段AB所在直线上的一动点,点C,D在AB的两侧,CA⊥AB,DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,连接PC,PD,分别取PC,PD的中点M,N,连接MN.随着点P的运动,线段MN的长 ()A.随着点P的位置变化而变化 B.保持不变，长为QUOTE5252C.保持不变，长为QUOTE412412 D.保持不变，长为212.新考法结合函数图象解决几何问题如图(1),在▱ABCD中,点O为其中心,∠ABC=60°,∠BAO=45°.动点P从点A出发，沿AB运动到点E，再从点E沿直线运动到BC上的点F.设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y(当点A，O，P共线时，y=0)，y与x的函数关系的图象如图(2)所示，则BC的长为 ()A.2 QUOTE33B.QUOTE3+13+1 C.3 D.4二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.将抛物线QUOTEy=-x2+1y=-x2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移214.已知QUOTEx=2+12,y=2-12,x=2+12,y=2-1215.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点均在反比例函数QUOTE的图象上，BC∥x轴与反比例函数QUOTE的图象交于点C.已知O，C，A三点在同一条直线上，QUOTEOCAC=12,OCAC=12,则△ABC的面积为.16.某综合实践小组开展了“制作无盖纸盒”的实践活动.图(1)是一个高为4cm的无盖的六棱柱盒子(直棱柱)，图(2)是其底面，底面是边长为6cm的正六边形，其可按照图(3)所示的示意图将矩形纸板剪切折叠而成，那么这个矩形纸板较长的边长为cm.(图(3)中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分7分)新考法结合过程性纠错下面是某同学化简分式：QUOTEm2-4m+4m-3梅1m-3解：QUOTEQUOTE 第一步QUOTE 第二步QUOTE=-m-2虏m-2m+2=-m-2QUOTE=2-mm+2.=2-mm+2(1)该同学的解答过程从第步开始出现错误.(2)请写出正确的化简过程，再从1，2，3，4中选取一个合适的数作为m的值代入求值.18.(本小题满分8分)(1)计算:QUOTE-12026+-24-(2)化简:x(y-4x)+(2x+y)(2x-y).19.(本小题满分8分)如图,在△ABC中,QUOTE于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE交于点F,且DF=CD.(1)求证:QUOTE(2)若点E是AC的中点,求证:AB=AD+CD.20.(本小题满分8分)某校为了调查食堂浪费的情况，在全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷如下：学校食堂浪费情况调查问卷1.你的午餐剩余情况是(单选)A.没有剩 B.剩少量 C.剩一半 D.剩大量2.你认为学校食堂采取的下列措施中，可以有效遏制浪费情况的是(可多选)E.积极推广小份餐品 F.主动提示剩余食物打包G.宣传、普及防止食品浪费知识 H.设置惩罚措施午饭剩余情况扇形统计图 有效遏制浪费情况的措施统计表措施百分比E50%F60%G30%H10%(1)如果整体评价中将没有剩、剩少量、剩一半、剩大量分别赋分0分、1分、3分、5分，求这次调查中，食堂浪费情况评价分数的平均数.(2)已知该校有1200名学生，若认定没有剩饭为这餐完成“光盘行动”，请你估计午餐完成“光盘行动”的学生有多少人.(3)小明想用扇形统计图反映选择各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人数的百分比，是否可行?若可行，求出G项措施对应的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由.21.(本小题满分9分)实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中∠ACB=90°，∠A=30°.嘉嘉和淇淇的操作如下.嘉嘉： 淇淇：做法：如图(1)，嘉嘉将三角尺ABC放置在量角器上，点C与量角器的中心O重合，点B落在量角器的边缘上，点D是斜边AB与量角器边缘的交点.已知点B对应的外圈刻度为142°.做法：做法：如图(2)，淇淇把斜边QUOTEAB=63AB=63的三角尺ABC叠放在量角器上，AB∥MN(量角器的0°刻度线在MN上)，A，B恰好落在量角器的边缘上，A点在量角器外圈上的读数为30°，AC与量角器边缘交于点E.问题2:将三角尺ABC绕点O顺时针旋转α(0°<α<180°),是否存在AB与量角器的边缘(半圆O)相切的情况?若存在，请求出α的度数；若不存在，请写出理由.问题3：求弧BE的长.问题问题3：求弧BE的长.问题1：求点D对应的外圈刻度.请你根据上述内容，回答嘉嘉和淇淇的问题.22.(本小题满分9分)甲从A地出发匀速赶往B地，到达B地休息6min后又匀速返回A地；乙从B地出发匀速赶往A地.两人在途中相遇了两次，第二次相遇后两人均改变速度，以相同速度一起到达A地，结果乙比按原速提前5min到达A地.甲、乙两人距A地的距离y(m)和甲从A地出发后经过的时间x(min)之间的函数关系如图所示.(1)甲从A地出发赶往B地时的速度为m/min，甲从B地出发到与乙第二次相遇前的速度为m/min.(2)当0≤x≤56时，求乙距A地的距离y与甲从A地出发后经过的时间x之间的函数关系式.(3)求甲从A地出发到返回A地所用的时间，并直接写出乙从B地到A地所用的时间.23.(本小题满分11分)新考法融入尺规作图在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点E在CD上,且DE=4.点P从点C出发，沿折线C—B—A运动，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE折叠，点C的对应点为点C'.设点P运动的路径长为x.(1)如图(1),直线MN与AD,BC分别交于点M,N,且MN∥CD,MN,CD之间的距离为4.当x>5,且点C'落在MN上时,①利用尺规确定点C'，P的位置，连接C'P，C'E；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)②求x的值.(2)当点C'恰好落在AD上时,如图(2),设点B的对应点为点B',B'C'与AB交于点H,求△B'PH的面积.(3)当5<x≤12时，请直接写出点C'到直线BC的距离(用含x的式子表示).24.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，4)，点B(4，n)是一个动点.已知抛物线QUOTEC1:y=-x2+2bx+(1)嘉嘉发现当b取不同的值时，抛物线C₁的顶点P均在抛物线C₂上，请直接写出抛物线C₂的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中直接画出抛物线C₂.(2)若抛物线C₁经过点B，①当n=2时，求b的值，并通过计算判断此时点A在抛物线C₁上方还是下方.②若抛物线C₁与线段AB有两个交点，求n的取值范围.(3)当抛物线C₁经过线段AB的三等分点时，请直接用含n的式子表示b.2026年河北省中考命题信息原创卷(三)选择题答案速查123456789101112ADBCDBDACDCD1A2D3B4C5D6B7D8A设该一元二次方程为QUOTE·嘉嘉写错了常数项,得到方程的两个根是-2和7,∴-p=-2+7=5,∴p=-5.∵淇淇写错了一次项的系数，得到方程的两个根是1和6,∴q=1×6=6,∴原一元二次方程是QUOTEx2-5x+6=x2-5x+6=0，解得QUOTEx1=2,x2=3.x1=2,9C由题意知∠BDE=∠BAC=40°,OD=OB,∴∠OBD=∠ODB=40°,∴∠AOD=40°+40°=80°,∴S扇形AOD=QUOTE10D根据题意，列表如下：34563(3,4)(3,5)(3,6)4(4,3)(4,5)(4,6)5(5,3)(5,4)(5,6)6(6,3)(6,4)(6,5)由上表可知，共有12种等可能的结果，满足题意的结果有4种,即396,495,594,693,故所求概率为QUOTE412=13.11C如图,连接CD.∵M,N分别是PC,PD的中点,∴MN=QUOTE1212CD.过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E,则四边形CABE是矩形,∴EB=CA=3,CE=AB=4,∴ED=5,∴CD=QUOTE故选C.

12D分析如下:x的取值范围结合函数图象得到的信息/分析过程当QUOTE时点P从点A沿AB运动到点E,QUOTE(关键点1).当QUOTEQUOTEx1+3+6x1+3函数图象与x轴平行，∴y的值不变,即△AOP的面积不变,∴EF∥AO(关键点2),且QUOTEEF=6,EF=6,如图所示,则∠BEF=∠BAO=45°.过点F作FH⊥AB于点H,则EH=HF=QUOTE在Rt△BHF中,BH=QUOTEQUOTE3+1=AE,3+1=AE,即点E为AB的中点(关键点3).连接OC,则点A,O,C共线.又∵EF∥AO,∴点F为BC的中点(依据：平行线分线段成比例),∴BC=2BF=4.13QUOTEy=-x+32-1y=-四QUOTE5454【解析】QUOTEx2+y2-xy=x-y2+2xy-xy=x-y2+xy=x158【解析】·QUOTE设C(m,¹/m),则A(3m,QUOTE轴，∴点B的纵坐标为1m.∵点B在反比例函数QUOTE的图象上,∴B(9m,QUOTE1m).1m).如图,过A作AD⊥BC于D,则.QUOTEAD=3m-1m=2m.AD=3m-1m=2m.又∵QUOTEQUOTE2m=8.2m=8.QUOTE1643+1216【解析】如图,连接AB,由题意,得∠ACB=120°,AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=30°,∴AB=QUOTE33AC=6QUOTE33易知P,A,B,Q四点共线,∴四边形PQIH是矩形,∴HI=PQ=PA+AB+QUOTEBQ=8+63.BQ=8+63..过点D作PH的平行线,分别交PQ,HI于点F,G,则DG⊥HI.∵∠FAD=180°-∠CAB-∠CAD=60°,∴FD=QUOTE22AD=2QUOTE33,∠ADF=30°,∴∠EDG=60°,∴DG=QUOTEQUOTE鈭?+63-43+12=23-4<0,鈭?+63-43+12=23-4<0,∴这个矩形纸板较长的边长为QUOTE43+12cm.43+12cm.17(1)三 (2分)(2)原式QUOTEQUOTEQUOTE=m-22m-24-mQUOTE=m-24-m.=∵m-2≠0,m-3≠0,4-m≠0,

∴m≠2,3,4,∴m取1.(5分)1.(5分)当m=1时，原式QUOTE=1-24-1=-13.18(1)原式=1+16-16 (3分)=1. (4分)(2)原式QUOTE=xy-4x2+4x2-yQUOTE=xy-y2.=xy-y219(1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BDF=∠AEF=90°.又∵∠BFD=∠AFE,∴∠DBF=∠DAC.又∵DF=CD,∴△DBF≌△DAC(AAS). (4分)(2)证明:∵BE⊥AC,E是AC的中点,∴AB=BC(依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).∵△DBF≌△DAC,∴BD=AD,∴BC=BD+CD=AD+CD,∴AB=AD+CD. (8分)20QUOTEQUOTE(分).答：食堂浪费情况评价分数的平均数为1.6分.(3分)QUOTE21200脳90360=3002答：估计午餐完成“光盘行动”的学生有300人.(6分)(3)不可行.理由:由统计表,可知50%+60%+30%+10%>1,即选择各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人数的百分比之和大于1.(8分)21问题1:如图(1),连接OD.∵∠A=30°,∠AOB=90°,∴∠B=60°.又∵OD=OB,∴△BOD是等边三角形,∴∠BOD=60°,∴D点对应的外圈刻度是142°-60°=82°. (3分)问题2：不存在.理由:如图(1),过点O作OM⊥AB于点M,则QUOTEOM=32OB<OM=3∴AB与⊙O相交,∴不存在AB与量角器的边缘相切的情况. (5分)问题3：连接OA,OB,OE,设AB与OE相交于点H,如图(2).∵AB∥MN,∴∠OAB=∠AOM=30°.∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=30°,∴∠AOB=120°.∵∠EOB=2∠EAB=60°(依据:圆周角定理),QUOTE∴OH⊥AB(依据:等腰三角形“三线合一”),QUOTEQUOTE∴OB=2OH=6,(9分)22(1)250200 (2分)解法提示：甲从A地出发赶往B地时的速度为6000÷24=250(m/min),甲从B地出发到与乙第二次相遇前的速度为(6000-800)÷(56-30)=200(m/min).(2)由题意知,点C的纵坐标为16×250=4000,∴C(16,4000). (3分)设直线CF的解析式为y=kx+b,将C(16,4000),F(56,800)分别代入,得QUOTE{16k+b=4000,56k+b=800,{16k+b=4000,56k+b=800,解得QUOTE{k=-80,b=5280,{∴当0≤x≤56时，乙距A地的距离y与甲从A地出发后经过的时间x之间的函数关系式为y=-80x+5280.(3)对于y=-80x+5280,当y=0时,x=66,∴若乙不改变速度，则当x=66时，乙到达A地，∴当x=66-5=61时,甲、乙一起到达A地,∴甲从A地出发到返回A地所用的时间为61min.(7分)乙从B地到A地所用的时间为70min. (9分)解法提示：方法一：由(2)易知第二次相遇前，乙的速度为80m/min,∴第二次相遇前，乙从B地出发后经过的时间为(6000-800)÷80=65(min),∴甲出发前乙从B地出发后经过的时间为65-56=9(min),∴乙从B地到A地所用的时间为61+9=70(min).方法二:对于y=-80x+5280,当y=6000时,x=-9,∴乙从B地到A地所用的时间为61-(-9)=70(min).23(1)①如图(1)所示.(2分)②∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BCD=90°,CD=AB=9.如图(1),过点C'作C'K⊥CD于点K.∵MN∥CD,MN,CD之间的距离为4,∴C'K=CN=4,∴PN=x-4(关键点1:用含x的式子表示PN的长).由折叠知C'E=CE=9-4=5,PC'=PC=x(关键点2:用含x的式子表示PC'的长).在Rt△C'KE中,根据勾股定理,得QUOTEKE=C'E2-C∵C'K∥CN,C'N∥CK,∠KCN=90°,∴四边形C'NCK是矩形,∴C'N=CK=8(关键点3:求出C'N的长),∠C'NP=90°.在Rt△PC'N中,根据勾股定理,得QUOTEPN2+C'N2=PC'2PN2+解得x=10. (5分)(2)∵C'E=CE=5,DE=4,QUOTE如图(2),连接CC',PC',PC,则PE垂直平分CC',∴PC'=PC.QUOTEQUOTE即QUOTE92+9-x-122=(x-92+QUOTE12)2+122,QUOTE由折叠知∠B'C'E=∠BCE=90°,∴∠3+∠4=90°.又∵∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4,∴∠1=∠4,∴tan∠1=tan∠4,QUOTE即QUOTEQUOTE (9分)QUOTE310x2x2+25.3解法提示：如图(3)，过点C'分别作CD，BC的垂线，垂足分别为点W,Q.设C'W=y,C'Q=h.易证△C'PQ∽△C'EW,QUOTE即QUOTEx5=x-yh-5=由QUOTEx5=hy,x5=hy,得QUOTE24(1)抛物线C₂的解析式为QUOTEy=x2+2.y=x2+2. 画出抛物线C₂如图所示.(4分)(2)①将B(4,2)代入QUOTEy=-x2+2bx+2,y=-x2∴抛物线C₁的解析式为QUOTEy=-x2+4x+2.y=-对于QUOTEy=-x2+4x+2,y=-x2∵5>4,∴当n=2时,点A在抛物线C₁下方. (6分)②由题意知抛物线C₁开口向下，且顶点在抛物线C₂位于y轴右侧的部分上(顶点可在y轴上)