《最大公因数和最小公倍数》教案（3课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学五年级上册

《最大公因数和最小公倍数》教案（3课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学五年级上册一、学情分析五年级学生已经掌握倍数、因数的意义，能够熟练找出一个数的因数与倍数，对2、3、5的倍数特征较为熟悉。学生思维正从具象向抽象过渡，能够完成简单列举，但对“公”字内涵理解浅薄，容易混淆公因数与公倍数、最大公因数与最小公倍数概念。部分学生只会机械套用短除法，不理解算理，不清楚两种知识的现实应用场景。学生个体差异明显，基础薄弱学生列举容易遗漏，能力较强学生可以快速完成找数，但缺少归纳总结能力，需要借助实例、图表搭建认知阶梯，循序渐进建立概念。二、教材分析本课为北师大版2026秋季新教材五年级上册第七单元《倍数与因数》内容，安排在因数、倍数、质数合数之后，是分数约分、通分的前置基础，属于数论初步知识。教材以现实情境引入概念，先借助列举法认识公因数、最大公因数，再迁移学习公倍数、最小公倍数，介绍列举法、集合图、短除法多种求解方法。教材重视算理理解，不只是教授计算技巧，借助集合图直观呈现公共因数、公共倍数，区分因数有限、倍数无限的本质区别。本课学习质量直接影响后续分数四则运算，是整数知识向分数知识过渡的关键节点。三、核心素养教学目标1.数感：结合具体实例理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数含义，能准确找出两个数的最大公因数与最小公倍数，感知因数有限、倍数无限的数的特点。2.运算能力：掌握列举法、集合图法、短除法求最大公因数和最小公倍数，理解短除法每一步算理，能够根据数字特点灵活选择合适计算方法。3.推理意识：通过观察、对比两组数因数、倍数，归纳互质数、倍数关系两组数的最大公因数、最小公倍数规律，能简单说理。4.应用意识：依托教材例题情境，读懂生活问题，把现实问题转化为求最大公因数、最小公倍数数学模型，运用知识解决简单实际问题。四、教学重难点教学重点：理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数概念；会用多种方法求两个数最大公因数、最小公倍数。

教学难点：辨析最大公因数与最小公倍数的区别；理解短除法算理；识别生活情境，判断何时求最大公因数，何时求最小公倍数。五、教学过程第一课时：认识公因数与最大公因数情境导入，对接教材例题师：同学们，翻开课本，看一看教材铺地砖情境。有一块长方形地面，长12分米，宽8分米。要用大小相同正方形地砖铺地，地砖边长为整分米，不能切割地砖。想一想，正方形地砖边长可以是几分米？

生：地砖边长既要把长12分米铺满，又要把宽8分米铺满，边长要同时整除12和8。

师：说得很好，地砖边长的数，既是12的因数，又要是8的因数。那我们先来分别写出12和8全部因数。谁来说一说12的因数？

生：12的因数：1、2、3、4、6、12。

师：8的因数呢？

生：8的因数：1、2、4、8。

师：大家观察两组因数，哪些数字同时出现在两个列表当中？

生：1、2、4。

师：像1、2、4，既是12的因数，又是8的因数，在数学上叫做12和8的公因数。在这几个公因数里面，最大数字是4，4就是12和8的最大公因数。设计意图：依托教材铺地砖真实情境，从旧知因数出发，自然生成公因数、最大公因数概念，让学生明白概念不是凭空产生，来自现实问题。集合图建模，读懂教材集合图示师：教材中用两个相交圆圈集合图表示两个数因数，左边圆圈写12全部因数，右边圆圈写8全部因数，中间重叠部分填写什么？

生：中间重叠部分填写12和8的公因数。

师：请大家一起说一说，左边不重叠区域代表什么？右边不重叠区域代表什么？

生：左边不重叠部分是属于12的因数，但不是8的因数；右边不重叠部分是属于8的因数，但不是12的因数。

师：老师黑板绘制集合图，请两位同学上台，把数字填进对应区域。（学生上台填写）

师：大家一起核对，12因数{1，2，3，4，6，12}；8因数{1，2，4，8}；交集公因数{1，2，4}，最大公因数4。大家思考一下，两个数公因数数量是有限还是无限？理由是什么？

生：有限，因为一个数因数总个数是有限的，所以公共因数数量一定有限。

师：总结，任意两个自然数，公因数个数有限，一定存在唯一最大公因数，最小公因数永远是1。列举法巩固，教材例题实操师：我们看教材试一试，找18和24的公因数以及最大公因数。请同学们拿出练习本，用列举法完成。第一步干什么？

生：分别写出18、24所有因数。

师：对，第一步分别枚举全部因数，第二步找出两者重合数字，就是公因数，第三步从中挑最大数，得到最大公因数。

生汇报：

18的因数：1、2、3、6、9、18

24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24

公因数：1、2、3、6；最大公因数：6。

师：大家观察，如果数字很大，全部列举因数比较麻烦，我们还可以使用短除法，教材向我们介绍短除法。我们一起来学习短除法求18和24最大公因数。

师：短除法，写好18、24，画短除符号。思考，找能够同时整除18和24质数，第一个共同质因数是几？

生：2。

师：18÷2=9，24÷2=12。现在得到9和12，还能继续找共同质因数吗？

生：可以，3。

师：9÷3=3，12÷3=4。现在商3和4，3和4除了1之外没有别的公因数，叫做互质，短除到此停止。大家看教材说明，求最大公因数，我们把左边所有除数相乘。2×3=6，结果和列举法完全一致。

师：老师强调，短除法求最大公因数，只乘左边公共除数，不要乘底部互质的商。谁复述一遍短除法步骤？

生：写数字，找共同质因数做除数，持续除到商互质为止，左侧除数相乘得到最大公因数。设计意图：先夯实列举法理解概念，再学习短除法掌握简便算法，对接教材两种方法，明确短除法运算规则，规避常见计算错误。对比观察，发现特殊数字规律师：我们做两组练习，第一组：4和8；第二组：5和7。先求4和8的最大公因数。

生：4因数1、2、4；8因数1、2、4、8；最大公因数4。

师：4和8是什么关系？

生：倍数关系，8是4倍数。

师：当两个数是倍数关系，最大公因数是其中较小数。再看5和7。

生：5因数1、5；7因数1、7；公因数只有1，最大公因数1。

师：两个数公因数只有1，我们称这两个数互质。互质两个数，最大公因数就是1。大家记一记教材当中这两条规律，可以快速判断结果。课堂基础练习，落实教材习题师：完成教材本课配套基础习题，找下面各组数最大公因数：①10和15；②14和21；③6和12。学生独立完成，指名口述答案，简单说明使用方法。第二课时：认识公倍数与最小公倍数复习旧知，迁移新知师：上一节课我们学习公因数、最大公因数。谁回忆，什么叫两个数公因数？最大公因数怎么求？

生：同时是两个数的因数叫做公因数，其中最大一个就是最大公因数，可以用列举法、短除法。

师：因数有公有，那么倍数会不会也有公有？翻开教材，看教材赛跑情境。甲每4分钟绕一圈，乙每6分钟绕一圈，两人同时起点出发，多少分钟之后两人再次在起点相遇？

生：再次回到起点，时间必须既是4的倍数，又要是6的倍数。

师：很好，我们先分别写出4的倍数、6的倍数。4的倍数有哪些？

生：4，8，12，16，20，24，28，32，36……

师：6的倍数？

生：6，12，18，24，30，36……

师：观察两组倍数，哪些数字同时出现在两个序列？

生：12，24，36……

师：12、24、36，既是4倍数，又是6倍数，叫做4和6的公倍数。公倍数里面最小数字12，叫作4和6的最小公倍数。

师：大家看一看，倍数能不能全部写完？省略号代表什么？

生：写不完，一个数倍数无限，所以两个数公倍数个数无限。

师：总结：两个数公倍数无限多，不存在最大公倍数，只有唯一最小公倍数。设计意图：复习公因数知识，利用知识迁移，借助教材情境引出公倍数概念，对比因数有限、倍数无限，厘清两者本质差别。集合图表示公倍数，研读教材图示师：教材同样使用相交集合图表示公倍数。左边圆圈写4全部倍数，右边写6全部倍数。中间重叠部分填写？

生：填写4和6公倍数。

师：注意，倍数写不完，每一组倍数末尾带上省略号。请同学说一说集合图各部分含义。

生：重叠区域为公倍数，左右两侧分别是各自独有的倍数。

师：黑板板书集合图，4倍数{4，8，12，16，20，24……}；6倍数{6，12，18，24，30……}；交集公倍数{12，24，36……}，最小公倍数12。列举法、短除法求最小公倍数师：教材试一试，求6和8的最小公倍数。先用列举法，请同学们动手写。生汇报：的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48……的倍数：8，16，24，32，40，48……公倍数：24，48……，最小公倍数24。师：列举法数字大的时候繁琐，继续学习短除法求最小公倍数。同样拿6和8演示短除法。写出6、8，短除号。共同质因数2，6÷2=3，8÷2=4；商3和4互质，停止计算。师：重点来了，对比上节课求最大公因数，求最小公倍数计算规则不一样，请大家看教材标注。短除法求最小公倍数，要把左侧除数和底部互质商全部相乘。也就是2×3×4=24。师：板书对比：短除法求最大公因数：只乘左边除数；短除法求最小公倍数：左边除数×底部所有互质商。这个地方极易混淆，大家做好笔记。师：再找一组数字练习，12和18，请一位同学上台板演短除法求最小公倍数。生板演：除数2，得到6、9；继续除数3，得到2、3；2和3互质。最小公倍数：2×3×2×3=36。师：全班核对，列举法验证：12倍数：12，24，36……；18倍数：18，36……最小公倍数36，结果正确。设计意图：着重对比短除法两种计算的不同点，破解本课易错点，结合教材示范，区分最大公因数、最小公倍数短除法运算逻辑。寻找特殊数的最小公倍数规律师：我们继续观察两组数。第一组：3和9；第二组：4和5。先算3和9最小公倍数。

生：3倍数：3，6，9，12……；9倍数：9，18……最小公倍数9。

师：3和9是倍数关系。当两个数倍数关系时，最小公倍数是谁？

生：较大数。

师：第二组4和5，互质关系。算一算最小公倍数。

生：4倍数4，8，12，16，20……5倍数5，10，15，20……最小公倍数20。

师：互质两个数，最小公倍数等于两个数乘积。这两条规律教材给出总结，记住可以快速做题。倍数关系：最大公因数取小数，最小公倍数取大数；互质关系：最大公因数是1，最小公倍数两数相乘。课堂巩固，教材习题训练师：完成教材对应习题，求各组数最小公倍数：①9和15；②7和8；③5和20。学生独立完成，指名回答，说一说自己选用什么方法。第三课时：最大公因数、最小公倍数综合练习与实际应用概念梳理对比，构建知识框架师：前面两课时，我们分别学习最大公因数、最小公倍数。现在把两组知识放在一起对比。同学们思考，公因数来自因数，因数个数有限；公倍数来自倍数，倍数无限。请填写表格。项目最大公因数最小公倍数对象两个数公共因数两个数公共倍数数量有限，有最大无限，无最大短除法计算只乘左侧除数左侧除数乘底部互质商倍数关系等于较小数等于较大数互质关系等于1两数相乘师：对照表格，结合课本概念，同桌之间互相说一说最大公因数、最小公倍数含义以及求法。

师：老师提问：1.两个数公因数一定比这两个数小吗？2.两个数公倍数一定比这两个数大吗？

生1：不一定，如果两个数倍数关系，最大公因数等于较小数。

生2：不一定，如果倍数关系，最小公倍数等于较大数。设计意图：借助表格梳理对比，整合两课时知识点，厘清易混淆概念，形成完整知识体系。教材例题讲解，辨别两类实际问题师：课本有两类典型应用题，一类求最大公因数，一类求最小公倍数。我们先看第一类，裁剪问题。教材例题：把长24厘米，宽18厘米长方形纸片，裁成大小相等正方形纸片，没有剩余。正方形边长最大多少厘米？

师：大家读题，“裁成相等正方形、没有剩余、边长最大”。想一想，边长数字要满足什么条件？

生：边长既要整除24，又要整除18，要找最大数字，就是求24和18最大公因数。

师：很好，我们短除法计算24与18。除数2，商12、9；除数3，商4、3；4、3互质。最大公因数2×3=6。所以正方形最大边长6厘米。

师：小结：当题目描述：分东西、裁剪、分割、同样大小、没有剩余、要最大，一般求最大公因数。师：我们看教材第二道应用例题。公交车站，1路车每6分钟发车一趟，2路车每8分钟发车一趟。早上同时发车，至少再过多少分钟两车又同时发车？

师：读题，“同时发车，至少再过多久再次同时发车”，时间要同时是6、8倍数，要最少时间，求什么？

生：求6和8最小公倍数。

师：短除法计算6、8，除数2，商3、4互质。最小公倍数2×3×4=24。最少24分钟之后再次同时发车。

师：小结：题目出现再次相遇、再次同时发生、隔多久重复、至少多少，一般求最小公倍数。师：师追问：怎么区分什么时候求最大公因数，什么时候求最小公倍数？

生：分割物品，往小分，求最大公因数；事件重复发生，往后等时间，求最小公倍数。设计意图：深度解析教材应用例题，建立现实情境转化数学模型思维，教会学生判断题型，突破应用难点。综合计算训练，辨析易错题型师：下面完成教材综合练习题。1.求16和20最大公因数与最小公倍数。学生独立计算，请同学上台板演短除法。

师：讲评：短除除数2，商8、10；除数2，商4、5互质。最大公因数2×2=4；最小公倍数2×2×4×5=80。着重强调，不要混淆相乘部分。

师：出示易错题：判断：两个数最小公倍数一定大于这两个数。

生：错误，例如5和10最小公倍数是10，等于较大数。

师：判断：两个数公因数一定小于两个数。

生：错误，4和12最大公因数4，等于较小数。师：教材习题：有两根彩带，一根3