高中数学选修一 导学案 2.4　 曲线与方程

(教师独具内容)课程标准：1.了解曲线与方程的对应关系，领会曲线的方程与方程的曲线的概念.2.熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.3.掌握求动点轨迹方程的方法．教学重点：1.曲线与方程的概念.2.求动点的轨迹方程．教学难点：1.分析、判断曲线与方程的关系.2.求动点的轨迹方程．核心素养：1.通过学习曲线的方程与方程的曲线的概念培养数学抽象素养.2.通过在具体问题情境中求曲线的方程，并利用求出的曲线方程研究曲线的性质培养逻辑推理素养和数学运算素养．知识点一曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是eq\x(\s\up1(01))方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点eq\x(\s\up1(02))都在曲线C上．则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．[点拨](1)与(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点及方程的任意一组实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由定义中的(1)可知A⊆B，由定义中的(2)可知B⊆A；同时具有关系(1)和(2)，就有A＝B.知识点二两曲线的交点已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F（x，y）＝0，,G（x，y）＝0，))求方程组的eq\x(\s\up1(01))实数解就可以得到．知识点三点的轨迹方程曲线一般都可以看成eq\x(\s\up1(01))动点依某种条件运动的轨迹，所以eq\x(\s\up1(02))曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程．知识点四求动点M轨迹方程的一般步骤(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；(2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；(3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程．[提醒](1)某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除．(2)动点的轨迹与动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形(曲线的形状)，而轨迹方程则是一个方程．1．(方程的曲线)方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x－y＝0对称答案：C2．(动点的轨迹方程)在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝4(x＞0)C．y＝－eq\r(4－x2)D．y＝－eq\r(4－x2)(0＜x＜2)答案：D3．(点与曲线的位置关系)点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________．答案：54．(两曲线的交点)曲线y2＝2x与曲线(x－2)2＋y2＝4的交点个数为________．答案：3题型一曲线与方程的定义例1下列命题是否正确？若不正确，说明原因．(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；(2)以O(0，0)为圆心，2为半径的圆的方程是y＝eq\r(4－x2)；(3)设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程为x＋y－2＝0.[解](1)错误．因为以方程|x|＝2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的一部分．(2)错误．以方程y＝eq\r(4－x2)的任一组解M(x0，y0)为坐标的点，均满足y0＝eq\r(4－xeq\o\al(2,0))，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，就是说M在以原点为圆心，2为半径的圆上，但是以原点为圆心，2为半径的圆上的点不全是方程y＝eq\r(4－x2)的解．如N(0，－2)在圆上，但不满足方程y＝eq\r(4－x2)，所以以O(0，0)为圆心，2为半径的圆的方程不是y＝eq\r(4－x2).(3)错误．方程x＋y－2＝0的解(－1，3)不在线段AB上，线段AB的方程是x＋y－2＝0(0≤x≤2)．【感悟提升】解决曲线与方程的定义问题要从以下两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．【跟踪训练】1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中正确的是()A．方程F(x，y)＝0的曲线是CB．方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线CC．F(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上答案：B解析：曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，但以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确．题型二点与曲线的位置关系例2方程x2－xy＋2y＝0表示的曲线经过的一点是()A．(0，1) B．(1，1)C．(1，－1) D．(－1，1)[解析]当x＝1时可得y＝－1，所以方程x2－xy＋2y＝0表示的曲线经过的一点是(1，－1)，且其他点都不满足方程．故选C.[答案]C【感悟提升】判断点与曲线的位置关系的策略(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可．(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．【跟踪训练】2．已知0≤α<2π，若点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，求α.解：∵点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，∴(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3，∴cosα＝eq\f(1,2).又0≤α<2π，∴α＝eq\f(π,3)或eq\f(5π,3).题型三两曲线的交点问题例3当k为何值时，方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2－4x－2y＋1＝0：))(1)有一组实数解？并求出此解；(2)有两组不相等的实数解？(3)没有实数解？[解](1)将两式消掉y，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，y＝2，－4x＋1＝0，解得x＝eq\f(1,4)，方程组有一组实数解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝2；))当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2≠0，,Δ＝－16（k－1）＝0))时，原方程组有一组实数解，即当k＝1时，方程组有一组实数解，将k＝1代入原方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y2－4x－2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))(2)当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2≠0，,Δ＝－16（k－1）>0))时，原方程组有两组不相等的实数解，即当k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解．(3)当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2≠0，,Δ＝－16（k－1）<0))时，原方程组没有实数解，即当k>1时，原方程组没有实数解．【感悟提升】两曲线交点问题的求解策略(1)两曲线的交点个数的判断可以通过两曲线的方程联立求解来实现．方程组有几组解，则曲线就有几个交点．(2)若验证点是否在两曲线上，或点是否为两曲线的交点，则只需将点的坐标代入两方程看是否是两方程的解．【跟踪训练】3．(1)若直线x－2y－2k＝0与y＝x＋k的交点在曲线x2＋y2＝25上，则k的值是()A．1 B．－1C．1或－1 D．以上都不对答案：C解析：联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－2k＝0，,y＝x＋k，))得两直线交点坐标为(－4k，－3k)，又点在曲线x2＋y2＝25上，代入得(－4k)2＋(－3k)2＝25，解得k＝±1.故选C.(2)过曲线x2＋y2＝2和y＝x2交点的直线的方程是()A．y＝－1 B．y＝－xC．y＝1 D．y＝x答案：C解析：联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，,y＝x2，))消去x，得y2＋y－2＝0，解得y＝1或y＝－2(舍去)，此时x＝1或x＝－1，∴交点为(1，1)和(－1，1)．故选C.题型四求动点的轨迹方程例4设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程．[解]解法一(直接法)：设点B的坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA的中点B的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)(x≠0)．解法二(定义法)：设点B的坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，如图，则|MB|＝eq\f(1,2)|OC|＝eq\f(1,2)，所以点B在以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))为圆心，eq\f(1,2)为半径的圆上，故点B的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)(x≠0)．解法三(代入法)：设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x，y)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1,2)，,y＝\f(y1,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x，,y1＝2y.))又因为(x1－1)2＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以(2x－1)2＋(2y)2＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)(x≠0)．解法四(参数法)：由题意，可知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为y＝kx，当k＝0时，B为(1，0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1)，联立直线OA，BC的方程，消去k得其交点轨迹方程为y2＋x(x－1)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)(x≠0，1)．显然B(1，0)满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)(x≠0)为所求．【感悟提升】求动点轨迹方程常见的方法(1)直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x，y)间的关系式(等式)的数学语言，从而得到轨迹方程．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求出轨迹方程．(3)代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程．(4)参数法如果所求轨迹的动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程．参数法中常选变角、变斜率等为参数．注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围；②化简方程前后要注意等价性．【跟踪训练】4．已知圆C：x2＋y2－24x－28y－36＝0内有一点Q(4，2)，A，B为圆上两动点，且满足∠AQB＝90°.求弦AB的中点M的轨迹方程．解：x2＋y2－24x－28y－36＝0的圆心为C(12，14)，半径r＝2eq\r(94)，如图所示，连接QM，CM，BC.由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，|QM|＝eq\f(1,2)|AB|，由垂径定理得，eq\r(r2－|CM|2)＝eq\f(1,2)|AB|，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|QM|＝\f(1,2)|AB|，,\r(r2－|CM|2)＝\f(1,2)|AB|，))所以|QM|2＋|CM|2＝r2，设M(x，y)，则代入坐标即得(x－4)2＋(y－2)2＋(x－12)2＋(y－14)2＝376，整理得，x2＋y2－16x－16y－8＝0.所以弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2－16x－16y－8＝0.题型五由方程研究曲线的类型和性质例5(1)方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0所表示的曲线是__________________________．[解析]由方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－1≥0))或eq\r(x－1)＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.所以方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0所表示的曲线是直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．[答案]直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)(2)讨论曲线C：|x|＋|y|＝1的性质，并画出其图象．[解]由|x|＋|y|＝1及|x|≥0，|y|≥0，知|x|≤1，|y|≤1.将x(或y)换为－x(或－y)，方程不变，则曲线C关于y轴(或x轴)对称，因此曲线C也关于原点对称．当x≥0，y≥0时，曲线C即x＋y＝1(0≤x≤1)，表示以(1，0)与(0，1)为端点的线段，由对称性知曲线C的图象如图所示．【感悟提升】讨论曲线的几何性质一般包括的几个方面(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围．(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点．(3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点等的对称性)．(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况．(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点、连线的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线．【跟踪训练】5．(多选)数学中有许多形状优美的曲线，曲线E：3x2＋3y2－2|xy|＝8就是其中之一，则下列四个结论中正确的是()A．曲线E关于原点对称，且关于直线y＝x对称B．曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2C．若M(x，y)是曲线E上的任意一点，则3y－x的最大值为eq\r(35)D．已知P(1，1)，直线y＝kx(k>0)与曲线E交于A，B两点，则|PA|＋|PB|为定值答案：ABD解析：根据曲线方程，若点(x，y)在曲线E上，易知点(－x，－y)，(y，x)都满足曲线E的方程，所以曲线E关于原点对称，且关于直线y＝x对称，A正确；不妨令第一象限点(x，y)在曲线E上，则3x2＋3y2－2xy＝8，因为xy≤eq\f(x2＋y2,2)，则eq\f(3x2＋3y2－8,2)≤eq\f(x2＋y2,2)，解得x2＋y2≤4，当且仅当x＝y时，等号成立，所以曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2，B正确；由曲线E的对称性知，当M(x，y)位于第二象限时，3y－x取得最大值，所以3x2＋3y2＋2xy＝8，令t＝3y－x，将x＝3y－t代入3x2＋3y2＋2xy＝8，可得36y2－20ty＋3t2－8＝0，故Δ＝(－20t)2－4×36×(3t2－8)≥0，解得t2≤36，即3y－x的最大值为6，C错误；由题意，知点A，B关于原点对称，不妨设第一象限点A(x，y)，则B(－x，－y)，且3x2＋3y2－2xy＝8，则|PA|＝eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq\r(\f(2xy,3)＋\f(14,3)－2（x＋y）)，|PB|＝eq\r(（－x－1）2＋（－y－1）2)＝eq\r(\f(2xy,3)＋\f(14,3)＋2（x＋y）)，所以(|PA|＋|PB|)2＝eq\f(4xy,3)＋eq\f(28,3)＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2xy,3)＋\f(14,3)))\s\up12(2)－4（x＋y）2)＝eq\f(4xy,3)＋eq\f(28,3)＋2eq\r(\f(4x2y2,9)－\f(40,9)xy＋\f(100,9))＝eq\f(4xy,3)＋eq\f(28,3)＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2xy,3)－\f(10,3)))\s\up12(2))＝eq\f(4xy,3)＋eq\f(28,3)＋eq\f(20,3)－eq\f(4xy,3)＝16，所以|PA|＋|PB|＝4，为定值，D正确．故选ABD.1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2eq\r(x)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵y＝－2eq\r(x)≤0，而y2＝4x中y可正可负可为零，∴点M在曲线y2＝4x上时，点M的坐标不一定满足方程y＝－2eq\r(x).反之，点M的坐标满足方程y＝－2eq\r(x)时，点M一定在曲线y2＝4x上．故选B.2．方程|x|－1＝eq\r(1－（y－1）2)表示的曲线是()A．一个圆 B．两个圆C．一个半圆 D．两个半圆答案：D解析：方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，因为|x|－1≥0，所以x≤－1或x≥1，若x≤－1，则方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，则方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.故选D.3．曲线四叶玫瑰线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状，下列曲线方程能表示该图象的是()A．(x2＋y2)3＝16x2y2B．(x2＋y2)3＝16x2y3C．(x2＋y3)3＝16x2y2D．(x3＋y3)3＝16x2y2答案：A解析：由图象知曲线关于两坐标轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形，x换成－x时，D项方程变为(－x3＋y3)3＝16x2y2，与原方程不相同，D不符合题意；y换成－y时，B项方程变为(x2＋y2)3＝－16x2y3，与原方程不相同，B不符合题意；C项方程变为(x2－y3)3＝16x2y2，与原方程不相同，C不符合题意；只有A中－x代替x，－y代替y或同时用－x代替x，－y代替y，方程均不变，A符合题意．故选A.4．(多选)已知曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|，则曲线C满足()A．关于x轴对称B．曲线C上的点到原点距离的最大值为2C．关于原点对称D．所围成图形的面积为8＋8π答案：AC解析：设(x，y)是曲线上任意一点，由于曲线方程为x2＋y2＝2|x|＋2|y|，所以(x，y)，(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)都满足曲线方程，所以曲线C满足关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称，故A，C正确；当x>0，y>0时，曲线方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，是圆心为(1，1)，半径为eq\r(2)的圆在第一象限的部分，如图中阴影部分所示．阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，曲线上的点到原点距离的最大值即为eq\r(2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2)，故B错误；其面积为eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×π×(eq\r(2))2＝2＋π，根据对称性可知，曲线C所围成图形的面积为(2＋π)×4＝8＋4π，故D错误．故选AC.5．已知点A(4，6)，点B在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为____________________．答案：(x－2)2＋(y－3)2＝1解析：设M(x，y)，B(x1，y1)，由点A(4，6)，且M是线段AB的中点，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋x1,2)，,y＝\f(6＋y1,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－4，,y1＝2y－6，))又点B在圆上，故xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝4，即(2x－4)2＋(2y－6)2＝4，整理得(x－2)2＋(y－3)2＝1，所以线段AB的中点M的轨迹方程是(x－2)2＋(y－3)2＝1.课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点两曲线的交点问题由方程研究曲线的类型和性质直接法求轨迹方程面积、整点个数、距离的最值问题空间中的轨迹问题直接法求轨迹方程对称性、面积、与坐标轴的交点问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点直接法求轨迹方程与交点有关的证明问题直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程；判断点与曲线的位置关系；点的坐标的范围问题直接法求轨迹方程；与动点有关的面积的最值直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程；由动点的轨迹方程确定轨迹的形状一、选择题1．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点坐标是()A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，1)，(－1，－1) D．(0，0)答案：C解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,xy＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))故选C.2．方程(x2＋y2＋2x)(x＋y－2)＝0表示的曲线是()A．一个圆和一条射线 B．一个圆和一条直线C．一个圆 D．一条直线答案：B解析：∵(x2＋y2＋2x)(x＋y－2)＝0，∴x2＋y2＋2x＝0或x＋y－2＝0，即表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＋y－2＝0.故选B.3．某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为12km，且甲、丙两地的距离是乙、丙两地距离的eq\r(2)倍，则这个三角形养鱼场的最大面积是()A．72km2 B．72eq\r(2)km2C．78km2 D．78eq\r(2)km2答案：B解析：以点A，B，C分别表示甲、乙、丙地，以线段AB的中点O为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(－6，0)，B(6，0)，设点C(x，y)，则|AC|＝eq\r(2)|BC|，即eq\r(（x＋6）2＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(（x－6）2＋y2)，整理可得(x－18)2＋y2＝288，∴点C的轨迹是以点(18，0)为圆心，12eq\r(2)为半径的圆除去与x轴的交点后所得曲线，∴S△ABC≤eq\f(1,2)×12×12eq\r(2)＝72eq\r(2)(km2)．故选B.4．圆x2＋y2＝1由于其完美的对称性常被称为“完美曲线”，其实数学中还有许多形状优美的曲线，例如曲线Γ：eq\r(\a\vs4\al(|x|))＋eq\r(\a\vs4\al(|y|))＝1，如图所示，给出下列三个结论：①曲线Γ所围成的“星形”区域的面积小于2；②曲线Γ恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；③曲线Γ上的点到原点的距离的最小值为eq\f(\r(2),4).其中所有正确结论的序号是()A．① B．②C．①② D．①②③答案：D解析：如图，设Γ：eq\r(\a\vs4\al(|x|))＋eq\r(\a\vs4\al(|y|))＝1与坐标轴的交点分别为A，B，C，D，则A(1，0)，B(0，1)，C(－1，0)，D(0，－1)，则四边形ABCD为正方形，其面积为eq\r(2)×eq\r(2)＝2，故曲线Γ所围成的“星形”区域的面积小于2，故①正确；曲线Γ恰好经过4个整点，即A(1，0)，B(0，1)，C(－1，0)，D(0，－1)，故②正确；设曲线上的动点为P(m，n)，则eq\r(\a\vs4\al(|m|))＋eq\r(\a\vs4\al(|n|))＝1，故|m|＋|n|＋2eq\r(\a\vs4\al(|mn|))＝1，即|m|＋|n|＝1－2eq\r(\a\vs4\al(|mn|))≥2eq\r(\a\vs4\al(|mn|))，当且仅当m＝±eq\f(1,4)，n＝±eq\f(1,4)时，等号成立，故0≤eq\r(|mn|)≤eq\f(1,4)，而|OP|＝eq\r(m2＋n2)＝eq\r(（|m|＋|n|）2－2|mn|)＝eq\r(（1－2\r(\a\vs4\al(|mn|))）2－2|mn|)＝eq\r(2|mn|－4\r(\a\vs4\al(|mn|))＋1)＝eq\r(2（\r(\a\vs4\al(|mn|))－1）2－1)≥eq\r(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－1))\s\up12(2)－1)＝eq\f(\r(2),4)，故③正确．故选D.5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱AA1，BC上的动点，若MN＝eq\r(2)，则线段MN的中点P的轨迹是()A．一条线段 B．一段圆弧C．一部分球面 D．两条平行线段答案：B解析：连接MB，NA，PA，PB，取AB的中点为O，连接PO，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知△MBN，△MAN为直角三角形，∵P为MN的中点，∴在Rt△MBN中，PB＝eq\f(1,2)MN，在Rt△MAN中，PA＝eq\f(1,2)MN，∴PA＝PB，又O为AB的中点，∴PO⊥AB，在Rt△APO中，PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)MN))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(1,2)，∵M，N分别为AA1，BC上的动点，∴点P的轨迹是以O为圆心，eq\f(1,2)为半径的圆的一部分．故选B.二、填空题6．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________________．答案：3x2＋4y2＝48解析：设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，即|8－x|＝2eq\r(（x－2）2＋（y－0）2)，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.7．关于曲线C：x4＋y2＝1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C围成的面积大于π；④曲线C与坐标轴的交点有6个．上述命题中，正确的序号为________．答案：①③解析：对于①，将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x换为y，y换为x，方程变为y4＋x2＝1，与原方程不同，故②错误；对于③，在曲线C上任取一点M(x0，y0)，xeq\o\al(4,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，∵|x0|≤1，∴xeq\o\al(4,0)≤xeq\o\al(2,0)，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)≥xeq\o\al(4,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，即点M在圆x2＋y2＝1上或在圆x2＋y2＝1外，而圆x2＋y2＝1的面积为π，所以曲线C围成的面积大于π，故③正确；对于④，令x＝0，得y＝1或－1，令y＝0，得x＝1或－1，故曲线C与坐标轴的交点为(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，共4个，故④错误．8．已知a，b，e是平面向量，e＝(1，0)，若非零向量a满足|a|·|e|＝2|a·e|，向量b满足|b＋4e|＝|b·e|，则b的轨迹方程为________，|a－b|的最小值为________．答案：y2＝－8x－16eq\f(2\r(3),3)解析：设a＝(m，n)，b＝(x，y)，则b＋4e＝(x＋4，y)，b·e＝x×1＋y×0＝x，由|b＋4e|＝|b·e|可得(x＋4)2＋y2＝x2，即y2＝－8x－16.|a|·|e|＝eq\r(m2＋n2)，2|a·e|＝|2m×1＋2n×0|＝|2m|，由题意得eq\r(m2＋n2)＝|2m|，则n＝±eq\r(3)m，如图所示，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，则|a－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|，问题式即求曲线y2＝－8x－16上一点C(x0，y0)到直线y＝±eq\r(3)x的距离的最小值，由对称性，不妨求C(x0，y0)到直线y＝eq\r(3)x的距离的最小值，即d＝eq\f(|\r(3)x0－y0|,2)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)·\f(yeq\o\al(2,0)＋16,8)＋y0)),2)＝eq\f(\r(3),16)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(4,\r(3))))\s\up12(2)＋\f(32,3)))≥eq\f(2\r(3),3)，即|a－b|的最小值为eq\f(2\r(3),3).三、解答题9．已知O为坐标原点，直线y＝x－2与曲线y2＝2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.证明：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y2＝2x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\r(5)，,y＝1＋\r(5)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\r(5)，,y＝1－\r(5).))不妨令A的坐标为(3＋eq\r(5)，1＋eq\r(5))，B的坐标为(3－eq\r(5)，1－eq\r(5))，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3＋eq\r(5)，1＋eq\r(5))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3－eq\r(5)，1－eq\r(5))，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3＋eq\r(5))(3－eq\r(5))＋(1＋eq\r(5))(1－eq\r(5))＝0，所以OA⊥OB.10．已知两定点M(1，3)，N(3，1)，动点P满足条件________，求动点P的轨迹方程．请在下列条件中任选一个补充到横线上，并解答．条件①：直线PM与直线PN垂直；条件②：点P到M，N两点距离的平方和为20；条件③：直线PM与直线PN的斜率之积为4.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：选择条件①：设点P的坐标为(x，y)，∵直线PM与直线PN垂直，解法一：当x≠1，x≠3时，kPM＝eq\f(y－3,x－1)，kPN＝eq\f(y－1,x－3)，则kPM·kPN＝－1，即eq\f(y－3,x－1)·eq\f(y－1,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－4x－4y＋6＝0，当x＝1时，易知y＝1，点P的坐标为(1，1)，满足上述方程，当x＝3时，易知y＝3，点P的坐标为(3，3)，满足上述方程，经检验，点P的轨迹方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0(M，N除外)．解法二：eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－1，y－3)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x－3，y－1)，则(x－1)(x－3)＋(y－3)(y－1)＝0，化简得x2＋y2－4x－4y＋6＝0.经检验，点P的轨迹方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0(M，N除外)．选择条件②：设点P的坐标为(x，y)，∵点P到两定点M(1，3)，N(3，1)的距离的平方和为20，∴PM2＋PN2＝20，即(x－1)2＋(y－3)2＋(x－3)2＋(y－1)2＝20，化简得x2＋y2－4x－4y＝0，经检验，点P的轨迹方程为x2＋y2－4x－4y＝0.选择条件③：设点P的坐标为(x，y)(x≠1，x≠3)，∵直线PM与直线PN的斜率之积为4，∴kPM＝eq\f(y－3,x－1)，kPN＝eq\f(y－1,x－3)，则kPM·kPN＝4，即eq\f(y－3,x－1)·eq\f(y－1,x－3)＝4，化简得4x2－y2－16x＋4y＋9＝0，经检验，点P的轨迹方程为4x2－y2－16x＋4y＋9＝0(x≠1，x≠3)．11．(多选)(新课标Ⅰ卷)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于－2，到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则()A．a＝－2B．点(2eq\r(2)，0)在C上C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点(x0，y0)在C上时，y0≤eq\f(4,x0＋2)答案：ABD解析：对于A，设P(x，y)为曲线C上的动点，则x>－2且eq\r(（x－2）2＋y2)×|x－a|＝4，因为曲线过坐标原点，所以eq\r(（0－2）2＋02)×|0－a|＝4，解得a＝－2，故A正确；对于B，因为曲线C的方程为eq\r(（x－2）2＋y2)×|x＋2|＝4，又x>－2，故eq\r(（x－2）2＋y2)×(x＋2)＝4，当x＝2eq\r(2)，y＝0时，eq\r(（x－2）2＋y2)×(x＋2)＝eq\r(（2\r(2)－2）2)×(2eq\r(2)＋2)＝8－4＝4，故点(2eq\r(2)，0)在曲线C上，故B正确；对于C，由曲线C的方程可得y2＝eq\f(16,（x＋2）2)－(x－2)2，取x＝eq\f(3,2)，则y2＝eq\f(64,49)－eq\f(1,4)＝eq\f(207,196)>1，故C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误；对于D，当点(x0，y0)在曲线C上时，由C项分析可得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(16,（x0＋2）2)－(x0－2)2≤eq\f(16,（x0＋2）2)，故－eq\f(4,x0＋2)≤y0≤eq\f(4,x0＋2)，故D正确．故选ABD.12．Cassini卵形线是由法国天文学家Jean－DominiqueCassini(1625～1712)引入的．卵形线的定义是：曲线上的任