高考数学一轮复习 讲义 第1节 集合

第一节集合课标解读考向预测1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；了解全集与空集的含义．2.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．5.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，难度较低.2027年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等工具解决相关问题.1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：eq\o(□,\s\up1(01))确定性、eq\o(□,\s\up1(02))互异性、eq\o(□,\s\up1(03))无序性．(2)元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说aeq\o(□,\s\up1(04))属于集合A，记作eq\o(□,\s\up1(05))a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说aeq\o(□,\s\up1(06))不属于集合A，记作eq\o(□,\s\up1(07))a∉A．(3)集合的三种表示方法：eq\o(□,\s\up1(08))列举法、eq\o(□,\s\up1(09))描述法、图示法．(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法eq\o(□,\s\up1(10))Neq\o(□,\s\up1(11))N*或N＋eq\o(□,\s\up1(12))Zeq\o(□,\s\up1(13))Qeq\o(□,\s\up1(14))R2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中eq\o(□,\s\up1(15))任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作Aeq\o(□,\s\up1(16))⊆B(或Beq\o(□,\s\up1(17))⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但eq\o(□,\s\up1(18))存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作Aeq\o(□,\s\up1(19))B(或Beq\o(□,\s\up1(20))A)．(3)相等：若A⊆B，且Beq\o(□,\s\up1(21))⊆A，则A＝B.(4)空集：不含eq\o(□,\s\up1(22))任何元素的集合，记为eq\o(□,\s\up1(23))∅．规定：eq\o(□,\s\up1(24))空集是任何集合的子集．3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝eq\o(□,\s\up1(25)){x|x∈A，或x∈B}交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B＝eq\o(□,\s\up1(26)){x|x∈A，且x∈B}补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝eq\o(□,\s\up1(27)){x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)并集的性质：A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)补集的性质：A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.3．集合元素个数公式：若用card表示有限集中元素的个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．题组一走出误区——判一判(1)eq\f(1,7)∈Q.()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.()答案：(1)√(2)×(3)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第一册习题1.2T1改编)若集合M＝{x|x3＝8}，N＝{x|x2＝4}，则下列式子正确的是()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案：B(2)(人教B必修第一册1.1.2练习BT1改编)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．3 B．4C．8 D．7答案：D(3)(人教B必修第一册习题1－1BT7改编)已知全集U＝R，集合A＝{－4，－2，－1，1，3，6}，B＝{－3，－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－2，1，3} B．{－1，2，6}C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，6}答案：A解析：由题图可知阴影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，3}，故阴影部分表示的集合是{－2，1，3}．故选A.(4)(人教A必修第一册习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．答案：{x|x≤2，或x≥10}{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}(5)(人教A必修第一册习题1.2T5(2)改编)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：因为B＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，且B⊆A，所以a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．考点一集合的基本概念(1)下列说法正确的是()A．10以内的素数集合是{1，2，3，5，7}B．0与{0}表示同一个集合C．方程x2－6x＋9＝0的解集是{3，3}D．由1，2，3，4组成的集合可表示为{1，2，3，4}或{4，3，2，1}答案：D解析：10以内的素数有2，3，5，7，A错误；0是集合{0}中的一个元素，B错误；由集合中元素的互异性可知，C错误；由集合中元素的无序性可知，D正确．故选D.(2)(2026·黑龙江牡丹江模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为()A．－1，2 B．－3C．－1，－3，2 D．－3，2答案：D解析：由集合中元素的确定性，知a2－a＋2＝4或1－a＝4.当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2；当1－a＝4时，a＝－3.当a＝－1时，A＝{2，4，2}，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去；当a＝2时，A＝{2，4，－1}，满足集合中元素的互异性，故a＝2满足要求；当a＝－3时，A＝{2，14，4}，满足集合中元素的互异性，故a＝－3满足要求．综上所述，a＝2或a＝－3.故选D.解答与集合中元素有关的问题的三个关键点1.已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2∉A，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}答案：C解析：由题意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故选C.2．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,6－x))∈N)))，则用列举法表示集合A＝________．答案：{2，4，5}解析：由eq\f(8,6－x)∈N，得6－x可取1，2，4，8，即x可取5，4，2，－2，又x∈N，故A＝{2，4，5}．3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则a2026＋b2026＝________．答案：2解析：由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2026＋b2026＝1＋1＝2.考点二集合间的基本关系(1)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋1，k∈Z))))，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M＝N D．M∩N＝∅答案：A解析：M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋1，k∈Z))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋2,2)，k∈Z))))，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以M⊆N.故选A.(2)(2023·新课标Ⅱ卷，2)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D．－1答案：B解析：因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.1．判断集合间关系的三种方法(1)用列举法表示集合，从元素中寻找关系．(2)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．(3)利用数轴，在数轴上表示出两个集合(集合为数集)，从而确定集合与集合的关系．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解．4.(2026·河北衡水模拟)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x＋1))≤0)))，B＝{x|－1≤x≤2}，则()A．A＝B B．ABC．BA D．∅∈A答案：B解析：因为eq\f(x－2,x＋1)≤0等价于(x－2)(x＋1)≤0且x＋1≠0，故解不等式，得－1<x≤2，所以A＝(－1，2]，B＝[－1，2]，所以AB，∅⊆A，故A，C，D错误，B正确．故选B.5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案：(－∞，3]解析：∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠∅，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.综上所述，实数m的取值范围为(－∞，3]．考点三集合的基本运算(多考向探究)考向1集合间的交、并、补运算(1)(2025·新课标Ⅱ卷，3)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝()A．{0，1，2} B．{1，2，8}C．{2，8} D．{0，1}答案：D解析：因为集合B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，所以A∩B＝{0，1}．故选D.(2)(2025·天津卷，1)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝()A．{1，2，3，4} B．{2，3，4}C．{2，4} D．{4}答案：D解析：由A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，得A∪B＝{1，2，3，5}，又集合U＝{1，2，3，4，5}，故∁U(A∪B)＝{4}．故选D.(3)(2026·辽宁沈阳模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|0<x<4}，则图中阴影部分表示的集合为()A．[3，4) B．(3，4)C．(0，4) D．(0，3]答案：B解析：由题图知，阴影部分表示的集合为B∩(∁UA)，因为A＝{x|－2≤x≤3}，所以∁UA＝{x|x<－2，或x>3}，又B＝{x|0<x<4}，所以B∩(∁UA)＝{x|3<x<4}．故选B.(4)(2026·云南昆明模拟)已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|2<x<6}，若C∩B≠∅，C⊆A，则满足条件的集合C的个数为()A．2 B．4C．7 D．8答案：B解析：由题意，知4∈C⊆A，则集合C可以为{4}，{2，4}，{4，6}，{2，4，6}，共4个．故选B.解决集合运算问题的三个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算常借助数轴求解6.(2023·新课标Ⅰ卷，1)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案：C解析：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.7．(2025·新课标Ⅰ卷，2)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中的元素个数为()A．0 B．3C．5 D．8答案：C解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，则∁UA中的元素个数为5.故选C.8．设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM)C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN)答案：A解析：由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故A符合题意；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x>－1}，故B不符合题意；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1，或x≥1}，故C不符合题意；∁UN＝{x|x≤－1，或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x<1，或x≥2}，故D不符合题意．故选A.考向2利用集合的运算求参数已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围是()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案：C解析：A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，由B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得∁RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因为A∩(∁RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]．故选C.利用集合的运算求参数的方法确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集．9.(2026·山东潍坊模拟)已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x2－2x－3≥0}，C＝{x|x>a}，且A∪(∁RB)∪C＝R，则实数a的取值范围为()A．(－1，＋∞) B．(－∞，3)C．(－∞，－1] D．(－∞，3]答案：B解析：因为B＝{x|x2－2x－3≥0}＝{x|x≤－1，或x≥3}，所以∁RB＝{x|－1<x<3}，所以A∪(∁RB)＝{x|x<3}，因为A∪(∁RB)∪C＝R，所以a<3，所以实数a的取值范围为(－∞，3)．故选B.考点四集合新定义(多选)(2026·福建福州模拟)若非空集合A，B满足条件：①A∪B＝U；②若α∈A，β∈B，则α<β，则称L(A，B)为集合U的划分．下列命题正确的是()A．若L(M，N)为集合U的划分，则M∩N＝∅B．若L(M，N)为集合U的划分，则M∩N≠∅C．若M＝{x|x<2}，N＝{y|y＝2x＋2}，则L(M，N)为R的划分D．若U＝{a，a2，a3，…，a2n}存在L(A，B)划分，n∈N*，则a∉{0，1}答案：AD解析：对于A，B，在集合划分的定义中并未要求M∩N＝∅，但若存在α∈M∩N，则α<α矛盾，故M∩N＝∅必然成立，故A正确，B错误．对于C，集合M为(－∞，2)，而集合N为(2，＋∞)，此时M∪N≠R，不符合集合划分的定义，故C错误．对于D，若a＝1，则U＝{1}，无法划分；若a＝0，则U＝{0}，无法划分，故D正确．故选AD.解决集合新定义问题的两个策略紧扣新定义先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，是解答新定义问题的关键所在用好集合性质集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础和突破口，在解题时，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用好集合的性质10.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，记为第一次操作；再将剩下的两个区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第四个区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,27)，\f(1,9)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(25,27)))答案：C解析：第一次操作剩下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))；第二次操作剩下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,9)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，1))；第三次操作剩下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,27)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,27)，\f(1,9)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(7,27)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(19,27)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(20,27)，\f(7,9)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(25,27)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(26,27)，1))，故第三次操作后，从左到右第四个区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，\f(1,3))).故选C.课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★考点交集运算并集运算元素与集合的关系交集、补集运算交集、并集运算并集、补集运算根据并集结果求参数Venn图的实际应用子集；并集、补集运算交集、并集运算题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点子集；交集、并集、补集运算求真子集的个数根据交集结果求并集根据交集结果求参数交集运算根据集合的包含关系求集合的个数Venn图的实际应用根据集合的包含关系求参数集合新定义；元素与集合的关系集合新定义；空集；补集一、单项选择题1．(2026·四川雅安诊断)已知集合A＝{x|1<x≤6}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝()A．{6} B．{2，4}C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}答案：C解析：因为A＝{x|1<x≤6}，B＝{2，4，6，8}，所以A∩B＝{2，4，6}．故选C.2．(2026·广东佛山质检)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，则A∪B＝()A．{x|2≤x<7} B．{x|2≤x<10}C．{x|3<x<7} D．{x|3<x<10}答案：B解析：由题设，得A∪B＝{x|2≤x<7}∪{x|3<x<10}＝{x|2≤x<10}．故选B.3．(2026·辽宁抚顺模拟)已知集合A＝{1，2}，B＝{x2－y2|x，y∈A}，则下列判断错误的是()A．1∈B B．0∈BC．3∈B D．－3∈B答案：A解析：依题意，可得B＝{－3，0，3}，所以－3∈B，0∈B，3∈B，1∉B.故选A.4．(2026·河北名校调研)已知全集U＝{x|－3<x≤3，x∈Z}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－3，－2，－1}，则(∁UA)∩B＝()A．{－1，1} B．{－2，－1}C．{－1，2} D．{－2，0}答案：B解析：由题知，U＝{－2，－1，0，1，2，3}，则∁UA＝{－2，－1，3}，故(∁UA)∩B＝{－2，－1}．故选B.5．(2026·吉林长春模拟)设全集U＝Z，集合A＝{－1，0，1}，B＝{x∈N||x|≤2}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{1} B．{－1，2}C．{0，1} D．{－1，0，2}答案：B解析：因为B＝{x∈N||x|≤2}，所以B＝{0，1，2}，因为A＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2}，而阴影部分表示的集合是{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，则图中阴影部分表示的集合是{－1，2}．故选B.6．设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅答案：A解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.7．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案：A解析：因为A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故选A.8．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每名学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如下表：项目等级优秀合格合计除草301545植树202545若两个项目都“合格”的学生最多有10人，则两个项目都“优秀”的学生人数最多为()A．5 B．10C．15 D．20答案：C解析：用集合A表示除草优秀的学生，集合B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁UA表示除草合格的学生，∁UB表示植树合格的学生，作出Venn图，如图．设两个项目都优秀的学生人数为x，两个项目都合格的学生人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，即x＝y＋5，因为ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故选C.二、多项选择题9．已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则()A．A⊆∁RB B．∁RA⊆BC．A∪B＝R D．(∁RA)∪(∁RB)＝R答案：AD解析：如图，根据Venn图可得A⊆∁RB，故A正确；由于B⊆∁RA，故B错误；A∪B⊆R，故C错误；(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R，故D正确．故选AD.10．设集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则()A．A∩B＝B B．B∩Z的元素个数为16C．A∪B＝B D．A∩Z的子集个数为64答案：BCD解析：对于A，B，C，因为A＝{x|x2－x≤6}＝{x|－2≤x≤3}，所以B＝{xy|x∈A，y∈A}＝{x|－6≤x≤9}，所以A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，B∩Z有6＋1＋9＝16个元素，故A错误，B，C正确；对于D，A∩Z有2＋1＋3＝6个元素，所以A∩Z的子集个数为26＝64，故D正确．故选BCD.11．若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))，则下列结论正确的是()A．A∪B＝B B．∁RB⊆∁RAC．A∩B＝∅ D．∁RA⊆∁RB答案：AB解析：因为A＝{x|sin2x＝1}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，显然集合eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))⊆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，所以A⊆B，则A∪B＝B，所以A正确；∁RB⊆∁RA，所以B正确，D错误；A∩B＝A，所以C错误．故选AB.三、填空题12．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,x－1))∈N，x∈A)))，则集合B的真子集个数是__________．答案：7解析：由eq\f(6,x－1)∈N，得x－1＝6，x－1＝3，x－1＝2，x－1＝1，且x∈A，故B＝{2，3，4}，则集合B的真子集个数是23－1＝7.13．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________．答案：{－5，－2，4}解析：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．综上所述，A∪B＝{－5，－2，4}．14．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．答案：5解析：由A∩B＝A，得A⊆B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))即m≥5，故m的最小值为5.15．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B，则M中元素的个数是()A．0 B．1C．2 D．4答案：C解析：因为A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直线x＋y＝0上的点的集合，集合B是椭圆x2＋2y2＝1上的点的集合．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋2y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))即椭圆和直线有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))两个交点，又M＝A∩B，所以M中元素的个数是2.故选C.16．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D解析：A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，B＝{x∈N|0<x<5}＝{1，2，3，4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合{3，4}的子集个数，即有22＝4个．故选D.17．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记A＝{x|x是听了数学讲