高考数学一轮复习 讲义 微专题（6） 解三角形中的最值、范围问题

在解三角形中，与边长、周长、面积、角度等有关的最值或范围问题，一直是高考的热点，主要是利用正、余弦定理，三角形面积公式建立起角与边的数量关系，再结合三角函数、基本不等式、二次函数、导数等工具求解．类型一利用基本不等式求最值、范围(2026·山东菏泽模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosA－eq\f(1,2)a＝b.(1)求C；(2)若2sinA＋4sinB＝a＋2b，求AB边上高的最大值．解：(1)因为ccosA－eq\f(1,2)a＝b，由正弦定理，得sinCcosA－eq\f(1,2)sinA＝sinB，①因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB.故①式可变形为sinCcosA－eq\f(1,2)sinA＝sin(A＋C)，即sinCcosA－eq\f(1,2)sinA＝sinAcosC＋cosAsinC，化简，得sinAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosC＋\f(1,2)))＝0，因为A∈(0，π)，所以sinA>0，故cosC＝－eq\f(1,2).因为C∈(0，π)，故C＝eq\f(2π,3).(2)设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，则a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，又2sinA＋4sinB＝a＋2b，所以R＝1，由(1)，知C＝eq\f(2π,3)，故sinC＝eq\f(\r(3),2)，则c＝eq\r(3)，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即3＝a2＋b2＋ab≥3ab，则ab≤1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，设AB边上的高为h，由三角形的面积公式，得S△ABC＝eq\f(1,2)ch＝eq\f(1,2)absinC，即h＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2).故AB边上高的最大值为eq\f(1,2).在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系．(1)求面积的最值时，S＝eq\f(1,2)bcsinA，即求bc的最值，在等量关系中，利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值．(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))eq\s\up12(2)，即可求得b＋c的最值．(3)求线段长、角度等的最值时，常将所求量用a，b，c表示出来，进而利用基本不等式求解．1.在①asinB－eq\r(3)bcosBcosC＝eq\r(3)ccos2B，②(sinA－sinC)2＝sin2B－sinAsinC这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求△ABC周长的取值范围．解：(1)若选①，由asinB－eq\r(3)bcosBcosC＝eq\r(3)ccos2B，得sinAsinB－eq\r(3)sinBcosBcosC＝eq\r(3)sinCcos2B，所以sinAsinB＝eq\r(3)cosB(sinBcosC＋sinCcosB)＝eq\r(3)cosBsin(B＋C)＝eq\r(3)cosBsinA，由0<A<π，得sinA>0，则sinB＝eq\r(3)cosB，即tanB＝eq\r(3)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).若选②，由(sinA－sinC)2＝sin2B－sinAsinC，得(a－c)2＝b2－ac，即a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)，得B＝eq\f(π,3)，又b＝3，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，则9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)(a＋c)2，解得a＋c≤6，当且仅当a＝c＝3时，等号成立，又三角形的两边之和大于第三边，所以a＋c>b＝3，则3<a＋c≤6，6<a＋b＋c≤9，所以△ABC周长的取值范围是(6，9]．2．(2026·江西赣州模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanAtanB＝(2tanA－tanB)tanC.(1)求证：a2＋c2＝2b2；(2)若b＝2，当角B取最大值时，求△ABC的面积．解：(1)证明：∵tanAtanB＝(2tanA－tanB)tanC，∴tanBtanC＋tanAtanB＝2tanAtanC，∴eq\f(sinB,cosB)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinC,cosC)＋\f(sinA,cosA)))＝2·eq\f(sinA,cosA)·eq\f(sinC,cosC)，即eq\f(sinB,cosB)·eq\f(sinCcosA＋cosCsinA,cosCcosA)＝2·eq\f(sinA,cosA)·eq\f(sinC,cosC)，∴eq\f(sinB,cosB)·eq\f(sin（C＋A）,cosCcosA)＝2·eq\f(sinA,cosA)·eq\f(sinC,cosC)，由sin(C＋A)＝sinB，得sin2B＝2sinAsinCcosB，由正弦定理及余弦定理，得b2＝2ac·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝a2＋c2－b2，∴a2＋c2＝2b2.(2)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\f(1,2)（a2＋c2）,2ac)＝eq\f(a2＋c2,4ac)≥eq\f(2ac,4ac)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝c时，等号成立，此时B取得最大值eq\f(π,3)，∴△ABC为等边三角形．由b＝2，得a＝c＝2，∴△ABC的面积为eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).类型二转化为三角函数求最值、范围(2026·安徽马鞍山模拟)记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，bcosB＝eq\r(2)sin2B.(1)求A；(2)求(eq\r(3)－1)b＋eq\r(2)c的最大值．解：(1)因为bcosB＝eq\r(2)sin2B，所以bcosB＝2eq\r(2)sinBcosB.又△ABC为锐角三角形，故cosB≠0，则eq\f(b,sinB)＝2eq\r(2)＝eq\f(a,sinA).因为a＝2，所以sinA＝eq\f(\r(2),2).又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以A＝eq\f(π,4).(2)由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2eq\r(2)，则b＝2eq\r(2)sinB，c＝2eq\r(2)sinC.由(1)，知A＝eq\f(π,4)，则C＝eq\f(3π,4)－B，所以(eq\r(3)－1)b＋eq\r(2)c＝2eq\r(2)(eq\r(3)－1)sinB＋4sinC＝(2eq\r(6)－2eq\r(2))sinB＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－B))＝2eq\r(6)sinB＋2eq\r(2)cosB＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，因为△ABC为锐角三角形，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<B<\f(π,2)，,0<\f(3π,4)－B<\f(π,2)，))所以eq\f(π,4)<B<eq\f(π,2)，所以eq\f(5π,12)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，所以当B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即B＝eq\f(π,3)时，(eq\r(3)－1)b＋eq\r(2)c取得最大值，为4eq\r(2).在解决三角形中的最值、范围问题时，可以采用正弦定理边化角，利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，利用三角函数的范围求出最值、范围．3.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足eq\r(3)bsinC－ccosB＝c.(1)求角B；(2)若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围．解：(1)因为eq\r(3)bsinC－ccosB＝c，由正弦定理，得eq\r(3)sinBsinC－sinCcosB＝sinC，因为0<C<π，所以sinC>0，所以eq\r(3)sinB－cosB＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，解得B＝eq\f(π,3).(2)由(1)，知B＝eq\f(π,3)，又a＝2，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以c＝eq\f(a,sinA)·sinC，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),2)c＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(a,sinA)·sinC＝eq\f(\r(3)sinC,sinA)＝eq\f(\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)),sinA)＝eq\f(\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosA＋\f(1,2)sinA)),sinA)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2tanA)，因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<eq\f(π,2)，且0<C＝eq\f(2π,3)－A<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)<A<eq\f(π,2)，故tanA>eq\f(\r(3),3)，所以0<eq\f(3,2tanA)<eq\f(3\r(3),2)，所以△ABC面积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，2\r(3))).类型三转化为其他函数求最值、范围已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(sin（A－B）,cosB)＝eq\f(sin（A－C）,cosC).(1)若A＝eq\f(π,3)，求B；(2)若asinC＝1，求eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最大值．解：(1)由题意，知eq\f(sin（A－B）,cosB)＝eq\f(sin（A－C）,cosC)，所以sin(A－B)cosC＝sin(A－C)cosB，所以sinAcosBcosC－cosAsinBcosC＝sinAcosCcosB－cosAsinCcosB，所以cosAsinBcosC＝cosAsinCcosB，因为A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinBcosC＝sinCcosB，所以tanB＝tanC，因为B，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以B＝C，又A＝eq\f(π,3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)，知B＝C，所以sinB＝sinC，b＝c，因为asinC＝1，所以eq\f(1,a)＝sinC，由正弦定理，得asinC＝csinA＝bsinA＝1，所以eq\f(1,b)＝sinA.因为A＝π－B－C＝π－2C，所以eq\f(1,b)＝sinA＝sin2C，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝sin2C＋sin22C＝eq\f(1－cos2C,2)＋(1－cos22C)＝－cos22C－eq\f(1,2)cos2C＋eq\f(3,2)，因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，则有eq\f(π,4)<C<eq\f(π,2)，则eq\f(π,2)<2C<π，所以－1<cos2C<0，由二次函数的性质可得，当cos2C＝－eq\f(1,4)时，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)取得最大值eq\f(25,16)，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最大值为eq\f(25,16).在解决三角形中的最值、范围问题时，可以采用换元法，将所求函数转化为我们熟知的函数(如一次函数、二次函数等)，在新元所在的区间内求最值、范围．4.(2026·辽宁葫芦岛模拟)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a(2cosC＋1)，则sinA＋sinB的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(8\r(3),9)))解析：因为b＝a(2cosC＋1)，由正弦定理，得2sinAcosC＝sinB－sinA＝sin(A＋C)－sinA＝sinAcosC＋cosAsinC－sinA，即sinAcosC－cosAsinC＝－sinA，所以sin(C－A)＝sinA，又△ABC为锐角三角形，所以C－A＝A或C－A＋A＝π(舍去)，所以C＝2A，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<2A<\f(π,2)，,0<π－3A<\f(π,2)，))所以eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，sinA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以sinA＋sinB＝sinA＋sin(A＋C)＝sinA＋sin(2A＋A)＝sinA＋sin2AcosA＋cos2AsinA＝sinA＋2sinAcos2A＋(1－2sin2A)·sinA＝sinA＋2sinA(1－sin2A)＋(1－2sin2A)·sinA＝4sinA－4sin3A，令x＝sinA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，f(x)＝4x－4x3，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则f′(x)＝4－12x2，易得，当eq\f(1,2)<x<eq\f(\r(3),3)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当eq\f(\r(3),3)<x<eq\f(\r(2),2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故当x＝eq\f(\r(3),3)时，函数f(x)取得最大值，为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(8\r(3),9)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)，所以f(x)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(8\r(3),9)))，即sinA＋sinB的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(8\r(3),9))).5．(2026·四川宜宾诊断)已知函数f(