高考数学一轮复习 讲义 第3节　空间直线、平面的平行

第三节空间直线、平面的平行课标解读考向预测1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.近几年空间直线与平面平行的有关知识，一直是高考命题的热点，重点考查学生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力以及转化思想．预计2027年高考这一部分知识仍会考查，以解答题第(1)问的形式出现，难度中档.1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与eq\o(□,\s\up1(01))此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up1(02))a⊄α,\o(□,\s\up1(03))b⊂α,\o(□,\s\up1(04))a∥b))⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面eq\o(□,\s\up1(05))相交，那么该直线与交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up1(06))a∥α,\o(□,\s\up1(07))a⊂β,\o(□,\s\up1(08))α∩β＝b))⇒a∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条eq\o(□,\s\up1(09))相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up1(10))a⊂β,\o(□,\s\up1(11))b⊂β,\o(□,\s\up1(12))a∩b＝P,\o(□,\s\up1(13))a∥α,\o(□,\s\up1(14))b∥α))⇒β∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面eq\o(□,\s\up1(15))相交，那么两条eq\o(□,\s\up1(16))交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up1(17))α∥β,\o(□,\s\up1(18))α∩γ＝a,\o(□,\s\up1(19))β∩γ＝b))⇒a∥b1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.题组一走出误区——判一判(1)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(2)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.()(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()答案：(1)×(2)×(3)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册习题8.5T1改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是()A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案：D解析：因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交．故选D.(2)(人教A必修第二册8.5.2练习T3改编)已知不重合的直线a，b和平面α，则下列说法正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α答案：D解析：若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面，A错误；若a∥α，b∥α，则a，b平行、异面或相交，B错误；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错误；若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D正确．故选D.(3)(人教A必修第二册8.5.3练习T2改编)已知平面α，β和直线m，n，若m⊂α，n⊂α，则“m∥β，n∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当m∥n，m，n⊂α，α，β是两个不同平面，m∥β，n∥β时，α∥β或α，β相交，反过来，当α∥β时，因为m⊂α，n⊂α，所以m∥β，n∥β.故“m∥β，n∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.(4)(人教A必修第二册复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案：平行四边形解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．考点一空间中平行关系的基本问题在下列判断两个平面α与β平行的四个命题中，真命题的个数是()①α，β都垂直于平面γ，那么α∥β；②α，β都平行于平面γ，那么α∥β；③α，β都垂直于直线l，那么α∥β；④如果l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β.A．0 B．1C．2 D．3答案：D解析：如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①是假命题；由平面平行的传递性可知②是真命题；由线面垂直的性质可知③是真命题；过直线l作平面γ与α，β分别交于l1，l2，过直线m作平面χ与α，β分别交于m1，m2，因为l∥α，l∥β，所以l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，因为l1⊄β，l2⊂β，所以l1∥β，同理，m1∥β，又l，m是两条异面直线，所以l1，m1相交，且l1⊂α，m1⊂α，所以α∥β，故④是真命题．故选D.(1)判断与平行关系相关的命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项．(2)直线、平面间平行的判定方法①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件；②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；③利用实物进行空间想象，比较判断；④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．1.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．给出下列五个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥β，b∥β⇒a∥b；③a∥c，c∥α⇒a∥α；④a∥β，a∥α⇒α∥β；⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是()A．①⑤ B．①②C．②④ D．③⑤答案：A解析：对于①，由基本事实4，可知①正确；对于②，若a∥β，b∥β，则a，b共面或异面，故②错误；对于③，若a∥c，c∥α，则a∥α或a⊂α，故③错误；对于④，若a∥β，a∥α，则α，β平行或相交，故④错误；对于⑤，由a⊄α，b⊂α，a∥b，根据线面平行的判定定理，可得a∥α，故⑤正确．故选A.考点二直线与平面平行的判定与性质(多考向探究)考向1直线与平面平行的判定如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点．求证：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.证明：(1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又F是PD的中点，∴OF∥PB，又OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，∴PB∥平面ACF.(2)证法一：如图，取PA的中点G，连接GF，BG.∵F是PD的中点，∴GF是△PAD的中位线，∴GF綊eq\f(1,2)AD，∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，∴BE綊eq\f(1,2)AD，∴GF綊BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.证法二：如图，取AD的中点H，连接FH，EH.∵F为PD的中点，∴FH是△PAD的中位线，∴FH綊eq\f(1,2)PA，又PA⊂平面PAB，FH⊄平面PAB，∴FH∥平面PAB.∵H为AD的中点，E为BC的中点，∴EH∥AB，又AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAB，∴EH∥平面PAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，又EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)(客观题可用)．2.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明：证法一：如图，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(QB,BD)＝eq\f(QN,DC)，∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(QN,DC).又AB＝DC，∴PM＝QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.证法二：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于M，连接QM，∵BE⊂平面BCE，PM⊄平面BCE，∴PM∥平面BCE.∵PM∥BE，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(AM,MB)，又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(DQ,BQ)，∴eq\f(AM,MB)＝eq\f(DQ,BQ)，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∵BC⊂平面BCE，MQ⊄平面BCE，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.考向2直线与平面平行的性质如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，EF与AD不重合．求证：四边形BCFE是梯形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC綊AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．考点三平面与平面平行的判定与性质在三棱柱ABC－A1B1C1中，(1)若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG；(2)若D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求eq\f(AD,DC)的值．解：(1)证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG，∵A1G∥EB，A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB，又A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG，又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.(2)如图，连接A1B，设A1B与AB1相交于点O，连接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1，即D1为线段A1C1的中点，∴D为线段AC的中点，即eq\f(AD,DC)＝1.1．判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．2．面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．4.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CB1D1；(2)若平面ABCD与平面CB1D1的交线为直线l，证明：B1D1∥l.证明：(1)由题设知BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1.又BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CB1D1.(2)由题知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，又平面ABCD与平面CB1D1的交线为直线l，平面A1B1C1D1与平面CB1D1的交线为直线B1D1，所以B1D1∥l.考点四平行关系的综合应用如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为BD，CD1上的点，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的点，eq\f(AR,AB)的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．解：(1)证明：如图，连接CP并延长与DA的延长线交于点M，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(PC,PM)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(2,3)，又eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(PC,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1，又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)当eq\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.证明如下：因为eq\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,AR)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,AR)＝eq\f(BP,PD)，所以PR∥DA，又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.三种平行关系的转化解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．5.(2026·天津西青模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为底面中心，M，E分别为PA，PD的中点，PD⊥DC，且PD＝DC.(1)求证：MO∥平面PDC；(2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值；(3)若F，N分别为CE，DE的中点，点G在线段PB上，且PG＝3GB.求证：平面GFN∥平面ABCD.解：(1)证明：连接AC，则O为AC的中点，因为M为PA的中点，所以MO∥PC，因为MO⊄平面PDC，PC⊂平面PDC，所以MO∥平面PDC.(2)由(1)，得异面直线MO与EC所成的角即为直线EC与PC所成的角，因为PD⊥DC，PD＝DC，所以△PDC为等腰直角三角形，如图，设PD＝DC＝2，则PE＝DE＝1，PC＝2eq\r(2)，CE＝eq\r(5)，在△PEC中，由余弦定理，得cos∠PCE＝eq\f(PC2＋CE2－PE2,2PC·CE)＝eq\f(8＋5－1,2×2\r(2)×\r(5))＝eq\f(3\r(10),10)，所以异面直线MO与EC所成角的余弦值为eq\f(3\r(10),10).(3)证明：如图，连接BD，因为F，N分别为CE，DE的中点，所以NF∥CD，因为E为PD的中点，所以PN＝eq\f(3,4)PD，因为点G在线段PB上，且PG＝3GB，所以PG＝eq\f(3,4)PB，所以GN∥BD，因为NF∥CD，NF⊄平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以NF∥平面ABCD，同理可得，GN∥平面ABCD，又因为GN∩NF＝N，GN，NF⊂平面GNF，所以平面GFN∥平面ABCD.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点空间中平行关系的基本问题空间中平行关系的基本问题直线与平面平行的判定平面与平面平行的性质直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定与性质平行关系的综合应用平面与平面平行的性质空间中平行关系的基本问题直线与平面平行的判定题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点平行关系的综合应用直线与平面平行的性质直线与平面平行的判定平行关系的综合应用直线与平面平行的判定与性质平行关系的综合应用平行关系的综合应用平行关系的综合应用平行关系的综合应用一、单项选择题1．下列说法正确的是()A．若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥αB．若直线a不平行于平面α且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线C．已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交答案：B解析：对于A，若l⊂α，则直线l与平面α不平行，A错误；对于B，若直线a不平行于平面α且a⊄α，则a与α相交，所以平面α内不存在与a平行的直线，B正确；对于C，已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行或异面，C错误；对于D，已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b∥平面α或b与平面α相交，D错误．故选B.2．设α，β是两个不重合的平面，下列选项中，是“α∥β”的充要条件的是()A．α内存在无数条直线与β平行B．存在直线l与α，β所成的角相等C．存在平面γ，满足γ∥α且γ∥βD．α内存在不共线的三个点到β的距离相等答案：C解析：对于A，如果α∩β＝l，在α内与直线l平行的直线有无数条，这些直线都与β平行，但此时α不平行于β，A不符合题意；对于B，如果α∩β＝m，在空间必存在直线l与m平行，此时直线l也与两个平面平行，即直线l与α，β所成的角都等于0，B不符合题意；对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，若γ∥α且γ∥β，则也一定有α∥β，则“存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β”是“α∥β”的充要条件，C符合题意；对于D，当α∥β时，α内必存在不共线的三个点到β的距离相等，但当α与β相交时，同样可以在α内找到不共线的三点到β的距离相等，D不符合题意．故选C.3．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形答案：B解析：由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，知EF綊eq\f(1,5)BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形．故选B.4．已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α与线段PA，PB，PC分别交于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25答案：D解析：∵平面α∥平面ABC，平面α∩平面PAC＝A′C′，平面ABC∩平面PAC＝AC，∴A′C′∥AC，同理，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝PA′2∶PA2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.故选D.5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列结论中正确的是()A．直线BQ∥平面EFG B．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFG D．平面A1BQ∥平面EFG答案：B解析：过点E，F，G的截面为如图所示的六边形FGHEIQ(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，AC，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．故选B.6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有()A．0条 B．1条C．2条 D．1条或2条答案：C解析：如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH，∴与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．故选C.7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2eq\r(3)，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1内的动点，且MN∥平面ABC1，则点N的轨迹的长度为()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(2) D．4答案：B解析：如图，取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，则DE∥BC1，又DE⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，所以DE∥平面ABC1，又M为A1C1的中点，所以MD∥A1B1∥AB，又MD⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，又DE∩MD＝D，DE，MD⊂平面DEM，所以平面DEM∥平面ABC1，又因为N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，所以点N的轨迹为线段DE，DE＝eq\f(1,2)×eq\r(4＋12)＝2，所以点N的轨迹的长度为2.故选B.8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且eq\f(DE,BE)＝eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，点G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则eq\f(CG,CC1)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,4)答案：B解析：如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，则△DEH∽△BEA，所以eq\f(HD,AB)＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,2).因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C1＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(DH,C1D1)，因为eq\f(DH,C1D1)＝eq\f(DH,AB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(1,2)，因为eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以eq\f(CG,CC1)＝eq\f(1,3).故选B.二、多项选择题9．已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β答案：BC解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m，n异面或m，n相交，A错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误．故选BC.10．在底面是平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的是()答案：AB解析：对于A，B，如图1，图2，取AB的中点P，连接CP，PM，则MP綊CN，∴四边形MNCP为平行四边形，∴MN∥CP，又MN⊄平面ABC，CP⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，故A，B符合题意；对于C，如图3，连接EM，由C，M为所在棱的中点知EM∥BC，易证EM∥平面ABC.假设MN∥平面ABC，由EM∩MN＝M，EM，MN⊂平面MNE，可证平面MNE∥平面ABC，又NE⊂平面MNE，∴NE∥平面ABC，这与NE∩平面ABC＝A矛盾，∴假设不成立，即MN与平面ABC不平行，故C不符合题意；对于D，如图4，连接FN，设FN∩AC＝O，连接BO.若MN∥平面ABC，则由平面FMN∩平面ABC＝BO，可证得MN∥BO.由B为FM的中点知BO为△FNM的中位线，从而O为FN的中点，实际上FN的中点在底面平行四边形两条对角线的交点处，该交点显然不是图中的点O，故D不符合题意．故选AB.11．(2026·江苏宿迁模拟)已知三棱台ABC－A′B′C′，上、下底面边长之比为1∶2，棱AB，BC，AC的中点分别为M，P，N，则下列结论正确的是()A．A′N∥PC′ B．A′P与AC为异面直线C．AB∥平面A′C′P D．平面A′MN∥平面BCC′B′答案：BD解析：对于A，因为A′N⊂平面A′C′CA，C′∈平面A′C′CA，P∉平面A′C′CA，且C′∉A′N，所以A′N，PC′是异面直线，故A错误；对于B，因为AC⊂平面A′C′CA，A′∈平面A′C′CA，P∉平面A′C′CA，且A′∉AC，所以A′P与AC为异面直线，故B正确；对于C，连接MP，因为棱AB，BC的中点分别为M，P，所以AC∥MP，因为AC∥A′C′，所以MP∥A′C′，可得AB∩平面A′C′PM＝M，故C错误；对于D，因为AB，AC的中点分别为M，N，所以MN∥BC，因为MN⊄平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，所以MN∥平面BCC′B′，因为AC∥A′C′，A′C′＝eq\f(1,2)AC＝NC，所以四边形A′C′CN为平行四边形，可得A′N∥C′C，因为A′N⊄平面BCC′B′，C′C⊂平面BCC′B′，所以A′N∥平面BCC′B′，因为MN∩A′N＝N，MN，A′N⊂平面A′MN，所以平面A′MN∥平面BCC′B′，故D正确．故选BD.三、填空题12．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AD的中点，BC与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．答案：5解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝eq\f(1,2)(AB＋CD)＝5.13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面ACD1平行的面对角线有________条．答案：3解析：如图，连接A1C1，A1B，BC1.由正方体的性质，可得AA1∥CC1，且AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1.因为AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1.同理可得，A1B∥平面ACD1，BC1∥平面ACD1.其余面对角线均与平面ACD1有交点，所以与平面ACD1平行的面对角线有3条．14．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________________，就有MN∥平面B1BDD1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案：点M在线段FH上(包含点F与点H)解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，∴只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.四、解答题15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点．(1)当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB；(2)当PB∥平面AMN时，求出点M的位置，并说明理由．解：(1)证明：取AP的中点E，连接EM，BE，在△PAD中，∵M为PD的中点，E为AP的中点，∴EM∥AD，EM＝eq\f(1,2)AD，在平行四边形ABCD中，∵N为BC的中点，∴BN∥AD，BN＝eq\f(1,2)AD，∴BN∥EM，BN＝EM，∴四边形BNME为平行四边形，∴MN∥BE，又MN⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.(2)连接AN，BD，设AN，BD交于点O，连接OM，∵PB∥平面AMN，平面PBD∩平面AMN＝OM，PB⊂平面PBD，∴PB∥OM，∴eq\f(PM,MD)＝eq\f(OB,OD)＝eq\f(NB,AD)＝eq\f(1,2)，即当PB∥平面AMN时，M为PD上靠近点P的三等分点．16．如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．解：(1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF⊄平面β，BD⊂平面β，∴EF∥平面β.②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝HD，且HD＝AC，∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥HD，∴四边形ACDH是平行四边形．在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，GF，BH.∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.综合①②可知，EF∥平面β.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME＝eq\f(1,2)BD＝3，MF＝eq\f(1,2)AC＝2.∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，∴∠EMF＝60°或120°.∴在△EFM中，由余弦定理，得EF＝eq\r(ME2＋MF2－2ME·MFcos∠EMF)＝eq\r(32＋22±2×3×2×\f(1,2))＝eq\r(13±6)，即EF＝eq\r(7)或EF＝eq\r(19).17．(2026·安徽蚌埠模拟)如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE，若D，E分别是AB，BC的中点，则eq\f(V几何体A1B1C1－DBE,V三棱台A1B1C1－ABC)＝()A.eq\f(3,7) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,5) D.eq\f(5,8)答案：A解析：平面A1C1ED与棱BB1平行，平面BCC1B1∩平