小学六年级数学上册第六单元百分数（一）知识清单

小学六年级数学上册第六单元百分数（一）知识清单一、百分数的意义与读写【基础】★（一）百分数的意义百分数表示一个数是另一个数的百分之几，它反映了两个量之间的倍数关系。百分数也被称为百分率或百分比。例如，某班期中考试数学及格人数占全班总人数的95%，这里的95%就表示及格人数与全班总人数之间的比率关系，是一个纯粹的倍数关系，不代表具体的数量大小。【重要】（二）百分数的读法【基础】★百分数的读法遵循特定的语言习惯。读百分数时，先读分母“%”（百分号），再读分子。百分号“%”读作“百分之”，不能读作“一百分之”。例如，14%读作“百分之十四”，65.5%读作“百分之六十五点五”，121%读作“百分之一百二十一”。需要注意的是，无论百分数的分子是整数还是小数，都直接按上述方式读出。（三）百分数的写法【基础】★百分数在书写时，通常不写成分数的形式，而是采用一种专门的符号“%”来表示。写法是先写出分子部分（即原来的数字），然后紧跟着写上百分号“%”。例如，百分之三十写作30%，百分之七点五写作7.5%，百分之一百二十写作120%。书写百分号时，要注意两个小圆圈要写得小一些，避免与数字混淆。（四）百分数与分数的本质区别【高频考点】【难点】★★★这是本单元最核心的概念辨析点，也是考试中判断、选择题的常客。1.意义不同：分数可以表示一个具体的数量，也可以表示两个量之间的关系。当分数表示具体数量时，它后面可以带单位名称，例如“一根绳子长米”。而百分数是一种特殊的分数，它只表示两个数之间的倍比关系，是一个纯粹的比率，因此百分数的后面绝对不能带单位名称，例如不能说“一堆煤重30%吨”。【非常重要】【易错点】2.形式不同：百分数的分子可以是整数，也可以是小数，例如12.5%；而分数的分子（在化简前）通常要求是整数，不能是小数。3.分母不同：百分数的分母固定为100，但以“%”形式体现，不必写出来；分数的分母则可以是任何一个不为0的自然数。二、百分数、分数与小数的互化【高频考点】★★掌握三者之间的互化是解决所有百分数应用题的基础，要求达到熟练、准确的程度。（一）百分数与小数互化【基础】★1.小数化成百分数：将小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号（%）。例如，0.75→75%，0.125→12.5%，1.6→160%。当位数不够时，要用“0”补足，例如0.3→30%。2.百分数化成小数：去掉百分号（%），同时将小数点向左移动两位。例如，85%→0.85，3.5%→0.035，200%→2.00即2。【重要】（二）百分数与分数互化【基础】★1.分数化成百分数：（1）方法一：将分数化成分母是100的分数，再改写成百分数。例如，==60%。这种方法适用于分母是100的约数的情况。（2）方法二：用分子除以分母，先将分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），然后再将小数化成百分数。例如，=2÷7≈0.286=28.6%。【重要】2.百分数化成分数：先将百分数改写成分母是100的分数，然后化成最简分数。例如，25%==，12.5%===。如果百分数的分子是小数，需要先利用分数的基本性质，将分子变成整数，然后再约分。例如，0.8%===。【难点】（三）常用分数、小数、百分数互化表【热点】★★熟练掌握以下常见的互化，能极大提高计算速度和解题效率。1.=0.5=50%2.=0.25=25%3.=0.75=75%4.=0.2=20%5.=0.4=40%6.=0.6=60%7.=0.8=80%8.=0.125=12.5%9.=0.375=37.5%10.=0.625=62.5%11.=0.875=87.5%12.=0.05=5%13.=0.04=4%三、用百分数解决问题【核心板块】★★★★★本部分是整个单元的重中之重，涵盖了多种实际应用题型，是期末考试的必考内容和拉开分数差距的关键。（一）求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题）【基础应用】★★1.解题思路：这是百分数最基本的应用。解题时，关键是找到“单位‘1’”（标准量）和“比较量”。通常，“是”、“占”、“比”后面的量就是单位“1”。公式为：百分率=（比较量÷单位“1”的量）×100%2.常见百分率及其公式【高频考点】★★★在实际生活中，许多百分率有特定的名称，但其本质都是“求一个数是另一个数的百分之几”。需要特别注意，像出勤率、合格率、成活率等，最大值为100%，不可能超过100%；而像增长率、利润率等则可以超过100%。（1）出勤率=（实际出勤人数÷应出勤总人数）×100%（2）合格率=（合格产品数÷产品总数）×100%（3）成活率=（成活棵数÷种植总棵数）×100%（4）出粉率=（面粉质量÷小麦质量）×100%（5）含盐率=（盐的质量÷盐水总质量）×100%（6）命中率=（命中次数÷投篮总次数）×100%（二）求一个数的百分之几是多少（单位“1”已知，用乘法）【核心方法】★★★1.题型特征：题目中通常直接给出或可以分析出单位“1”的量，要求求这个单位“1”的百分之几是多少。2.解题步骤：（1）准确找出单位“1”的量。（2）确定与问题对应的百分率。（3）列式计算：单位“1”的量×对应的百分率=所求的量。例如，一件衣服原价200元，现在打八五折（85%）出售，现价是多少元？分析：原价是单位“1”，已知。现价是原价的85%。列式：200×85%=200×0.85=170（元）。【重要】（三）已知一个数的百分之几是多少，求这个数（单位“1”未知，用除法或方程）【核心方法】★★★1.题型特征：题目中已知一个具体的数量以及这个数量对应单位“1”的百分之几，要求单位“1”的量。2.解题步骤：（1）找准单位“1”的量，并将其设为未知数x。（2）分析数量关系，找出“量率对应”关系，即一个具体的数量对应着一个百分率。（3）列方程解答，或直接用除法算式：已知量÷它对应的百分率=单位“1”的量。例如，一批水泥，用去了40%，正好是20吨，这批水泥原有多少吨？分析：原有水泥总量是单位“1”，未知。用去的20吨对应的是原总量的40%。列式：20÷40%=20÷0.4=50（吨）。【重要】（四）求一个数比另一个数多（或少）百分之几【难点】【高频考点】★★★★1.题型特征：求甲比乙多百分之几，或甲比乙少百分之几。2.解题公式：（1）求甲比乙多百分之几：（甲乙）÷乙×100%（2）求甲比乙少百分之几：（乙甲）÷乙×100%3.核心要点：无论是“多百分之几”还是“少百分之几”，公式中的除数（标准量）都是“比”字后面的那个量，即单位“1”的量。【非常重要】【易错点】例如，某工厂去年生产电视机4000台，今年生产5000台。今年比去年多生产百分之几？列式：（）÷4000×100%=1000÷4000×100%=25%。注意，如果问题改为“去年比今年少生产百分之几”，则列式为：（）÷5000×100%=20%。单位“1”不同，结果也不同。（五）求比一个数多（或少）百分之几的数是多少（单位“1”已知，用乘法）【综合应用】★★★1.题型特征：已知单位“1”的量，以及比单位“1”增加或减少的百分率，求另一个量。2.解题方法：（1）方法一：先求出增加或减少的具体数量，再加减。单位“1”的量×增减百分率=增减量；单位“1”的量±增减量=所求量。（2）方法二：先求出所求量是单位“1”的百分之几。即：所求量占单位“1”的（1±增减百分率）。然后用单位“1”的量乘这个百分率。【推荐】例如，一种收音机原价80元，现在降价10%出售，现价多少元？方法一：降价多少元？80×10%=8（元），现价：808=72（元）。方法二：现价是原价的百分之几？110%=90%，现价：80×90%=72（元）。（六）已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数（单位“1”未知，用除法或方程）【综合应用】【难点】★★★★1.题型特征：已知一个具体的量，以及这个量比单位“1”多或少了百分之几，求单位“1”。2.解题方法：（1）设单位“1”的量为x，根据数量关系列出方程。（2）用除法计算：找到已知量对应的百分率。如果已知量比单位“1”多百分之几，那么已知量÷（1+百分率）=单位“1”；如果已知量比单位“1”少百分之几，那么已知量÷（1百分率）=单位“1”。【非常重要】例如，一辆摩托车现在的售价是5100元，比原来降价15%。原来售价多少元？分析：原来售价是单位“1”，未知。现在售价5100元对应的百分率是（115%）。列方程：解：设原来售价为x元。x×（115%）=5100→0.85x=5100→x=6000算术法：5100÷（115%）=5100÷0.85=6000（元）。四、百分数在生活中的特殊应用【拓展应用】★★★（一）折扣【热点】★★★1.概念：折扣是商品销售中常用的术语，表示现价是原价的百分之几。“几折”就是十分之几，也就是百分之几十。例如，八折就是80%，六五折就是65%。2.数量关系：（1）现价=原价×折扣（2）原价=现价÷折扣（3）折扣=现价÷原价3.解题关键：在折扣问题中，原价通常被视为单位“1”。（二）成数【基础】★★1.概念：成数常用于农业收成或各行各业的产值增长。“几成”就是十分之几，也就是百分之几十。例如，今年粮食产量比去年增产二成，就是增产20%。三成五就是35%。2.数量关系：成数问题可以转化为百分数问题来解决，解题思路与“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”相同。（三）税率【热点】★★★1.概念：纳税是根据国家税法的规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率。2.数量关系：（1）应纳税额=各种收入×税率（2）税率=应纳税额÷各种收入×100%（3）各种收入=应纳税额÷税率3.解题关键：明确题目中谁是应纳税额，谁是总收入，找准对应的税率。（四）利率【热点】★★★1.概念：把钱存入银行，银行会付给储户一定的报酬。存入银行的钱叫做本金，取款时银行多支付的钱叫做利息，利息与本金的比值叫做利率。利率根据存款时间长短和存款方式不同而不同，通常有年利率和月利率之分。2.数量关系：（1）利息=本金×利率×存期（2）本息和=本金+利息=本金×（1+利率×存期）3.注意事项：计算利息时，要注意利率与存期的时间单位要一致。如果利率是年利率，存期就按年计算；如果利率是月利率，存期就按月计算。国债和教育储蓄的利息通常不纳税，而一般储蓄所得的利息需要按规定缴纳利息税，税后利息=利息×（1利息税率）。【难点】五、本单元易错点与解题策略总结【重要】★★★★★（一）易错点1：百分数不能带单位【基础】★1.在任何情况下，百分数都只能表示两个量的倍数关系，不能表示具体的量，因此无论何时何地，百分数后面都不能跟单位名称。例如，不能说“今天比昨天多生产了15%吨”。（二）易错点2：混淆分数与百分数的互化【基础】★1.在将分数化成百分数时，如果除不尽，通常要求保留三位小数，然后再化成百分数。注意中间过程要用“≈”，如1/6≈0.167=16.7%，写成等式“1/6=16.7%”是错误的。【易错点】（三）易错点3：找错单位“1”【核心难点】★★★★1.这是解决百分数应用题最关键的步骤，也是错误率最高的地方。要牢记“是、占、比、相当于”后面的量，或者“谁的百分之几”中的“谁”，就是单位“1”。在“比一个数多（少）百分之几”的问题中，单位“1”是“比”字后面的那个量。【非常重要】2.例如，“甲比乙多25%”，单位“1”是乙。如果问“乙比甲少百分之几”，单位“1”则变成了甲，结果肯定不是25%，而是20%。两者相差的绝对数量是一样的，但占比的单位“1”变了。（四）易错点4：量与率不对应【核心难点】★★★★1.在已知一个数的百分之几是多少，求这个数的题目中，必须保证已知的具体数量与题目中给出的百分率是相对应的关系。找准“量率对应”是正确列式的关键。2.例如，修一条路，第一天修了全长的30%，第二天修了剩下的50%，还剩下210米没修。这条路全长多少米？这里，210米对应的不是（130%）的50%，也不是（130%50%），需要仔细分析每一步的单位“1”变化，正确求出210米对应全长的百分之几。（五）易错点5：百分率取值范围的理解【基础】★★1.部分百分率不能超过100%，如出勤率、合格率、发芽率