高中数学 第3章 导数及其应用 3.3 3.3.3 函数的最大（小）值与导数教案 新人教A版选修1-1

高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大（小）值与导数教案新人教A版选修1-1课题XX课时1教学内容分析1.本节课的主要教学内容：高中数学第3章导数及其应用3.3.3节，主要讲述函数的最大（小）值与导数的关系。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与学生在初中阶段学习的二次函数、一次函数等基础知识紧密相关，通过导数来研究函数的极值问题，有助于学生深入理解函数性质，提升数学思维能力。核心素养目标1.培养学生运用数学思维分析和解决实际问题的能力，通过导数研究函数极值，提升学生的逻辑推理和数学建模素养。

2.增强学生对数学概念的理解和应用，强化数学抽象和数学运算能力。

3.培养学生的探究精神，通过小组合作探究函数极值与导数的关系，提高学生的合作学习和创新思维。教学难点与重点1.教学重点，

①理解导数与函数极值之间的关系，能够运用导数判断函数的单调性和极值点。

②掌握求函数极值的方法，包括求导数、判断导数的符号变化等步骤。

③能够将实际问题转化为数学模型，运用导数解决实际问题，如最值问题。

2.教学难点，

①理解导数概念的本质，即导数是函数在某一点处的变化率，并能将其与函数的极值联系起来。

②正确求解导数，特别是在处理复合函数和隐函数求导时，避免计算错误。

③分析导数的符号变化，准确判断极值点的存在和类型（极大值、极小值或拐点）。

④将导数应用于解决实际问题，如优化问题、最值问题等，需要学生具备较强的数学建模能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的新人教A版选修1-1《高中数学》教材，包含3.3节的相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的函数图像、极值点示例图表，以及解释导数概念的视频资料。

3.教学工具：准备计算器或电脑软件，以便演示导数计算过程和函数图像的变化。

4.教室布置：设置分组讨论区，为学生提供足够的空间进行合作学习；准备实验操作台，用于辅助演示和实验活动。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示生活中的实际应用问题，如建筑设计中的最优化问题，激发学生对函数极值与导数关系的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾二次函数的性质，包括顶点坐标和对称轴，为引入导数概念做铺垫。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：

-介绍导数的概念，强调导数是函数在某一点处的变化率。

-解释导数与函数极值的关系，阐述如何通过导数判断函数的单调性和极值点。

-详细讲解求导数的步骤，包括直接求导和复合函数求导。

-举例说明：

-通过几个简单的函数例子，展示如何求导数和判断极值。

-使用图形软件或手绘函数图像，直观展示导数与函数极值的关系。

-互动探究：

-引导学生分组讨论，针对具体函数，尝试求导数并判断极值。

-鼓励学生提出问题，共同解决在探究过程中遇到的问题。

3.巩固练习（约30分钟）

-学生活动：

-分配练习题，让学生独立完成，包括求导数、判断极值等。

-设置不同难度的题目，以适应不同层次学生的学习需求。

-教师指导：

-巡视课堂，观察学生的解题过程，及时纠正错误。

-针对学生的疑问，提供个别辅导，确保每位学生都能理解。

-组织学生分享解题思路，促进知识的交流和深化。

4.课堂小结（约5分钟）

-回顾本节课的主要知识点，强调导数与函数极值的关系。

-总结求导数的步骤和判断极值的方法。

-强调导数在解决实际问题中的应用价值。

5.作业布置（约5分钟）

-布置课后作业，包括求导数、判断极值、应用导数解决实际问题等。

-提醒学生按时完成作业，并对作业中的难点进行预习。

6.教学反思（课后）

-教师根据课堂实际情况，反思教学过程中的优点和不足。

-分析学生的学习情况，为后续教学提供改进方向。教学资源拓展1.拓展资源：

-函数的凹凸性与导数的关系：介绍函数凹凸性的概念，以及如何通过导数的二阶导数来判断函数的凹凸性。

-导数的应用：提供一些实际应用案例，如物理学中的速度和加速度，经济学中的成本和收益分析等。

-高阶导数的概念：简要介绍高阶导数的概念，以及它们在函数性质分析中的应用。

-微分方程的基本概念：介绍微分方程的基本概念，以及如何通过导数解决简单的微分方程问题。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关数学杂志或书籍，如《数学通报》、《数学探索》等，以了解数学领域的最新进展。

-建议学生通过在线数学论坛或社交媒体，如“数学之美”等，参与讨论和交流，拓宽视野。

-推荐学生观看数学教育视频，如KhanAcademy的微积分教程，以加深对导数概念的理解。

-建议学生参与数学竞赛或挑战，如美国数学竞赛（AMC）或国际数学奥林匹克（IMO），以提升数学解题能力。

-鼓励学生进行数学建模活动，将数学知识应用于解决实际问题，如参加数学建模竞赛或参与学校的科研项目。

-建议学生参加数学俱乐部或学习小组，与同学一起讨论和解决数学问题，提高团队合作能力。

-推荐学生阅读数学史书籍，了解数学的发展历程，激发对数学的兴趣和好奇心。

-建议学生参加数学讲座或研讨会，聆听专家的讲解，拓宽数学知识面。板书设计1.函数极值与导数的关系

①导数定义：函数在某一点的变化率

②极值判定：导数等于零的点可能是极值点

③单调性判断：导数大于零表示函数单调递增，小于零表示单调递减

2.求导数的方法

①直接求导：基本函数的导数公式

②复合函数求导：链式法则、商法则、积法则

③隐函数求导：对函数方程两边求导

3.函数图像与导数的关系

①导数的几何意义：切线斜率

②极值点在图像上的表现：顶点或拐点

③单调区间在图像上的表现：上升或下降的斜率段

4.应用导数解决实际问题

①优化问题：求最大值或最小值

②最速上升/下降路径问题：求速度最大的路径

③经济问题：成本最小化或收益最大化教学反思今天上了关于函数极值与导数的关系这一节课，感觉整体效果还不错。首先，我觉得导入环节的设计挺关键，通过生活中的实际例子引入，让学生们对导数的概念有了直观的认识，兴趣也被调动起来了。

在讲解新知的过程中，我发现学生们对导数的概念理解得比较快，但是对于如何通过导数来判断函数的极值点，有些学生还是有些困惑。我通过一些具体的例子，比如二次函数的导数图像，帮助他们理解了导数与函数单调性、极值点之间的关系。在举例说明的时候，我尽量选择了一些贴近学生生活的例子，这样他们更容易理解和接受。

在互动探究环节，我让学生们分组讨论，尝试自己求导数并判断极值点。这个环节我觉得挺有成效的，学生们在讨论中互相学习，共同进步。不过，我也发现有些学生在讨论时比较被动，不太愿意发言，这可能是我在分组时没有考虑到学生的个体差异。

巩固练习环节，我布置了一些课后作业，让学生们自己练习。在批改作业的过程中，我发现有些学生在求导数时出现了计算错误，这让我意识到在课堂上我需要更加注重对计算过程的讲解和练习。教学评价1.课堂评价：

-通过提问，我能够即时了解学生对导数概念的理解程度，以及他们是否能够将理论知识与实际问题相结合。

-观察学生的课堂参与度，我发现大部分学生能够积极参与讨论，但仍有部分学生在互动环节显得较为沉默。

-进行小测验，检验学生对导数计算和极值判断的掌握情况，发现部分学生在应用导数解决实际问题时存在困难。

2.作业评价：

-对学生的作业进行细致批改，关注他们在求导、判断极值和解决实际问题方面的表现。

-及时反馈作业中的错误，指出错误原因，并提供正确的解题思路。

-通过作业评价，我发现学生在导数计算方面的问题主要集中在复合函数求导和隐函数求导上。

-鼓励学生在遇到困难时主动寻求帮助，同时也表扬那些能够独立解决问题的学生，以增强他们的自信心。

3.反馈与改进：

-根据课堂和作业评价的结果，我将调整教学策略，针对学生在导数计算和应用方面的不足，增加相关练习和讲解。

-在接下来的教学中，我将更加注重学生对导数概念的理解，以及如何将理论应用于解决实际问题。

-通过定期的小测验和作业反馈，持续跟踪学生的学习进度，确保每位学生都能跟上教学进度。重点题型整理1.题型一：求函数的导数

-题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求\(f'(x)\)。

-答案：\(f'(x)=3x^2-6x\)。

2.题型二：判断函数的极值点

-题目：已知函数\(g(x)=x^2-4x+3\)，求\(g(x)\)的极值点。

-答案：求导得\(g'(x)=2x-4\)，令\(g'(x)=0\)，得\(x=2\)。检验\(g''(x)=2\)，故\(x=2\)是极小值点。

3.题型三：分析函数的单调性

-题目：已知函数\(h(x)=x^3-6x+9\)，分析\(h(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上的单调性。

-答案：求导得\(h'(x)=3x^2-6\)，令\(h'(x)=0\)，得\(x=\pm\sqrt{2}\)。当\(x<-\sqrt{2}\)或\(x>\sqrt{2}\)时，\(h'(x)>0\)，函数单调递增；当\(-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\)时，\(h'(x)<0\)，函数单调递减。

4.题型四：求解函数的最大值和最小值

-题目：已知函数\(k(x)=x^2+4x+4\)，求\(k(x)\)在区间\([-2,3]\)上的最大值和最小值。

-答案：求导得\(k'(x)=2x+4\)，令\(k'(x)=0\)，得\(x=-2\)。计算\(k(-2)=0\)，\(k(3)=19\)，故最大值为19，最小值为0。

5.题型五：