湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情数学自测卷01（人教版A）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷01数学试题（解析版）题号12345678910答案CACCABBBBCDCD题号11答案ABD1．C【详解】因为，，则，，所以在上的投影向量为.2．A【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面垂直的性质、余弦定理及勾股定理求解即可.【详解】因为平面，，平面，所以，.长方形中，，在中，，同理可得.取，，，中点，，，连接，，，，.则，；；，；，.所以与所成的角即为异面直线与所成角.因为平面，所以底面.又底面，所以，所以.在中，.所以异面直线与所成角的余弦值为.3．C【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.【详解】在直角梯形中，，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，则有，所以该平面图形的高为.故选：C.4．C【分析】给4个球编号，利用古典概率公式借助列举法计算作答.【详解】记1个白色球为A，3个黑色球为b，c，d，依题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球的概率问题，相当于随机摸出两个球的概率问题，从袋中随机摸出两个球的试验的不同结果是：Ab，Ac，Ad，bc，bd，cd，共有6个，两个球都是黑色球的事件含有的结果为：bc，bd，cd，共有3个，所以两个球都是黑色球的概率是.故选：C5．A【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解.【详解】因为向量，，，即故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.6．B【分析】由题意先求出AB与AD关系，取OC中点为E，进而确定，求出的长，即是三棱锥的高，再由三棱锥的体积求出外接球半径，即可求出外接球的表面积.【详解】设外接球半径为R，因为线段AB的中点O恰好是其外接球的球心，所以OB=OC=OD，由BD=AD可得，所以，所以，所以为等边三角形；又，，所以平面，所以平面平面；取OC中点为E，连结，则，故平面，所以为三棱锥D-ABC的高，又在等边三角形中，，所以，解得，所以.故选B【点睛】本题主要考查棱锥外接球的表面积，根据题意求出球的半径，即可求解，属于常考题型.7．B【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可.【详解】因为，所以，不等式等价于或，解得或或，所以不等式的解集为.故选：B8．B【分析】利用列举法结合古典概型求解即可.【详解】由题，三个点数之和大于14可能为15，16，17，18四种情况，又，则包含的基本事件有，共个，，则包含的基本事件有共个，，则包含的基本事件有共个，，包含的基本事件有个，所以所求概率.故选：B.9．BCD【详解】对于A项，，则，则的虚部为，故A错误；对于B项，，则，故B正确；对于C项，，，则，，设向量，的夹角为，故，因为，所以，故C正确；对于D项，向量在上的投影向量为，故D正确；10．CD【分析】利用，可判断A选项；取事件，相互独立时，结合独立事件的概率公式可判断B选项；若，则，可判断C选项；即；利用独立事件的概率公式可判断D选项.【详解】对于选项A，，只有当事件、互斥时，，才有，题意没说明、互斥，所以不一定为，故A错误；对于选项B，当事件、相互独立时，，故B错误；对于选项C，若，则，所以，故C正确；对于选项D，若、相互独立，则、相互独立，又因为，，所以，故D正确.11．ABD【详解】对于A，，A正确;对于B，由正弦定理得，B正确;对于C，由正弦定理得，而，因此或，C错误;对于D，由，得为钝角，因此是钝角三角形，D正确.12．【分析】先利用三角形面积公式求出，结合为锐角求得，再代入余弦定理计算边长【详解】由三角形面积公式，将，，代入得：，化简得，解得.因为为锐角，故，由余弦定理，代入已知值得：,因为为三角形边长，故，因此.13．.【详解】分析：利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解．详解：由题意，得，即，即，则．点睛：本题考查三角形的面积公式、余弦定理等知识，解决本题的关键是合理选择三角形的面积公式，因为所求角为，故选择，另外，不要受题干中多余条件“为钝角”的干扰．14．【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题.方法二：把函数有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题.【详解】令，得，即，方法一：令，则，即，,则一元二次方程有两个正根，那么，所以，的取值范围是.方法二：设，那么设，则，由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，且，根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是.15．(1)(2)【分析】（1）由即可求解；（2）由可得（或其补角）即为异面直线与所成的角，再借助余弦定理即可求解.【详解】（1）在正方体中，点到平面的距离为．所以．（2）在正方体中，面对角线，故（或其补角）即为异面直线与所成的角，在中，，，，由余弦定理：，因为，所以，故异面直线与所成角的大小为．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用化简可知，即可得证.（2）由（1）可知，所以，利用分组求和法计算即可求得.【详解】（1）由得，且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.（2）由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列.所以，即:.所以数列的前n项和为：.17．(1)，84(2)，．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用总体百分位数的估计求解第百分位数即可.（2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得．又由频率分布直方图可得，，，的频率依次为，所以前4组的频率为，前5组的频率为，故第80百分位数在区间上，因此第80百分位数为．（2）采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷，由于，故成绩在的测试卷中抽取数为，记作；成绩在的测试卷中抽取份数为，记作，则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为：，共有10个样本点，设事件“这2份测试卷成绩都在”，则，故，从而．因此，这2份测试卷成绩都在的概率是．18．(1)(2)(3)【分析】（1）由，坐标代入，利用半角公式化简可得，利用两角和差余弦公式展开可得，即可求解；（2）根据，结合（1），再利用基本不等式即可得到的范围，从而得到的取值范围；（3）当最大时，，然后利用正弦定理结合正弦函数的值域求解即可.【详解】（1），，即，，则，即．化简得：．（2）在中，．由（1）知，且是的内角，．当且仅当时等号成立．．，当且仅当时等号成立．．（3）当最大时，，由，可得，，当与和点重合时，，当与和点不重合时，．在中，由正弦定理，，即，又，．综上，的长的取值范围是．19．(1)时，的单调递增区间为，无单调递减区间；时，的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)【分析】（1）对函数求导并对进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中的结论分类讨论函数在上的单调性，求出其最小值的表达式，令最小值满足，解不等式即可求得的取值范围．【详解】（1）易知函数的定义域为，且，易知，所以当时，，此时，即在上单调递增；当时，令，解得，令，解得；此时在上单调递增，在上单调递减；综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间；时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）可知①当时，在上单调递增，若，可知即可，可得，解得；②当时，在上单调递增，即可得在上单调递增，此时