2025年北京大学概率论与数理统计期末考试试卷（含详解）

2025年北京大学概率论与数理统计期末考试试卷（含详解）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设事件\(A\)和\(B\)满足\(P(A)=\frac{1}{3}\),\(P(B)=\frac{1}{4}\),\(P(A\cupB)=\frac{1}{2}\).求\(P(A^c\capB^c)\)和\(P(A|B^c)\).二、袋中有5个红球和3个白球，现从中不放回地依次取出3个球。求取出的3个球中恰好包含2个红球的概率。三、设随机变量\(X\)的概率密度函数为\[f(x)=\begin{cases}2x,&0\lex\le1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}\]求\(X\)的分布函数\(F(x)\)，并计算\(P(X\le\frac{1}{2})\)和\(P(X=\frac{1}{2})\).四、设离散型随机变量\(Y\)的分布列为：\[\begin{array}{c|ccc}y&-1&0&1\\\hlineP(Y=y)&\frac{1}{2}&a&\frac{1}{6}\end{array}\]求常数\(a\)，并计算\(E(Y)\)和\(D(Y)\).五、设随机变量\(X\)和\(Y\)独立同分布，均服从参数为\(\lambda=2\)的泊松分布。求\(E(XY)\)和\(\operatorname{Cov}(X,Y)\).六、设二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度函数为\[f(x,y)=\begin{cases}cxy,&0\lex\le1,0\ley\lex,\\0,&\text{其他}.\end{cases}\]求常数\(c\)，并求边际概率密度函数\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\).七、设总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(\sigma^2\)未知。从总体中抽取容量为\(n=16\)的简单随机样本，样本均值为\(\bar{X}=10\)，样本方差为\(S^2=4\).求\(\mu\)的置信水平为95%的置信区间。八、为了检验某种新药是否比现有药物更有效，随机选取了\(n_1=10\)名患者使用新药，\(n_2=10\)名患者使用现有药物。假设用药后患者的反应时间（单位：分钟）分别服从正态分布\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)和\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，且\(\sigma_1^2=\sigma_2^2\)未知。测得新药组平均反应时间为\(\bar{X}_1=15\)分钟，标准差\(S_1=3\)分钟；现有药物组平均反应时间为\(\bar{X}_2=18\)分钟，标准差\(S_2=4\)分钟。在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，检验新药是否显著降低了平均反应时间（即检验\(H_0:\mu_1\ge\mu_2\)对\(H_1:\mu_1<\mu_2\)）。试卷答案一、\(P(A^c\capB^c)=P((A\cupB)^c)=1-P(A\cupB)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)\(P(A|B^c)=\frac{P(A\capB^c)}{P(B^c)}=\frac{P(A)-P(A\capB)}{1-P(B)}=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}\)二、方法一：直接计算。选球顺序不影响概率，考虑组合。样本空间总数\(\binom{8}{3}\)。事件“恰好2个红球”包含的基本事件数为\(\binom{5}{2}\binom{3}{1}\)。所求概率为\(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}=\frac{10\times3}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\)。方法二：补事件。事件“恰好2个红球”的补事件是“0个红球”或“3个红球”。\(P(\text{0红})=\frac{\binom{3}{3}}{\binom{8}{3}}=\frac{1}{56}\)\(P(\text{3红})=\frac{\binom{5}{3}}{\binom{8}{3}}=\frac{10}{56}\)\(P(\text{恰好2红})=1-P(\text{0红})-P(\text{3红})=1-\frac{1}{56}-\frac{10}{56}=\frac{45}{56}\)（注意：这里补事件是“非2红”，即“0红或3红”，与题目“恰好2红”的表述需匹配。通常“恰好2个”指C(5,2)C(3,1)/C(8,3)。若理解为“至少2个”，则P(至少2红)=P(2红)+P(3红)=15/28+10/56=40/56=10/14。请核对题目原意。按组合直接计算C(5,2)C(3,1)/C(8,3)=15/28。）更正思路：题目意为“恰好2个红球”，即选2红1白。样本空间\(\binom{8}{3}\)。事件为\(\binom{5}{2}\binom{3}{1}\)。概率\(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}=\frac{10\times3}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\)。三、当\(x<0\)时，\(F(x)=P(X\lex)=0\).当\(0\lex\le1\)时，\(F(x)=P(X\lex)=\int_0^x2t\,dt=t^2\big|_0^x=x^2\).当\(x>1\)时，\(F(x)=P(X\lex)=1\).所以\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\x^2,&0\lex\le1,\\1,&x>1.\end{cases}\)\(P(X\le\frac{1}{2})=F(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\).\(P(X=\frac{1}{2})=0\)（因为\(X\)是连续型随机变量）.四、由分布列性质\(\sumP(Y=y)=1\)，得\(\frac{1}{2}+a+\frac{1}{6}=1\)，解得\(a=\frac{1}{3}\).\(E(Y)=(-1)\times\frac{1}{2}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{6}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}\).\(E(Y^2)=(-1)^2\times\frac{1}{2}+0^2\times\frac{1}{3}+1^2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\).\(D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}=\frac{6}{9}-\frac{1}{9}=\frac{5}{9}\).五、由于\(X\)和\(Y\)独立同分布，\(E(X)=E(Y)=\lambda=2\),\(\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y)=\lambda=2\).\(E(XY)=E(X)E(Y)=2\times2=4\).\(\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=4-2\times2=0\).六、由\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy=1\),\(\int_0^1\int_0^xcxy\,dy\,dx=1\).\(\int_0^1cx\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^x\,dx=1\).\(\int_0^1cx\frac{x^2}{2}\,dx=1\).\(\frac{c}{2}\int_0^1x^3\,dx=1\).\(\frac{c}{2}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=1\).\(\frac{c}{8}=1\),得\(c=8\).\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy=\int_0^x8xy\,dy=8x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^x=8x\frac{x^2}{2}=4x^3\)，定义在\(0\lex\le1\)，其他处为0。\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx=\int_y^18xy\,dx=8y\left[\frac{x^2}{2}\right]_y^1=8y(\frac{1}{2}-\frac{y^2}{2})=4y(1-y^2)\)，定义在\(0\ley\le1\)，其他处为0。七、总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知，样本均值\(\bar{X}=10\)，样本方差\(S^2=4\)，\(n=16\)。检验统计量\(T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)服从\(t_{n-1}\)分布，即\(t_{15}\)。置信水平\(1-\alpha=0.95\)，\(\alpha=0.05\)。查\(t\)分布表，自由度\(df=15\)，双边临界值\(t_{0.025,15}\approx2.131\)。置信区间为\(\bar{X}\pmt_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}=10\pm2.131\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{16}}=10\pm2.131\frac{2}{4}=10\pm1.0655\)。置信区间为\((10-1.0655,10+1.0655)=(8.9345,11.0655)\)。八、检验\(H_0:\mu_1\ge\mu_2\)对\(H_1:\mu_1<\mu_2\)。使用两样本t检验（方差未知但相等）。检验统计量\(T=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)，其中\(S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\)。\(S_p^2=\frac{9\times3^2+9\times4^2}{18-2}=\frac{81+144}{16}=\frac{225}{16}\)。\(S_p=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}\)。\(T=\frac{15-18}{\frac{15}{4}\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}=\frac{-3}{\frac{15}{4}\sqrt{\frac{2}{10}}}=\frac{-3}{\frac{15}{4}\frac{\s