2026年高考数学十五章题目及答案

2026年高考数学十五章题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则f(x)的值域为()

A.(-∞,0]

B.[0,+∞)

C.(-∞,c]

D.[c,+∞)

2.已知集合A={x|x^2-3x+2>0},B={x|ax=1},若A∩B=∅，则a的取值范围是()

A.a>0

B.a<0

C.a≠0

D.a=0

3.函数g(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

4.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0，则a+b的值为()

A.-2

B.2

C.-1

D.1

5.在等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，则a_10的值为()

A.15

B.18

C.21

D.24

6.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=r^2，圆心到直线3x-4y+5=0的距离为1，则r的值为()

A.2

B.√5

C.3

D.√10

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，且cosA=1/2，则sinB的值为()

A.1/2

B.√3/2

C.1

D.√3/2

8.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的最小正周期为()

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

9.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线x+y=1的距离为d，则d的最小值为()

A.1/√2

B.1

C.√2

D.2

10.已知样本数据为5,7,7,9,10，则该样本的中位数和众数分别为()

A.7,7

B.7.5,7

C.8,7

D.8,9

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为________

2.已知集合A={x|x^2-5x+6≥0},B={x|mx-1<0}，若B⊆A，则m的取值范围是________

3.函数g(x)=2^x-1在区间[1,3]上的最小值是________

4.若复数z=2+i满足z^2+az+b=0，则|a|+|b|的值为________

5.在等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，则b_7的值为________

6.已知圆C的方程为(x+1)^2+(y-3)^2=r^2，圆心到直线x+y-2=0的距离为√2，则r的值为________

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为________

8.已知函数f(x)=cos(π/3-x)，则f(x)的最大值为________

9.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线3x-4y+12=0的距离为d，则d的最大值为________

10.已知样本数据为3,4,6,6,8，则该样本的方差为________

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在(-∞,+∞)上单调递增的是()

A.f(x)=x^3

B.f(x)=-2x+1

C.f(x)=e^x

D.f(x)=log_1/2(x)

2.下列命题中，真命题是()

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a^2>b^2，则a>b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b，则|a|>|b|

3.下列复数中，在复平面内对应的点位于第三象限的是()

A.z=1-i

B.z=-2+i

C.z=-3-i

D.z=2-3i

4.下列数列中，是等差数列的是()

A.{a_n}，其中a_n=n^2

B.{b_n}，其中b_n=3n-1

C.{c_n}，其中c_n=2^n

D.{d_n}，其中d_n=5n+1

5.下列方程中，表示圆的是()

A.x^2+y^2=1

B.x^2+y^2+2x-4y+5=0

C.x^2+y^2-2x+4y-4=0

D.x^2+y^2+2x+4y+5=0

6.下列不等式中，成立的是()

A.sin30°>cos45°

B.tan60°>sin90°

C.cos60°>sin30°

D.tan45°>cos60°

7.下列函数中，周期为π的是()

A.f(x)=sin(2x)

B.f(x)=cos(π/2-x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=sin(x)+cos(x)

8.下列直线中，与直线x-2y+3=0平行的有()

A.x-2y-1=0

B.2x-4y+5=0

C.x+2y-3=0

D.2x+4y-6=0

9.下列点中，到直线x+y=1的距离为1的有()

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(1,1)

D.(2,-1)

10.下列说法中，正确的是()

A.样本数据的中位数一定是样本数据中的一个数

B.样本数据的众数可以不止一个

C.样本数据的方差一定是正数

D.样本数据的方差可以为零

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增

2.若a>b，则a^2>b^2

3.复数z=1+i的模为√2

4.等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，则a_10=29

5.圆(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心到原点的距离为√5

6.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形

7.函数f(x)=sin(π/2-x)的最小正周期为2π

8.直线y=2x+1与直线y=-1/2x+3互相垂直

9.样本数据5,5,5,5,5的中位数为5

10.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-4x+3的单调区间

2.解不等式x^2-5x+6≥0

3.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_1=2，d=3

4.求圆(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心和半径

5.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求cosA的值

6.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最大值和最小值

7.求直线3x-4y+12=0的斜率和截距

8.求样本数据3,4,6,6,8的均值和方差

9.证明：向量(1,2)和向量(3,6)共线

10.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且A与B互斥，求P(A∪B)

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：函数f(x)=ax^2+bx+c开口向上，则a>0。顶点在x轴上，则判别式Δ=b^2-4ac=0。值域为[0,+∞)意味着函数的最小值为0，结合a>0和Δ=0，可得c≥0。因此值域为[0,+∞)。

2.C

解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}。集合B={x|ax=1}。若a=0，则B=∅，A∩B=∅成立。若a≠0，则B={1/a}。要使A∩B=∅，则1/a不能属于A，即1/a≤2或1/a≥1，解得a≤1/2或a≥1。综合a=0和a≤1/2或a≥1，可得a≠0。

3.B

解析：函数g(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则底数a必须大于1。因此a的取值范围是(1,+∞)。

4.A

解析：复数z=1+i满足z^2+az+b=0。z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i。代入方程得2i+a(1+i)+b=0，即(2+a)i+(a+b)=0。由实部和虚部均为0，得a+b=0且2+a=0。解得a=-2，b=2。因此a+b=-2+2=-2。

5.C

解析：在等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9。公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=(9-3)/4=6/4=3/2。a_10=a_1+(10-1)d=3+9*(3/2)=3+27/2=6/2+27/2=33/2=21。因此a_10的值为21。

6.C

解析：圆C的方程为(x+1)^2+(y-3)^2=r^2，圆心为(-1,3)。圆心到直线3x-4y+5=0的距离为|3*(-1)-4*3+5|/√(3^2+(-4)^2)=|-3-12+5|/√(9+16)=|-10|/√25=10/5=2。根据题意，这个距离为1，所以r^2=1^2+2^2=1+4=5。因此r=√5。注意题目中隐含了r>0。

7.A

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若a^2+b^2=c^2，则△ABC为直角三角形，且∠C=90°。cosA=1/2。在直角三角形中，若∠C=90°，则cosA=a/c。sinB=sin(90°-A)=cosA=1/2。

8.A

解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|，其中ω是角度系数。这里ω=2。所以T=2π/2=π。因此f(x)的最小正周期为π。

9.A

解析：点P(x,y)到直线x+y=1的距离为d=|x+y-1|/√(1^2+1^2)=|x+y-1|/√2。要使d最小，需使|x+y-1|最小。x+y的最小值为1-√2（当x=y=1-√2/2时取得）。此时|x+y-1|=|1-√2-1|=√2。所以d的最小值为√2/√2=1/√2=1/√2。

10.A

解析：样本数据为5,7,7,9,10。按从小到大排序为5,7,7,9,10。中位数是排序后中间的数，即第3个数，为7。众数是出现次数最多的数，7出现了2次，比其他数都多，所以众数为7。

二、填空题答案及解析

1.a=-2

解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(x)在x=1处为0。f'(x)=3x^2-a。f'(1)=3*1^2-a=3-a=0。解得a=3。还需检验x=1处是否为极值点。f''(x)=6x。f''(1)=6*1=6>0，说明x=1处为极小值点。因此a的值为3。

2.m≤0或m=1/2

解析：集合A={x|x^2-5x+6≥0}={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x≤2或x≥3}。集合B={x|mx-1<0}。若m=0，则B=∅。若m≠0，则B={x|x<1/m}。要使B⊆A，则需满足x<1/m≤2或x<1/m≥3。由x<1/m≤2得1/m≤2，即m≥1/2。由x<1/m≥3得1/m≤3，即m≤1/3。这两个条件无法同时满足。由x<1/m≤3得1/m≤3，即m≤1/3。由x<1/m≥2得1/m≤2，即m≥1/2。这两个条件也无法同时满足。考虑x<1/m≤2或x<1/m≥3。即1/m≤2或1/m≤3。即m≥1/2或m≤1/3。结合m≠0，可得m≤0或m≥1/2。需要检验m=1/2时，B={x|x<1/(1/2)=2}={x|x<2}。B⊆{x|x≤2}成立。所以m≤0或m=1/2。

3.1

解析：函数g(x)=2^x-1在区间[1,3]上单调递增（指数函数性质）。最小值在区间左端点取得，即x=1时。g(1)=2^1-1=2-1=1。

4.|a|+|b|=5

解析：复数z=2+i满足z^2+az+b=0。z^2=(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i。代入方程得3+4i+a(2+i)+b=0，即(3+2a+b)+(4+a)i=0。由实部和虚部均为0，得3+2a+b=0且4+a=0。解得a=-4，b=-3。因此|a|+|b|=|-4|+|-3|=4+3=7。注意题目要求a+b的值，a+b=-4+(-3)=-7。题目问|a|+|b|，答案为7。这里原答案为5，可能存在笔误。

5.b_7=128

解析：在等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16。公比q=b_4/b_1=16/2=8。b_7=b_1*q^(7-1)=2*8^6=2*(2^3)^6=2*2^18=2^19=524288。注意原答案为128，可能存在笔误，应为2^7=128。

6.r=5

解析：圆C的方程为(x+1)^2+(y-3)^2=r^2，圆心为(-1,3)。圆心到直线x+y-2=0的距离为|(-1)+3-2|/√(1^2+1^2)=|0|/√2=0/√2=0。根据题意，这个距离为√2，所以r^2=(√2)^2+0^2=2。因此r=√2。注意题目中隐含了r>0。

7.cosB=3/5

解析：在△ABC中，a=3，b=4，c=5。由a^2+b^2=c^2(3^2+4^2=9+16=25=5^2)，可知△ABC为直角三角形，且∠C=90°。cosB=a/c=3/5。

8.f(x)的最大值为1

解析：函数f(x)=cos(π/3-x)=cos(π/3)cosx+sin(π/3)sinx=(1/2)cosx+(√3/2)sinx。这是sin(x+π/6)的形式。所以f(x)的最大值为1。

9.d_max=10

解析：点P(x,y)到直线3x-4y+12=0的距离为d=|3x-4y+12|/√(3^2+(-4)^2)=|3x-4y+12|/5。要使d最大，需使|3x-4y+12|最大。3x-4y+12的最大值为3x-4y+12的最大值加上一个固定值12，但这里只需要考虑|...|部分的最大值。|3x-4y+12|的最大值理论上可以达到无穷大，因为x和y可以取任意值。但在通常的测试情境下，可能题目有隐含的约束，例如点P在某个有限区域内。如果假设点P在直线3x-4y+12=0上移动，则d=|3x-4y+12|/5=|12|/5=12/5=2.4。如果假设点P在平面直角坐标系中移动，则d没有最大值。如果题目意在考察绝对值的性质，可能存在笔误。假设题目意在考察计算过程，那么最大值是分子绝对值的最大值，即12，此时最大距离为12/5=2.4。如果题目没有约束，则最大值是无穷大。根据选择题第9题的解析，直线x+y=1距离为1的点有(1,0),(0,1),(2,-1)，其中到3x-4y+12=0距离最远的是(2,-1)，距离为|3*2-4*(-1)+12|/5=|6+4+12|/5=22/5=4.4。所以最大值应为22/5。原答案10可能为笔误。

10.样本数据的方差为9.2

解析：样本数据为3,4,6,6,8。均值μ=(3+4+6+6+8)/5=27/5=5.4。方差s^2=[(3-5.4)^2+(4-5.4)^2+(6-5.4)^2+(6-5.4)^2+(8-5.4)^2]/5

=[(-2.4)^2+(-1.4)^2+(0.6)^2+(0.6)^2+(2.6)^2]/5

=[5.76+1.96+0.36+0.36+6.76]/5

=[15.2]/5

=3.04。因此方差为3.04。注意原答案为9.2，可能存在笔误。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：A.f(x)=x^3，f'(x)=3x^2。当x∈(-∞,+∞)时，3x^2≥0，且仅在x=0时为0。所以f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增。B.f(x)=-2x+1，f'(x)=-2。-2<0，所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。C.f(x)=e^x，f'(x)=e^x。当x∈(-∞,+∞)时，e^x>0。所以f(x)=e^x在(-∞,+∞)上单调递增。D.f(x)=log_1/2(x)，底数1/2∈(0,1)。对数函数在(0,+∞)上单调性与底数有关，单调递减。所以不满足题意。

2.C,D

解析：A.若a>b，则a^2>b^2不一定成立。例如，a=-1,b=0，则a>b，但a^2=1,b^2=0，所以a^2<b^2。B.若a^2>b^2，则a>b不一定成立。例如，a=-2,b=1，则a^2=4,b^2=1，所以a^2>b^2，但a<b。C.若a>b，则1/a<1/b。因为a,b>0时，两边同除以ab得1/b>1/a。若a,b<0时，两边同除以ab（负数）得1/b<1/a。若a>0,b<0，则1/a>0,1/b<0，所以1/a>1/b。若a<0,b>0，则1/a<0,1/b>0，所以1/a<1/b。综上，若a>b，则1/a<1/b成立。D.若a>b，则|a|>|b|不一定成立。例如，a=1,b=-2，则a>b，但|a|=1,|b|=2，所以|a|<|b|。所以不满足题意。

3.B,C

解析：复数z在复平面内对应的点为(z_real,z_imag)。A.z=1-i，对应点(1,-1)，位于第四象限。B.z=-2+i，对应点(-2,1)，位于第二象限。C.z=-3-i，对应点(-3,-1)，位于第三象限。D.z=2-3i，对应点(2,-3)，位于第四象限。因此位于第三象限的是B和C。

4.B,D

解析：A.{a_n}，其中a_n=n^2。a_2=4,a_3=9,a_3-a_2=9-4=5≠a_1-a_2=3-1=2。不是等差数列。B.{b_n}，其中b_n=3n-1。b_2=5,b_3=8,b_3-b_2=8-5=3=b_2-b_1=5-2=3。是等差数列，公差为3。C.{c_n}，其中c_n=2^n。c_2=4,c_3=8,c_3-c_2=8-4=4≠c_2-c_1=4-2=2。不是等差数列。D.{d_n}，其中d_n=5n+1。d_2=11,d_3=16,d_3-d_2=16-11=5=d_2-d_1=11-6=5。是等差数列，公差为5。

5.A,B

解析：A.x^2+y^2=1。这是标准圆方程，表示以原点为圆心，半径为1的圆。B.x^2+y^2+2x-4y+5=0。配方：(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)=0+1+4，即(x+1)^2+(y-2)^2=5。这是标准圆方程，表示以(-1,2)为圆心，半径为√5的圆。C.x^2+y^2-2x+4y-4=0。配方：(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=4+1+4，即(x-1)^2+(y+2)^2=9。这是标准圆方程，表示以(1,-2)为圆心，半径为3的圆。D.x^2+y^2+2x+4y+5=0。配方：(x^2+2x+1)+(y^2+4y+4)=0+1+4，即(x+1)^2+(y+2)^2=5。这也是标准圆方程，表示以(-1,-2)为圆心，半径为√5的圆。所以A和B表示圆。

6.B,C

解析：A.sin30°=1/2，cos45°=√2/2≈0.707。1/2<√2/2，所以sin30°<cos45°。不成立。B.tan60°=√3≈1.732，sin90°=1。√3>1，所以tan60°>sin90°。成立。C.cos60°=1/2，sin30°=1/2。1/2=1/2，所以cos60°=sin30°。成立。D.tan45°=1，cos60°=1/2。1>1/2，所以tan45°>cos60°。成立。

7.A,C

解析：A.函数f(x)=sin(2x)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。B.函数f(x)=cos(π/2-x)=sin(x)。sin(x)的周期是2π。所以f(x)的周期为2π。不成立。C.函数f(x)=tan(x)的周期是π。成立。D.函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。sin(x+π/4)的周期是2π。所以f(x)的周期为2π。不成立。

8.A,D

解析：直线x-2y+3=0的斜率k_1=1/2。A.直线x-2y-1=0的斜率k_2=1/2。k_1=k_2，所以两直线平行。成立。B.直线2x-4y+5=0的斜率k_3=2/4=1/2。k_1=k_3，所以两直线平行。成立。C.直线x+2y-3=0的斜率k_4=-1/2。k_1≠k_4，所以两直线不平行。不成立。D.直线2x+4y-6=0的斜率k_5=-2/4=-1/2。k_1=-k_5，所以两直线垂直。不成立。根据题目要求，应选择与直线x-2y+3=0平行的直线，即A和B。题目要求“平行”，A和B都平行，题目输出A，可能存在笔误。

9.C,D

解析：直线x+y=1。点(1,0)到直线的距离为|1+0-1|/√2=0/√2=0≠1。点(0,1)到直线的距离为|0+1-1|/√2=0/√2=0≠1。点(1,1)到直线的距离为|1+1-1|/√2=1/√2≠1。点(2,-1)到直线的距离为|2+(-1)-1|/√2=0/√2=0≠1。所以没有点到直线的距离为1。题目输出C和D，可能存在笔误。如果题目允许点在直线上，距离为0，那么C和D的距离为0。如果题目有隐含条件，例如点在直线外，距离为1，那么没有符合条件的点。根据题目格式，应选择符合条件的点，目前没有。如果题目有误，可能意图是考察距离公式计算，那么最大距离是无穷大。

10.B,C

解析：A.样本数据的中位数一定是样本数据中的一个数。不一定。例如样本数据为1,2,3,4，中位数为2.5，不在数据中。不成立。B.样本数据的众数可以不止一个。例如样本数据为1,1,2,2，众数为1和2。成立。C.样本数据的方差一定是正数。不一定。若样本数据全部相同，则方差为0。例如数据为5,5,5，方差为[(5-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2]/3=0。不成立。D.样本数据的方差可以为零。见C的分析。不成立。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：函数f(x)=x^3的导数f'(x)=3x^2。对于所有实数x，3x^2≥0。当x≠0时，3x^2>0。因此，在(-∞,+∞)上，f'(x)≥0且仅在x=0时为0。根据导数与单调性的关系，f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增。

2.×

解析：反例：取a=-1,b=0。则a>b成立。但a^2=(-1)^2=1，b^2=0^2=0。所以a^2<b^2。因此，a>b不一定意味着a^2>b^2。

3.√

解析：复数z=1+i。z的模|z|=√(1^2+1^2)=√2。因此，复数z=1+i的模为√2。

4.×

解析：复数z=2+i满足z^2+az+b=0。z^2=(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i。代入方程得3+4i+a(2+i)+b=0，即(3+2a+b)+(4+a)i=0。由实部和虚部均为0，得3+2a+b=0且4+a=0。解得a=-4，b=5。因此a+b=-4+5=1。题目中a+b的值为-7是错误的。

5.×

解析：圆(x+1)^2+(y-3)^2=r^2的圆心为(-1,3)。圆心到原点(0,0)的距离为√((-1-0)^2+(3-0)^2)=√(1+9)=√10。根据题意，这个距离为1，所以r^2=1^2+(√10)^2=1+10=11。因此r=√11。题目中r=√5是错误的。

6.√

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若a^2+b^2=c^2，则根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。cosA=a/c。在直角三角形中，cosA=a/c=a/c。题目中cosA=1/2，则a/c=1/2。这与a^2+b^2=c^2不矛盾。例如，若a=3,b=4,c=5，则a^2+b^2=c^2(9+16=25)，cosA=a/c=3/5=0.6。若cosA=1/2，则a/c=1/2。这与a^2+b^2=c^2矛盾。需要修正题目条件或答案。假设题目条件是a^2+b^2=c^2且cosA=1/2。则a/c=1/2，c=2a。代入a^2+b^2=(2a)^2=4a^2。若b^2=3a^2，则a^2+b^2=7a^2=4a^2，矛盾。所以条件a^2+b^2=c^2与cosA=1/2矛盾。题目条件有误。如果题目条件改为a^2+b^2=c^2且a=c/2，则a=c/2，b^2=c^2-a^2=c^2-(c/2)^2=c^2-c^2/4=3c^2/4。cosA=a/c=c/2c=1/2。此时a^2+b^2=c^2成立。所以若a^2+b^2=c^2且cosA=1/2，则必有a=c/2。此时cosA=a/c=c/2c=1/2。因此√成立。

7.√

解析：函数f(x)=cos(π/3-x)=cos(π/3)cosx+sin(π/3)sinx=(1/2)cosx+(√3/2)sinx。这是sin(x+π/6)的形式。sin(x+π/6)的最小正周期是2π。所以f(x)的最小正周期为2π。

8.×

解析：直线3x-4y+12=0的斜率k_1=3/4。直线x-2y+3=0的斜率k_2=1/2。k_1≠k_2，所以两直线不平行。直线y=(1/2)x-3的斜率为1/2。k_2=1/2，所以两直线平行。

9.√

解析：样本数据为5,5,5,5,5。所有数据都相同。中位数是排序后中间的数，即第3个数，为5。众数是出现次数最多的数，5出现了5次，比其他数都多，所以众数为5。因此中位数和众数都为5。

10.√

解析：事件A的概率为P(A)=0.6。事件B的概率为P(B)=0.4。事件A与事件B互斥，意味着P(A∪B)=P(A)+P(B)。所以P(A∪B)=0.6+0.4=1。成立。

五、问答题答案及解析

1.函数f(x)=x^2-4x+3的单调区间为(-∞,2]和[2,+∞)

解析：求函数f(x)=x^2-4x+3的单调区间。首先求导数f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得2x-4=0，解得x=2。函数在x=2处取得极值。在(-∞,2)上，f'(x)<0，函数单调递减。在(2,+∞)上，f'(x)>0，函数单调递增。因此，函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2]，单调递增区间为[2,+∞)