清华附中高中数学精练 集合、函数、三角与向量学生版

目录

预备知识........................................................................................................................................................................1

0.1因式分解基础............................................................................................................................1

0.2因式分解进阶................................................................................................................................2

0.3立方公式与根式........................................................................................................................3

0.4韦达定理........................................................................................................................................5

0.5直线与抛物线的位置关系基础...............................................................................................9

0.6直线与抛物线的位置关系进阶................................................................................................11

第一章集合...........................................................................................................................................................13

1.1集合与集合的表示方法............................................................................................................13

1.1.1集合的概念................................................................................................................13

1.1.2集合的表示方法..........................................................................................................15

1.2集合之间的关系与运算............................................................................................................17

1.2.1集合之间的关系........................................................................................................17

1.2.2集合的运算(一)..........................................................................................................19

1.2.3集合的运算(二)..........................................................................................................21

集合复习课............................................................................................................................................23

1.3简易逻辑......................................................................................................................................25

1.3.1全称命题与特称命题的否定...................................................................................25

1.3.2充分必要条件..............................................................................................................27

1.4不等式........................................................................................................................................29

1.4.1不等关系及不等式证明............................................................................................29

1.4.2不等式的证明............................................................................................................31

1.4.3不等式的解集...........................................................................................................33

1.4.4解含参不等式............................................................................................................35

1.4.5均值不等式(一)..........................................................................................................37

1.4.6均值不等式(二)........................................................................................................39

本章复习................................................................................................................................................41

清华附中高中数学精练：集合、函数、三角与向量

第二章函数..............................................................................................................................................................43

2.1函数..............................................................................................................................................43

2.1.1变量与函数的概念....................................................................................................43

2.1.2函数的表示方法(一)..................................................................................................45

2.1.3函数的表示方法(二)..................................................................................................47

2.1.4函数的单调性...............................................................................................................49

2.1.5函数的奇偶性(一)......................................................................................................51

2.1.6函数的奇偶性(二)......................................................................................................53

2.2二次函数....................................................................................................................................55

2.2.1二次函数的图像与性质(一)....................................................................................55

2.2.2二次函数的图像与性质(二)...................................................................................57

2.3函数的应用................................................................................................................................59

2.4函数与方程................................................................................................................................61

2.4.1函数的零点................................................................................................................61

2.4.2求函数零点近似解的计算方法——二分法........................................................63

本章复习............................................................................................................................................65

第三章基本初等函数(I)..................................................................................................................................67

3.1指数与指数函数........................................................................................................................67

3.1.1实数指数幂及其运算...............................................................................................67

3.1.2指数函数....................................................................................................................69

3.2对数与对数函数........................................................................................................................71

3.2.1对数及其运算(一)......................................................................................................71

3.2.2对数及其运算(二)......................................................................................................73

3.2.3对数函数(一)..............................................................................................................75

3.2.4对数函数(二)..............................................................................................................77

3.2.5指数函数与对数函数的关系...................................................................................79

3.3幂函数..........................................................................................................................................81

本章复习............................................................................................................................................83

第四章基本初等函数(Ⅱ)..................................................................................................................................85

4.1任意角的概念与弧度制............................................................................................................85

4.1.1角的概念的推广........................................................................................................85

4.1.2.弧度制和弧度制与角度制的换算............................................................................87

4.2任意角的三角函数....................................................................................................................89

4.2.1三角函数的定义.......................................................................................................89

4.2.2单位圆与三角函数的定义.......................................................................................91

4.2.3同角三角函数的基本关系式(一)...........................................................................93

4.2.4同角三角函数的基本关系式(二)...........................................................................95

目录

4.2.5诱导公式(一)..............................................................................................................97

4.2.6诱导公式(二)..............................................................................................................99

4.2.7诱导公式(三)............................................................................................................101

4.3三角函数的图像与性质........................................................................................................103

4.3.1正弦函数的图像与性质(一)...................................................................................103

4.3.2正弦函数的图像与性质(二)...................................................................................105

4.3.3正弦函数的图像与性质(三)...................................................................................107

4.3.4正弦函数的图像与性质(四)...................................................................................109

4.3.5余弦函数的图像与性质...........................................................................................111

4.3.6正切函数的图像与性质...........................................................................................113

本章复习...............................................................................................................................................115

第五章平面向量.................................................................................................................................................118

5.1向量的线性运算....................................................................................................................118

5.1.1向量的概念................................................................................................................118

5.1.2向量的加法................................................................................................................120

5.1.3向量的减法................................................................................................................122

5.1.4数乘向量....................................................................................................................124

5.2向量的分解与向量的坐标运算...........................................................................................126

5.2.1向量的基本定理........................................................................................................126

5.2.2平面向量的坐标及其运算........................................................................................128

5.2.3向量平行的坐标表示................................................................................................130

5.3平面向量的数量积...................................................................................................................132

5.3.1向量数量积的概念....................................................................................................132

5.3.2向量数量积的运算律................................................................................................134

5.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式......................................................................136

本章复习..............................................................................................................................................138

第六章三角恒等变换.........................................................................................................................................140

6.1和角公式..................................................................................................................................140

6.1.1两角和与差的余弦....................................................................................................140

6.1.2两角和与差的正弦....................................................................................................142

6.1.3辅助角公式................................................................................................................144

6.1.4两角和与差的正切....................................................................................................146

6.2倍角公式与半角公式............................................................................................................148

6.2.1倍角公式....................................................................................................................148

6.2.2三角恒等变换复习课................................................................................................150

6.2.3半角的正弦、余弦和正切.......................................................................................152

6.3三角函数的积化和差与和差化积........................................................................................154

VI

6fo

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本章复习...............................................................................................................................................156

第七章解三角形....................................................................................................................................159

7.1正弦定理与余弦定理...........................................................................................................159

7.1.1正弦定理(一)............................................................................................................159

7.1.2正弦定理(二)............................................................................................................161

7.1.3余弦定理....................................................................................................................163

7.2解三角形................................................................................................................................165

7.2.1解三角形(一)............................................................................................................165

7.2.2解三角形(二)............................................................................................................167

本章复习..............................................................................................................................................169

VⅢ

68

预备知识

因式分解：

1.x²—6x+8=

2.x²—5x—6=

3.x²-5x+6=

4.x²—6x+5=

5.x²—4xy-5y²=.

6.x²—2ax+(a²-1)=

7.3x²-10xy+8y²=.

8.4x²—4x—3=

9.12x²—25x+12=.

10.6x²—11x-10=

11.x²—(a—2)x—2a=

12.x²—3x+(2—a)(a—5)=

13.ax+2a—bx—2b=_·

14.a²-b²+3a+3b=

15.a²—c²—2bc—b²=

16.x²+y²+2xy—1=

17.(3a—2b)²—(2a+3b)²=

18.(a+b)²—c²—4ab=

19.x(2x+3)—y(2y+3)=.

20.(x+y)(x—y)—4(x—1)=·

21.(2a+1)²—(2a+1)b—12b²=.

22.a²c²+b²d²—a²d²—b²c²=

23.x(y+1)(y-1)+y(x+1)(x—1)=

24.(a—b)²+4(a+1)(b+1)=

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0.2因式分解进阶

1.因式分解：

(1)x²—xy—2y²+5x-y+6;(2)x⁴+3x²+4;

(3)x³—3x+2;(4)x⁴—4x+3.

2.求不定方程x²-y²=2020的正整数解的组数.

3.求xy+x+y=3的所有整数解.

4.求方程的所有正整数解.

5.已知x,y均为实数，且x²+xy-2y—2=0,4y²+3xy-x-10=0,求x+2y的值.

预备如识

0.3立方公式与根式

1.化简：.

(1)(x—1)³+(x+1)²;(2)(x+2)³-4(1—x)².

2.因式分解：

(1)x³-27y³;(2)a(a²+1)+b(b²+1).

3.化简：

(1)(2)

4.已知1≤x≤2,化简：

(1)√(1-x)²+|2-x|;(2)|1—2xl+√(x-2)².

5.已知a+b=6,ab=4,求下列各式的值.

(1)la—b|;(2)√a+√6;(3)aJa+b√b.

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6.已知,求。的值.

7.已知a>b>0,求证：√a—b>√a—√b.

8.已知正数a,b满足a—b=√5,ab=1.求下列各式的值.

(1)a+b;(2)(3)aJa-b√6.

9.记,求S(1)+S(2)+…+S(9)的值；

10.如果a,b,c为正整数，那么a³+b³+c³-3abc的值能否等于97?若可以，求出全部解组数，

若不可以，请说明理由.

预备知识

0.4韦达定理

1.若关于x的方程x²—ax-a=0有实数根，则a的取值范围为

2.若是方程2x²—mx+5=0的一个根，则m=,该方程的另一根为

3.已知x₁,x₂是方程x²—3x-1=0的两个实根，则

(1)x₁+x₂=.;(2)x₁x₂=;

(3)(4)

4.已知x₁,x₂是方程x²—4x+1=0的两个实根，求下列代数式的值.

(1)(1—x₁)(1-x₂);(2)|x₁—x₂1;(3)

5.已知关于x的一元二次方程kx²+2x—k-1=0的两个根为x₁,x₂,且x₁-x₂=2,求k

的值.

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6.已知x₁,x₂是关于x的方程x²—(a+2)x+(3a—2)=0的两个实根，且x²+x²=16,求a

的值.

7.已知实数m,n满足mn≠1,且m²—4m—2=0,2n²+4n—1=0,

(1)求的值；(2)求的值.

预备知识

8.是否存在实数k,使得关于x的方程9x²—(4k—7)x+6k²=0·有两个不等的实数根x₁,x₂,

且满足,若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.

9.已知实数a,b满足a≠b,且a²—3a-n=0,b²-3b—n=0,|a—b|=√19,求n的值.

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10.已知x³-3x+1=0有三个根x₁,x₂2,x₃,求下列代数式的值：

(1)

11.某长方体体积为1,表面积为2k,所有棱长之和为4k,求正数k的取值范围.

预备知识

0.5直线与抛物线的位置关系基础

1.当ab>0时，y=ax²与y=ax+b的图像大致是()

A.B.C.D.

2.如图所示，二次函数y=ax²+x—6的图像与x轴交于A(-3,0),B两点，下列说法正确的

是()

A.抛物线的对称轴为直线x=1

B.抛物线的顶点坐标为

C.A,B两点之间的距离为5

D.当x<-1时，y的值随x值的增大而增大

3.抛物线y=ax²-a(a≠0)与直线y=kx交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，若x₁+x₂<0,则

直线y=ax+k一定经过().

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

4.将二次函数y=-x²+2的图像向右平移2个单位长度，得到的图像与一次函数y=-3x—b

的图像有公共点，则实数b的取值范围是()

B.CD.

5.如图所示，在平面直角坐标系中，直线yi=mx+n与抛物线y₂=ax²+bx—3相交于点A,

B.结合图像，判断下列结论：

①当-2<x<3时，y₁>y2;

②x=3是方程ax²+bx-3=0的一个解；

③若(一1,t₁),(4,t₂)是抛物线上的两点，则t₁<t₂;

④对于抛物线，y₂=ax²+bx-3,当-2<x<3时，y₂的取值范围是0<y₂<5.

其中正确结论的个数是()

A.4

B.3

C.2

D.1

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6.如图所示，抛物线与x轴交于A(-3,0),B两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标；

(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标.

7.如图所示，抛物线y=ax²+bx+c过点A(一1,0),B(3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标.

预爷知识

0.6直线与抛物线的位置关系进阶

1.直线y=ax+b(ab≠0)不经过第三象限，则y=ax²+bx的图像大致为()

A.B.C.D.

2.右图是二次函数y₁=ax²+bx+c和一次函数y₂=mx+n的图像，观

察图像写出y₂>y₁时，x的取值范围()

A.x<0

B.0<x<1

C.—2<x<1

D.x<1

3.已知二次函数y=—-x²+x+6,将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图

像的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=m与新图像有两个交点时，m的取值范围是

()

A.B.

C.或m=0D.

4.经过A(2—3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线为自变量)与

x轴有公共点，则线段AB长为()

A.10B.12C.13D.15

5.已知Y₁,Y₂,Y₃分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是

A(-1,—2),B(2,1),如图所示，规定M为Y₁,Y₂,Y₃中最小的函数值，给定下列结论：

①当x<-1时，M=Y₁;

②当-1<x<0时，Y₂<Y₃<Y₁;

③当0<x<2时，M的最大值是1,无最小值；

④当x≥2时，M最大值是1,无最小值.

其中正确结论的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

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6.如图所示，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(-5,0)两点，与y轴交于点C.直线y=—3x+3

过抛物线的顶点P.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线x=m(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.当EF取得最大值

时，求m的值和EF的最大值.

7.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在

线段AB上(不含端点),以点C为顶点的抛物线M:y=ax²+bx+c经过点B.

(1)求点A,B的坐标；

(2)求b,c的值；

(3)平移抛物线M至N,点C,B分别平移至点P,D,连结CD,且CD//x轴，如果点P在x

轴上，且新抛物线过点B,求抛物线N的解析式.

第一章集合

1.1集合与集合的表示方法

1.1.1集合的概念

1.下列几组对象可以构成集合的是()

A.充分接近π的实数的全体B.善良的人

C.光明中学高一所有聪明的同学D.研究院所有身高在1.7m以上的人

2.下列四个说法中正确的个数是()

①集合N中最小数为1;

②若a∈N,则—a丈N;

③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;

④所有小的正数组成一个集合.

A.0B.1C.2D.3

3.由a²,2—a,4组成一个集合A,A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()

A.1B.—2C.6D.2

4.已知集合A中的元素x满足x-1<√3,则下列各式正确的是()

A.3∈A且—3∈AB.3∈A且-3∈A

C.3A且-3AD.3∉A且-3∈A

5.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

6.对任意非零实数x,y,z,代数的所有可能值组成集合M,则正确

的是()

A.0∈MB.2∈MC.—4MD.4∈M

7.由下列对象组成的集体属于集合的有(填序号).

①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；

③中国的大城市；④平方后等于自身的数；

⑤光明中学高一(2)班中考试成绩在600分以上的学生.

,清华附中高中数学精练：集合、函数、三角与向量

8.用“∈”或“丈”填空

(1)-3N;(2)3.14Q;(3)

(4)R;(5)1N*;(6)0N.

9.由实数x,一x,√x²,一³x³所组成的集合里最多有个元素.

10.不等式x—a≥0的解集为A,若3∈A,则实数a的取值范围是.

11.已知集合M={-2,3x²+3x—4,x²+x-4},若2∈M,求x.

12.设P,Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集

合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数是多少?

(选做)13.设A为非空实数集，且满足条件：若a∈A,则.求证：

(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集.

第一章集合

1.1.2集合的表示方法

1.下列说法中正确的是()

A.集合{x|x²=1,x∈R}中有两个元素B.集合{0}中没有元素

C.√13∈{x|x<2√3}D.{1,2}与{2,1}是不同的集合

2.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()

A.{x|x是不大于9的非负奇数}B.{x|x≤9,x∈N}

C.{x|1≤x≤9,x∈N}D.{x|0≤x≤9,x∈Z}

3.在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为()

A.{(x,y)|x=0,y≠0}B.{(x,y)|x≠0,y=0}

C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x=0,y=0}

4.下列四个命题：

①0与{0}表示同一个集合；

②集合{x|4<x<5}可以用列举法表示；

③由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};

④方程(x-1)²(x-2)²=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}.

正确的是()

A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.只有③

5.定义集合运算：A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的

所有元素之和为()

A.0B.2C.3D.6

6.下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={3,2},N={2,3}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={ylx+y=1}

D.M={1,2},N={(1,2)}

7.可以作为方程组的解集的序号是

①{x=1,y=2};②{1,2};

③{(1,2)};④{(x,y)|x=1或y=2};

⑤{(x,y)|x=1且y=2};⑥{(x,y)|(x-1)²+(y-2)²=0}.

8.已知a∈Z,A={(x,y)|ax-y≤3}且(2,1)∈A,(1,—4)∉A,则满足条件的a的值

为_

9.已知集合M={x∈N|8—x∈N},则M中的元素有个.

10.设集合A={1,—2,a²-1},B={1,a²—3a,0},若A,B相等，则实数a=

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11.用另一种方法表示下列集合.

(1){x|0<x<10且x能被3整除};(2){x|x=lx|,x<5且x∈Z};

(3){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*};(4){-3,-1,1,3,5}.

12.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.

(选做)13.已知集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},C={xlx=6n+3,

n∈Z}.

(1)若c∈C,则是否存在a∈A,b∈B,使c=a+b成立?

(2)若a∈A,b∈B,则是否一定存在c∈C,使a+b=c?证明你的结论.

第一章集合

1.2集合之间的关系与运算

1.2.1集合之间的关系

1.下列命题中正确的个数是()

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；④若A时，则A≠ø.

A.0B.1C.2D.3

2.已知集合U=R,则正确表示集合U,M={-1,0,1},N={x|x²+x=0}之间关系的Venn图

是()

A.B.C.D.

3.若集合A={x|x≥0},且BSA,则集合B可能是()

A.{1,2}B.{x|x≤1}C.{-1,0,1}D.R

4.若集合A={x|x=n,n∈N},集合,则A与B的关系是()

A.ABB.ABC.A=BD.A∈B

5.已知集合A={xla-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使AB成立的实数a的取值

范围是()

A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.

6.在以下六个写法中：

①{0}∈{0,1};②{0};③{0,-1,1}≌{-1,0,1};

④0∈;⑤Z={正整数};⑥{(0,0)}={0}.

其中错误写法的个数是()

A.3B.4C.5D.6

,则的关系为

7.设x,y∈R,A={(x,y)Iy=z},A,B

8.设M={x|x²-1=0},N={xlax-1=0