第一学期期末高三质量检测数学（理）

第一学期期末高三质量检测数学（理）

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共10题，共50分）

/（♦）=｛，'-。金

1、已知函数3x-2-lx>a,若/（/（%））二°存在四个互不相等的实数根，则实数。的取值范围

为（）

A.福同B［遍收）

C［在2'［几时D［衣⑹33”）

【考点】

【答案】D

【解析】令/（"）=，,则/“）二°,由题意，/（'）二°有两个不同的解，/（"）='有两个不相等的实根,

由图可知，〃。=°得f=2或f=-2,所以/（、）=2和/（x）=-2各有两个解。

当/㈤=-2有两个解时，则〃之后,

当〃x）=2有两个解时，则av痴或4之3,

综上，。的取值范围是［@"）3支何,故选Do

xy50

2、椭圆N廿一''的两个焦点为耳月，桶圆上两动点HQ总使即然为平行四边形,

若平行四边形即。玛的周长和最大面积分别为8和冬回，则椭圆的标准方程可能为（）

X2X2

y+>2=l—=1

A.2B.42

C.43D.168

【考点】

【答案】C

【解析】由周长为8,可知4=2,

由最大面积为26,可知加：=也,

=1

所以椭圆方程可以是43,故选c。

、（6-9T+£T

3的展开式中常数项是（）

A.-15B.5C.10D.15

【考点】

【答案】B

【解析】

5於+9=5讣咤2时2（必升笠厂1Yr（日二

vx--+2占

廿。；回"用=虫-5

项式的展开通项为

当上=3时，有C（T）、TO；当*=1时，有C（T）；-5；当无=2时，有4（T）1=10,

所以，常数项为（T°）+（-5）+2X10=5,故选B。

M：三-4=30油＞。)…,

4、经过双曲线a2廿的左焦点作倾斜角为的直线/,若/交双曲线M的左支于

4",则双曲线M离心率的取值范围是()

A.⑵对B.(L2)C.(L闾D.(38)

【考点】

【答案】B

bqc2

【解析】由题意，Q,得、=K＜加2,所以短，即离心率的范围是(L2),故选及

5、由函数)=J『8s2x-sin2x的图像J变换得到函数j=2coax的图像则下列变换过程正确的是

()

£

A.把6上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5个单位长度，

得到曲线c?

B.把6上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6个单位长度，

得到曲线C?

n£

c.把G向右平移6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，

得到曲线C?

D.把G向右平移12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到曲线C?

【考点】

【答案】D

【解析】I64

所以变换过程是；先向右平移12个单位长度，在将名点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得

到『=24»酩。

故选Do

6、执行下面的程序框图，则输出的第1个数是()

【答案】C

a_1史“a_4史N

［解析］1=2＞々=1,则把,所以a=］+3=4J=2+［=3,则］"=不更,所以

a_7«_10_

々=4+3=7,i=3+l=4,则『=%交，所以々=7+3=10,1=4+1=5,则广行二次，则输出

i=5。

故选C。

7、已知/a)是定义在正上的奇函数，展”)是定义在及上的偶函数，若/G)=/G)[ga)T1则

尸H)+尸⑵=()

A.0B.2C.-2D.4

【考点】

【答案】A

【解析】尸(r)=/(r)[g(f)T]=-/㈤以”所以尸♦)是奇函数,

所以尸(-2)”⑵=。，故选A。

8、已知Q是第二象限角，8mQ则皿4+以）=（

)

1_12^LN衣

A.3B.3c.3D,3

【考点】

【答案】D

・「3万111

sin-=-cosa=-Cosa=一

【解析】12)3,得3,

.>s.2折

sm(方+Q)=-sm«=-...

则3,故选D。

9、已知复数‘-4-3/（£为虚数单位），则团=（）

A.、历B.君C2D.百

【考点】

【答案】A

.虹=上囱「邛+曾地

【解析】4-3:5,所以队5>15）,故选A。

10、已知集合河=[*|14*<3},集合N={x|x<0或x22）,则McN=（）

A.S3B侬3）c以综SO）3L网

【考点】

【答案】B

【解析】McN=[23）,故选九

二、填空题（共4题，共20分）

11、某产品包装公司要生产一种容积为厂的圆柱形饮料罐（上下都有底），一个单位面积的罐底造价是一

个单位面积罐身造价的3倍，若不考虑饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料罐的底面

半径是__________.

【考点】

【答案】

YN

*h=——-/(r)=3X2XOT2+2^rrA=6^r2+——

【解析】V*h,则”】，'Jr,

、s2F1加一20

所以F2

所以/⑺在

单调递增,

所以当『二晦时，造价最低。

12、A15C的内角4B,C所对的边分别为d瓦*若8s2A+8s2B+2six〃siiiB=l.+8s2C,则角

C=_

【考点】

【答案】600

【解析】l-2sin2244-1-2sin2^4-2siiL4sm5=1+l-2sin2C,得=+

八々'十廿一/1八案

cosC=--------------=-C=—

所以2ab2,所以3。

13、已知平面向量初满足同=及，卜"卜迷，若布的夹角为45。，则存了=

【考点】

【答案】3

伍一万'=2+同-2&同也=5r_3丘1=6x3*也=3

【解析】')1口2，得”3,所以2。

x-y+l'O

{x+^-150

14、已知实数MJ满足了之°,则Z=2x-J的最小值为

【考点】

【答案】-2

y

由图，可知过点（-L°）时，由最小值z=-2。

三、解答题（共7题，共35分）

15、选修4-5：不等式选讲

已知函数/㈤寸+2业川

（I）解关科的不等式/㈤>4；

（II）对于1隹4,都有/㈤之2国成立,求实数。的取值范围.

【考点】

、*5

【答案】（I）-③2⑵枚）（II-2

【解析】试题分析：（1）/+%—2>4或，+、一2〈~4,得不等式解集为（7°尸3）523<0）；⑵|#4

22255

时+1恒成立」=尸1+1在和%制）上单调递增，得所以松4二

试题解析：

⑴由〃x）>4得：卜+2|上-1|>4

卜'+"一Z>4即/+x—2>4或34-x-2<—4

解得：x>2或xv-3所以，不等式解集为（14一3）°（2>*0）

（II）由hl",都有/（6"国成立可得:

螺4X--+1

乖时,

4x恒成立

2

...7=x-Li在sii和他向上单调递增

'59

5M5，田

2

工-2+i之］

.•」中4时,x2

16、选修4-4：坐标系与参数方程

x=2eos0

q：｛A

在直角坐标系叼中，曲线y=sm&（0为参数），在以。为极点，力轴的非负半轴为极轴的

极坐标系中，曲线弓二双，01'-011'",

（।）写出曲线G和G的普通方程;

（ID若曲线G上有一动点M,曲线J上有一动点N,求使最小时M点的坐标.

【考点】

/_俄_叵

【答案】（1）",4+y2-4=0（||）ls5;

【解析】试题分析；⑴「4+」一，G：x-j-4=0；⑵设M（2c«ea9）,结合图形可知;

最小值即为点M到直线&的距离的最小值.M到直线G的距离

d二|2cogJ_sine_4|二卜昼（诊+伊）―4|（迪应

5

&&，所以M的坐标为I$Jo

试题解析：

（I）G：小=）C2：X->-4=0

（ID设就加见即叫结合图形可知：|例最小值即为点M到直线6的距离的最小值.

d_|2cos^-sin^-4|_

・•.M到直线G的距离应发

...当向（伊+的=1时,d最小,即见最小.

空向0=_也

此时，2cosG-&ie=正，结合&i'e+cos'6=l可解得：8*5,5

（延_叵

即所求M的坐标为I55/

17、已知/（x）=x?-2x+%（lnx-x）SwK）

（I）讨论/（X）的单调性；

（II）若在定义域内总存在“使成立，求a的最小值.

【考点】

【答案】（I）见解析（ll）a的最小值是lr.

【解析】试题分析：⑴/㈤定义域为,分类讨论得到单调性情况;

（2）分参得到热一Inx-x恒成立,令'㈤-3-兀,求导得到“（X）在（°"）上单调减，在（包中上单

h（x）=A（«）=a2

调胤所以'/岫lr,得1-。。

试题解析：

,、/、W

（I）〃x）定义域为⑥用），./DXD

①当时，由/解得：由/解得：

a40'（x）>°X>10<x<l

在（0」）上单调递减，在（L+00）上单调递增；

②当0<々<1时，由/'（x）>°解得：x>l或OVXVG,由解得：a<x<l

・•・〃x）在g』上单调递减，在（°㈤和（LX°）上单调递增；

=生必0

③当〃=1时，X（仅在x=l时等号成立）

../（X）在（0,+8）上单调递增;

④当々＞1时，由/'（x）＞°解得：或Ovxvl,由，'（x）＜°解得：1«＜蟾

.•./（X）在M）上单调递减，在（°」）和（凡刊0上单调递增.

（II）由已知，在定义域内总存在K使/（x）'，成立，

即3XW（（VK0）,使41nx-x）4x成立（,）

令以x）=lnx-x,则g'（x）=Z

，g（x）在（°」）上单调递增，在（L«°）上单调递减

.g（x）Wg（l）=-l

所以，（•）式转化为

3xW（Q4W）使会1nx_工成立

gpxe（O,-K»）Llnx-xL

令“g=七则W=（lnr-x）3

・・・*卜）在（0'4上单调减，在（4+30）上单调增

.MX）M=M8）=士

a^——

所以，1-。即。的最小值是I-。.

18、已知抛物线E二9=2再3＞。）与过点”（冬O）g＞O）的直线/交于43两点，且总有6MJ.03.

（I）确定P与。的数量关系；

川）若PMWMM•阳,求见的取值范围.

【考点】

【答案】（I）"2p（||）%E（L2]

,d=2所机+%=2必9

【解析】试题分析：（1）设匕）="-%由€>>=x-a,22=-2年,由。<，。3得:

玉9刈=°,解得”2p⑵由题意，22用前师=，4/（1+户），

”而-OZ

'1+，，所"e（L2］。

试题解析：

（।）设/:"=x-a,/&%）,M-但）

{V=2再

由iy=x-a消去工得：y2-2pfy-2pa=Q

.j+%=2pf,W=-2w

-o

由以，。3得：4~十乂％=°即4"

2

•a-2pa=0--fl>0.o=2p

（II）由（I）可计算：

\AB\=&_*卜]-ja|=2pjl+尸心+4

|/M卜|JW3|=AM•附=（〃-5）（5-以）一7科=一看弓+〃（玉+巧）一/一北乃

=〃.甯一拼=年（1+'）

.,\DM[\AB\=i\AM\^\MB\

,a•2p、/l+C4+4=2・4/?2（1+户）

有号声

・^i+7Vi+?

•・dxo.%E（L2]

-CD

19、如图，多面体AHCDEF中，4HCD是正方形，CDEF是梯形，EF//CD,2,DEI平

面含CD且力因=D4,林N分别为棱/工时的中点.

（I）求证：平面DM"，三面45KE；

（H）求平面DMM和平面3CF所成锐二面角的余弦值.

【考点】

710

【答案】（I）见解析（II）10

【解析】试题分析：（1）通过证明平面所以平面DW平面48氏E.（2）建立空间直

角坐标系，求出平面DMM和平面3CF的法向量，求二面角的余弦值。

试题解析：

（I）•.即"CD,/"CD是正方形

:.EF//AB：N分别为棱dE.M的中点〃/B

•.■。£1平面453「.”因1/5「四，3,ADcDE=D

...AB1t平面ADE.・.四《L丝从而MV~L空

:DE=DA,"是中点.■.DM»L4E

MNr\DM=M：.平面DMV

又4Eu平面

所以，平面DW平面4期:E.

（Il）由已知，以,DC,DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D-秘，设3=2,

则月⑵QO）£（0,0,2）2?（2,2,O）C（0,2,0）尸（QL2）

.丽=（2,0,0）而=（O,-L2）

*,9

平面35的一个法向量为黄（工乂z）,

产CB=O2x=0

由勺CF=0得_j+2z=0令J=2,则行

由(I)可知4EJ■平面DMM

.・.平面DMM的一个法向量为/&=(-Z°，2)

设平面DMM和平面BCF所成锐二面角为&,

jcos^|cos(n-

2/10

所以，平面DMM和平面3CF所成锐二面角的余弦值为10.

20、某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动，凡购物满100元可抽奖一次，满200元可抽奖两次…依此类推.抽

奖箱中有7个白球和3个红球，其中3个红球上分别标有10元，10元，20元字样.每次抽奖要从抽奖箱

中有放回地任摸一个球，若摸到红球，根据球上标注金额奖励现金；若摸到白球，没有任何奖励.

(I)一次抽奖中，已知摸中了红球，求获得20元奖励的概率；

(ID小明有两次抽奖机会，用X表示他两次抽奖获得的现金总额，写出X的分布列与数学期望.

【考点】

1

【答案】(I)3(IDE(X)=3

P(B\J£)=-

【解析】试题分析：(1)3;(2)X的可能取值为0.10,20,30,40,写出分布列，求出期望。

试题解析：

(,)设事件/=(一次抽奖中，摸中红球｝,事件8=｛一次抽奖中，获得2。元奖励｝