高考理数备考-考点20 平面向量的数量积及向量的应用

专题20平面向量的数量积及向量的应用

诗博晨女

1.平面向量的数量积

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

12）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

14）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2.向量的应用

（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

知识整今

一、平面向量的数量积

1.平面向量数量积的概念

（1）数量积的概念

已知两个非零向量我们把数量lalSIcosg叫做向量。与4的数量积（或内积）,记作0.从即

a^b=\a\\b\cos0f其中。是。与力的夹角。

【注】零向量与任一向量的数量枳为0.

（2）投影的概念

设非零向量。与力的夹角是，，则|a|cosg（|〃|cos。）叫做向量0在力方向上"在。方向上）的投影.

如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量。与力的夹角为锐角、钝角、直角时向量。在力方向上的投

影的情形，其中。片=|a|cos。，它的意义是，向量。在向量力方向上的投影长是向量函的长度.

（3）数量积的几何意义

由向量投影的定义，我们可以得到〃小的几何意义：数量积等于〃的长度|。|与力在。方向上的投

影|Reos0的乘积.

2.平面向量数量积的运算律

已知向量a,从c和实数;I,则

①交换律：ab=ba：

②数乘结合律：（4。）必=。•（彳方）；

③分配律:（a+b）c=ac+bc.

二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

设非零向量。=（x，y）,力=（七，）’2），。是。与b的夹角.

（1）数量积:a-b=\a\\b\cosO=xyx2+y\y2.

（2）模=

八、、+立八ab+KM

（3）夹角：cos。=------=/।--J-:.

⑷।川7?寿•7^7

（4）垂直与平行：。_1_b=。力=0=x}x2+）1%=0；&〃仪=>&•6=±Ia|I。I。

【注】当辍与b同向时,ab=\a\\h\,

当。与力反向时，a-b=-\a\\b\.

（5）性质：Ia•6IWIa|b|（当且仅当a〃b时等号成立）0|“占++）1"yjx；+.

三、平面向量的应用

1。向量在平面几何中常见的应用

己知。=（3，y）,〃=（七,必）・

（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题,常用向量共线的条件:

a//boa=Ab。X]%-W=OS工0）

（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的

条件：

aA-b^ab=0^>x]x2+y\y2=0（其中a,b为非零向量）

（3）求夹角问题,若向量。与力的夹角为。，利用夹角公式：

cos0=*-=-7一"占上+：；心-----（其中a,为并零向量）

1aM&+墟•收+）「

（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：

I«1=收+）/,

22

或|AB|=|AB|=7（x3-x4）+（j3-y4）（其中AB两点的坐标分别为（刍,为），（七，”））

（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角

坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.

2.向量在物理中常见的应用

（1）向量与力、速度、加速度及位移

力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算。

（2）向量与功、动量

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W=

产•s=WHs|•cos6（。为尸和§的夹角）。

点考向,

考向一平面向量数量积的运算

平面向量数量积的类型及求法：

（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式。/=|。|传|（：6；。；二是坐标公式。.力=内为+）仍.

（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量枳的运算律或相关公式进行化简。

典例引领

典例1若向量m=(2k-l,k)与向量九=(4,1)共线，则m•九=

A.0B.4

917

22

【答案】D

【解析】因为向量m=(2k-l,k)与向量n=(4,1)共线，

所以2k-l=4k,解得九二一亍

即771=(-2,--)»=(4,1),

117

所以771-11=-8——=---.

22

选D.

典例2已知向量同=|q=13与b的夹角为45°,则(。+28)/=_

【答案】1+$

【解析】由向量同=|同=l,a与b的夹角为45°,

得(a+2b).〃=/+加.力=同~+2|tf|-|^|cos45°=1+V2.

变式拓展

1.在平行四边形川如9中，AB//CD,^S=(2,-2),AD=(2,1),则而•丽=

A.一3。B.2

C13oDo4

2.已知菱形4BCO的边长为2,Z4BC=60°,则丽•丽=

A,4B.6

C,2G。D.46

考向二平面向量数量积的应用

平面向量数量积主要有两个应用:

(1)求夹角的大小:若a6为非零向量，则由平而向量的数量积公式得cos6=&-(夹角公式)，所以平而

1。11力1

向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.

(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量

的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝隹.

典例引领

uun1uiniiuniuii®11t.i

典例3在平行四边形ABCD中，A5=3,AD=2,AP=-AB.AQ=-AD,若CPCQ=12,则

J/r

ZADC=

5兀3兀

Ao—B.—

64

Inn

C.—。。D.

32

【答案】C

【解析】如图所示,

平行四边形A6G1）中，AB=3.AD=2.

AP=-AB,AQ=-AD

32t

__________2__

:.CP=CB+BP=-AD——AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因为声衣二12,

所以5•诙=（一而荏•（一而―义而

=+-AD+-AI3AD

323

=—x32+-!-x224--x3x2xcosZ.BAD=12,

323

]Ji

则cos/8AO=-,NBAD=—,

23

所以乙4OC=兀一二=空.

33

故选C.

变式拓展

3。已知向量。=(—2,—1),6=(41),且。与方的夹角为钝角，则实数1的取值范围是.

考向三平面向量的模及其应用

平面向量的模及其应用的类型与解题策略：

(1)求向量的模.解决此类问题应注意模的计算公式=或坐标公式|〃|二尸"的应

用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解。

(2)求模的最值或取值范围.解决此类问题通常有以下两种方法：

①几何法:利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范机

②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围。

(3)由向量的模求夹角.对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.

典例引领

典例4已知平面向量。淳的夹角为个，且同=1,同=2,则|。+可=

A.3。。B.G

C。7。。D.3

【答案】B

【解析】1。+)+I〃F+21a||^|cos-^=l+4+2xlx2x=3,

所以|〃+耳=

故选

变式拓展

4.已知函=(2,0),丽=(0.2)tAC=tAB,tERn当1。。1最小时，t=。

考向四平面向量的应用

lo向量与平面几何综合问题的解法与步骤：

(I)向量与平面几何综合问题的解法

①坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算

和向量运算，从而使问题得到解决.

②基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.

【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键,用基向量解题时要选择适当的基底.

(2)用向量解决平面几何问题的步骤

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;

②通过向量运算研窕几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题：

③把运算结果“翻译”成几何关系.

2o利用向量求解三角函数问题的一般思路：

•1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式.利用同角三角函数关系式及

三角函数中常用公式求解.

(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题,先求值再求角.

13)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问

题转化为三角函数问题.

14)解三角形.利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理

或正、余弦定理解决问题.

3.用向量法解决物理问题的步骤如下：

(I)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题：

(2)建立以向量为主体的数学模型；

(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型;

14)用数学模型中的数据解释或分析物理问题。

4.常见的向量表示形式：

(I)重心.若点G是八48。的重心，则GX+G3+%=0或而=1(中+而+元(其中〃为平

3

面内任意一点).反之，若GW+G月+玄=0,则点。是AABC的重心。

(2)垂心.若，是8c的垂心，则HA•HB=HB•HC=HC•HA。反之，若HA•HB=HB•HC=

阮•丽，则点〃是“8C的垂心.

⑶内心.若点/是AABC的内心，则|前1方+|5|岳+|通|元=0.反之，^\BC\-1A+\CA\-

IB+\AB\1C=O,则点/是WWC的内心.

(4)外心.若点。是△ABC的外心，则(O乂+OB)-BA=(OB+OC)CB=(。3+。4)•A3=0或

\OA\=\OB\=\OC\0反之，若|汤卜|说H云I，则点。是AABC的外心。

典例引领

典例5等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为

43

Ao——°B.——

55

C.-0D.-

55

【答案】A

【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设

A(2a,0),5(0,2a),则尸3,0),夙0,々),

.*.AE=(~2a,a),BF=(。,一2。)。

设向量屏,8户的火用为

AEBF(-2a,a)・(〃,-2a)-4a24

则cos0=

|MH而Ix/5a-45a~5^~5

【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为X轴和y轴，分别

设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模.进而求得夹角

的余弦值.

变式拓展

5。周形以8的半径为1,圆心角为90°,产是AB上的动点，则OP。40B的最小值是

A.0。B.~1

1

oD.2

典例引领

•^卜。s(4一3)［函数/(力=cos(a,。).

典例6已知。=(2COSA,,2siav),b=sinx-

(I)求函数/(%)的零点；

/J_!»z*

(II)若锐角AABC的三个内角4伏。的对边分别是。、4c,且/(力)=1,求——的取值范围.

a

【解析】(I)由条件可知：ab=2cosx-sinfx--+2sinvcosfx--=2sinf2x~~,

\6)k6)V6)

2sin2x——

ab

/(x)=cos=

卜叫2

故函数/(%)的零点满足sin2x--=0,

6)

由2x-¥=A7T,k£Z.解得x=@+£,AeZ.

6212

(H)由正弦定理得处£=网四匹①。

sinA

71

由(I)知f(x)=si・n2。x——，

I6)

而/⑷=1,得sin2A--

I6)

：.2A--=2lai+-.kEZ,

62

又Aw(O,兀)，得A=g.

VA+B+C=7t,•-C=--B,代入①化简得:

3

石sinB+—

sinB+sinI-3-B—sinB+—cosfiI6)

b+c222sin(A+wJ,

sinAsinAsinA

又在锐知AABC中，有OvBvC,

2

又0<C=@—8<巴，­--<B<兀.兀_7i2TT

3262363

h+c

V3<----<2

<sinB+即:a

【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三处方程或三角函数式，从而解决三角函数

中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.

变式拓展

6.在A48C中，内角A3,C的对边分别为a,b,c,且向量

/w=(cos(A-Z?),-sin(A-B)),w=(cosZ?,sinB),若相〃=3.

5

(1)求sinA的值；

12)若a=4立,b=5,求函在阮方向上的投影.

典例引领

典例7一质点受到平面上的三个力R、£、R(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态。已知£、£成63。

角，且R、£的大小分别为2和4,贝J£的大小为。

【答案】2币

【解析】由题意知由3=-(E+£),IIEl=出+>|,

/.I£|2=闾2+|网2+2I£II£|cos60。=28,

I户31=2币.

变式拓展

7.在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船正沿与水流垂宜的方向以8km/h的速度航行，则船自身航行

的速度大小为krr；h.

、亨点冲关充

1.已知向量。=W5o),b=Q，-2),且a1(a-2b\则x=

A.-WoB.~2

在

C.A/3D.2

2.己知向量a=(—1,2),)=(3,4),则不一°•〃二

A.0B.—1

C.2或一2D.-

2

3.已知共点力F=(1g2,1g2),E=(1g5,1g2)作用在物体M上，产生位移炉(21g5,1),则共

点力对物体做的功/为

A>1g2。Bolg5

C.1D.2

4.设向量风〜满足同=2\b\=2且|2a+3bl=1,则向量a在向量b方向的投影为

A.—2，B.-1

C.1Do2

5.已知向量。=(2,-1),，=&7),则下列结论正确的是

A.alb，。B.a//b

C.aA-(a-b),D。a_L(a+8)

6.已知向量a=(2,/),/>=(-1,3),若的夹角为钝角,则f的取值范围是

22

A./<一。Bot>-

33

2

C»，(二且zw-6。D.t<-6

3

utu,_,________

7.在矩形A8CZ)中，AB=4,|AD|=2.若点A/,N分别是CZ),“C的中点，则宿・丽=

A。4。。B.3

Co2oDo1

8.在AA8C中，ZA=90°,AB=bAC=2,设点。、E满足而=2而，AE=(l-2)AC(2GR),

若丽而=5，则2=

A.—。B.2

3

9

C.-D.3

5

9.AA8C中，设人»=。,阮=〃,诬=力，若。(。+。一方)〈0,则八48。是

A.直角三角形Bo锐角三角形

C,钝角三角形。D.无法确定其形状

10.已知向量。、b为单位向量,且。+力在〃的方向上的投影为立+1,则向量〃与力的夹角为

2

11.已知向量a=(x-lt2)tb=(2,1),则“x>0”是“a与b的夹角为锐角”的

Ao充分不必要条件。B.充要条件

C。必要不充分条件。D.既不充分也不必要条件

12.已知AABC是边长为2的等边三角形，〃为平面/应■内一点，则用.(M+*)的最小值是

3

A.--B.—2

2

4

c.---ooD<,-1

3

13.已知点A(3,0),4(0,3),C(cosa,sina),若彳乙元=一1，则sin(a+()的值为

2B丘

32

c.2

D.

32

14.已知。是AA8C内部一点,而+而+玩=0,而配=2且4MC=60°,则△Q3C的面积为

立

A.3BoA/3

A/32

C.TDo3

15.平面直角坐标系中，i,j分别是与4轴、y轴正方向同向的单位向量，向量。=2i,b=i+j,则以

下说法正确的是

A.同=例。B.[a-b)Lb

C.ab=\®I),a//b

16.已知q.e?是互相垂直的单位向量,向量。=3q，力=61+62,则。•力=_____________o

17.平面向量Q与人的夹角为45。，|b|=l,则|。+2bl=_________.

18.已知。=(3,4),，=(八-6),且。，力共线，则向量。在力方向上的投影为.

19。如图，在矩形A8CO中，AB3,8c=2,点七为8c的中点，点尸在边CO上，且而=2而，

则屏•前的值是.

20.在平行四边形ABCO中，48=4,4。=2,而・而=4,点2在边8上，则Q.定的取值范围

是.

21.设向量。=(cosa,sina),〃=(cos/7,sin£),其中0＜。＜尸＜兀，若|Zz+力|=|。一2万|,则

22.已知向量力行与用的夹角为12。。,且两=2,两=3。若力广=尢5+而，且力户18乙则实数2的值

为.

______I______2

23.在平行四边形A8CO中，AB=a,AD=b,CE=—CB,CF=—CD.

33

(1)用表示正；

⑵若同=1州=4,ZZMB=6O°,求工.屈的值.

24.如图，在四边形。BCD中，而=2前，0A=2ADtLD=90°,且|前|二|而|=1.

(1)用瓯丽表示而:

(2)点P在线段48上，且/1B=3/1P,求cos乙PCB的值。

直通高考

1,(2019年高考全国I卷理数)已知非零向量a,6满足|。|=2|川，且(a—，)_L6,则a与方的夹角为

兀

6

57r

2.(2019年高考全国II卷理数)己知池:(2,3),*=(3,t),阮=1，则福.配二

A.-3B.-2

C,2D.3

30（2018新课标全国H理科）已知向量”，b满足1。1=1,ab=-\,贝ija•（%-/>）=

A.4。B.3

C.2。D.0

4.（2019年高考北京卷理数）设点4属。不共线，则“箭与衣的夹角为锐角”是if\AI3+AC\>\BC\"

的

A,充分而不必要条件。B.必要而不充分条件

C.充分必要条件。Do既不充分也不必要条件

2

5.（2018新课标全国I理科）设抛物线C:/=4*的焦点为£过点（-2,0）且斜率为一的直线与C交于M

3

N两点,则丽.丽二

A.5。B.6

C.7D.8

6.（2018浙江）已知a,b,e是平面向量，e是单位向量。若非零向量a与e的夹角为冷，向量6满足8一

4e・6+3=0,则|&fI的最小值是

Ao6一1。B.73+1

C.2D.2y

7.（2017新课标全国II理科）已知△/BC是边长为2的等边三角形，夕为平面ABC内一点，则

24•（尸耳+区）的最小值是

3

Aj-2®B.-----

2

4

C.-----®D.—1

3

8.（2017北京理科）设曲,〃为非零向量，则“存在负数;I,使得m=相”是的

A.充分而不必要条件。Bo必要而不充分条件

C.充分必耍条件。Do既不充分乜不必要条件

9.（2019年高考全国III卷理数）已知a"为单位向量，且a・炉0,若c=2。一A，则8S〈a,c）=

1Oo（2019年高考天津卷理数）在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2瓜4。=5,Z4=30°,

点E在线段CB的延长线上,且工E=的，则BD-AE=.

11.（2017新课标全国I理科）已知向量a,b的夹角为60。，|a|=2,lbl=l,则|a+2。|=_

12.（2017天津理科）在AABC中，N4=600,A8=3,AC=2.若前=2尻，荏=兄祝一

eR）,且AD-AE=—4»则丸的值为________________•

13。（2017山东理科）已知q,e2是互相垂直的单位向量，若&「e2与q+&2的夹角为60°，则实数4的值

是_____________

14.（2017浙江）己知向量a,6满足时=1,网=2,则|a+b|+|a-目的最小值是__________,最大值是

15。（2019年高考江苏卷）如图，在△A8C中，〃是瓦、的中点,夕在边/出上，游2£力，与6交于点。。

若於小6和配，贝嘿的值是

我参考答案.

变式拓展

1.【答案】C

【解析】在平行四边形48co中，AB〃CD、=（2,-2）,AD=（2,1）,

贝J*=46+高=（4,-1）,。月=八月-4万=（0.-3）,

!iljXC-DB=4x0+(-l)x(-3)=3.

故选c.

2。【答案】B

【解析】如图所示,

菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°,

/.ZC=120°,5Z)2=22+22-2x2x2xcos120°=12,

，8Q=，且/BDC=30°,

:.BDCD=\BD\x\CD\xcos30°=2&2又4=6,

故选B.

3.【答案】(一;,2)U(2,+8)

【解析】与b的夹角为钝角,

••.。^<0,即(-2,-1)(/1,1)=-24-1<0,

2

又当。与力反向时，夹角为1刖。，即4-〃二一1。11川，则"I1=石"TL解得N=2.

应该排除反向的情形，即排除2=2,

于是实数4的取值范阐为(-g,2)U(2,+8)°

【误区警示】依据两向量夹角6的情况，求向量坐标中的参数时，需注意当夹角为0°时，cos，=l>0；

当夹角为180°时，cos6=-l<0,这是容易忽略的地方。

1

4。【答案】2

【解析】二配一=t(08-0/1),

得0苒=tOB4-(1-t)OA=(2-2t,2t),

2

国=4t2=42(t-91

+2

11

当时,年无|有最小值2.

5。【答案】B

【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示,

(0<x<1

0<y<1

/+y2=i

设点p（%，y）,则

f=(孙)f=(1,0)■*=(0,1)

0P,0A,。8

•(-)=x-y

OP0AOB

由图形可知，当％=。/=1时，上式取得最小值是一L

故选B.

6o【解析】(1)in-n=-,cos(A-B)cos^-sin(A-^)sin£?=-,

55

-3

5

I-----------4

乂A为AABC的内角，「.sinA=，1-COS2A=-

（2）在AABC中，由正弦定理二£一=上，得华=工，，sinB=@,

sinAsinB4sjnB2

5

8vA.5为锐角，cosZ?=71-sin2B=—,

2

3

由余弦定理"=h2+c2-2bccosA»32=25+c~-2x5xcx—,

解得c=7或c=-l（舍去）。

•••丽在阮方向上的投影为c-cos8=述.

2

7.【答案】475

【解析】如图，而代表水流速度，衣代表船自身航行的速度,而至代表实际航行的速度，所以有

|AC|=|BP\=\IAB+AP=麻""=厢=4百，所以船自身航行的速度大小为4石km/h。

专题冲关

1.【答案】D

【解析】・・・。=(々，。),b={x,-2\Aa-2b=(\/3-2x,4),

=在

又a1(a-28),.，./(逆-2x)=0-2.

故选D.

2.【答案】A

【解析】因为。=(-1,2),6=(3,4),

所以。2=,『=i+4=5,a-6=-lx3+2x4=5,

所以。2一。.)=5-5=0。

故选A.

3.【答案】D

【解析】由题意，共点力E=(ljj2,182),区=(】jj5,1g2)作用在物体“上，共合力为K4•户

2=(1,21g2),产生位移s=(21g5,1),则共点力对物体做的功竹(£+区)•S=2lg5+2】g2=2.

故选D.

4.【答案】A

【解析】由题意可知：同=2网=2,,则|2。+3bl2=4。2+12。/+9『=1=>同80夕=等二一2.

故选Ao

5.【答案】D

【解析】选项A：«^=2xl+(-l)x7=-5^0,所以选项A错误；

选项B：.・・。不平行于6,所以选项B错误：

选项C：〃一》=(l,-8),因为〃♦(〃一加=(2,-1)-(1,-8)=10工0,所以选项C错误：

选项D：a+b=(3,6),因为。•(“—3=(2,-1>(3,6)=0,所以选项D正确,

故选D.

6.【答案】C

【解析】若〃，力的夹角为钝角，则且不反向共线，

2

由〃•力=-2+3/<0,得/<—.

3

当向量。=(2,1),力=(-1,3)共线时，2x3=-f，得f=-6,此时Q=-2/T

所以/<2且/工_60

3

故选C.

7。【答案】C

【解析】由题意作出图形，如图所示：

由图及题意,可得：AM=AD+DM=AD+-AB,

2

MN=CN-CM=-CB--CD=--BC+-DC=--AD+-ASf

222222

...M丽=(而+g通)而+；砌=_g.|砌2+；.|研=_；x4+；x]6=2.

故选C.

8.【答案】D

【解析】因为NA=90。、所以福.衣=0,所以86Cz5=(Ag-A8)・(4Z5-A(?)

=[(1-2)45-/^](2715-40)=-(1-2)46^-/1/45：=^(1-2)-^=3^-4.

由已知，32—4=5,则2=3.

故选I).

9.【答案】C

[解析】因为c•(c+。-b)=AB■(AB+BC-CA)=2AB-AC=2\AB\­|/IC|cos71<0,所以cos/1<0,则为

为钝角，AA8C是钝角三角形.

故选C.

10.【答案】A

【解析】设向量。与〃的夹角为。，

因为向量。、方为单位向量,n.〃+力在。的方向上的投影为立+i,

2

所以(。+方)等+1),

即1+。•力=+1,则。•方=1X1xcos0=cos0=—,

22

又owew兀、所以。二=，

6

故选A。

11.【答案】C

【解析】若a与b的夹角为锐角，则。乃>0,且Q与b不平行，所以a乃=2%>0,得*〉0,且

x-ly4,x^5,所以“％>0”是"a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.

故选C.

12.【答案】A

【解析】以4c为x轴，以4。边上的高为y轴建立平面直角坐标系，如图,

y

则A(0,网,

,uiruirmu「(、八3

设P(X,y),贝UPA(PB+PC)=2A2+2y2-2y/3y=2A2+2y-~

、2J2

所以当x=O,y=立时，方•(而十定)取得最小值一白。

22

故选A.

13.【答案】C

【解析】vAC=(cos«-3,sina),BC=(cos^,sina-3),

\AC1BCcosa(cos«-3)+sina(sin«-3)

=cos2«-3coscr+sin2a-3sina

=1-3(sina+costz),

2

则sina+cosa=—，

3

x\s.m昵HJ--=-拉--/(s•ina上+co*a、)=以!—2叵,

獭42233

故选C.

14.【答案:IA

【解析】由①f+而+玩=。可知点〃是AABC的重心，S.=-S^,

4—iloxlJiVC3*—BC

________一_1且

又说而=|画麻曲60°=2,所以I画版1=4,则SM8C」SWC=3,

3

故选A.

15«【答案】B

［解析】由题意不妨设i=(l,O)J=(O,l),

贝］a=2i=(2,0),=i+j=

据此逐一考查所给的选项：

同=,4+0=2,网=J1+1=也,则同工也|,选项A错误;

。-力=(1,-l),(a-b)b=(L-1)(1,1)=0,则(a-b)1仇选项B正确:

a-b=(2,0)(1,1)=2,则a•力工1,选项C错误：

不存在实数入满足a=2"则。〃人不成立，选项D错误.

故选B.

16.【答案】2

【解析】由题得“1=(3,-62)“£+0)=3+0-0—1=2.

17.【答案】闻

【解析】由。=(1,-1),得|。|=也,

又Wl=1,且向量。与人的夹角为45

•••(a+2b产=|a|2+4|a||b|cos45°+41bl2=2+4x^/2xlx—+4=10

|a+2h\=\/10o

18.【答案】一5

g

［解析］由。与b共线得：3x(-6)-4r=0,解得：/=一万.

.・向量。在b方向上的投影为：14cos(a1)

4

19.【答案】-

［解析】以4为原点，A8为x轴，A。为)，轴，建立平面直角坐标系,

如4(0,0),石(⑸18(应Q),陪立2

...荏=(⑸)，而二卜("21

.•，通.阱=二+2=±

33

?5~

20。【答案】0,—

_4_

【解析】因为点。在边上，所以设由=7反=/1丽(0K/IW1),

则衣=布+方=5+2而,定=(1-2)通，

(QA275

=(l-2)4+2(l-A)xl6=-1622+12/1+4=-^42-1j+亍，

-----------25

又OW/IWI,所以0V4PPC4一，

4

'25'

故答案为0,——

4o

21。【答案】-

2

【解析】将|%+以=|。一2"的两边平方并化简可得，3(a2-b2)=-Sah.

又丁。，方是单位向量，，。6=0,即85。以后夕+$巾。$111夕=0,即cos(/?-a)=0,

又,.•()＜。＜/＜兀，，力一。二/。

12

22.【答案】—

7

【解析】由题意可得丽•无=。，即(入册+沅)・(前-而)=0,

整理得后2+(A-l)4/?-/fC-A而2=0,

因为向量入反与力下的夹角为120。,且两=2,两=3,

1

9+(A-l)x2x3x(--)-4A=012

所以2，，解得义=匕。

7

-------------------9--------1-9----1----91

23【解析】(1)EF=CF-CE=-CD--CB=--A6十一A£＞=—-a^-b.

O333333

(2)•.,同=1,同=4,ZDA/?=60°.

/.a-^=|a|-|ft|-cos60o=2。

由图可得：AC=Al3+Ai5=a-b•

2，1乂1/2216)

.•.衣.丽=(“+力=­a~+—ab-b~=--1------=—4.

333333

3

24.【解析】(1)因为西=2而，所以丽=掬.

__b_,_,,_,__3_3_

因为而二2前，所以而=而+而+而=2B04-^AO+0B=-^-OB.

(2)因为乙方-2B6,所以。8II8。

因为羽=2而，所以点。,4。共线。

因为乙。=90。,所以乙。=90。0

以°为坐标原点，。力所在的直线为%轴，建立如图所示的平面直角坐标系。

因为|而|二|而|=1,cb=2B0,0A=2AD^

所以A(2,0),B(0,l),C(3,2),

所以比=(1,2)和=(-2,1).

因为点P在线段48上，旦/1B=3/1P,

_1一21

AP=-AB=(-~^)

所以333,

一一一55

CP=/1P-/1C=(----)

所以33。

因为乙B=(-3,-1),

5

CPCB^+3_2x/5

:

所以cosN尸C8=他•冏飞夕加一三

3

直通高考

lo【答案】B

【解析】因为(。一切_L6,所以