高考数学《计数原理》备考策略

高考备考策略分析之

——计数原理

2017年起四川高考数学将使用全国卷，这里对全国卷的特点进行

一些分析，供大家参考.

一、考试大纲修订内容解读

2017年普通高考考试大纲在对学生的知识要求，能力要

求，个性品质要求，考察要求上作了详细说明外，还对以下

两个方面进行了修订：

1、在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性

的要求，增加了数学文化的要求。同时对能力要求进行了加细说明，

使能力要求更加明确具体。

【解读】增加了数学文化的要求是最“抢眼”的描述，这一点，在近几

年的全国卷中已经存在，举例说明如下：

1）.2016年新课标H卷理科选择题第8题（文科第9题）程序框图

是结合中国古代计算多项式的值所采用的秦九韶算法；

2）.2015年新课标I卷选择题第6题（文理）采用《九章算术》的

原题计算“估算出堆放的米有多少斛mw”；

3）.2015年新课标H卷选择题第8题（文理）程序框图是结合《九

章算术》中的“更相减损术”；

4）.需要说明的是这些题难度一般不大，涉及范围更广，不仅仅局限

在《九章算术》，还有《周髀［叨算经》、《孙子算经》、埃及的纸

草书等方面。

2、在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余2个

选考模块的内容和范围都不变。考生从“坐标系与参数方程”“不等式选

讲”2个模块中任选1个作答。

【解读】这个考点，如平行线切割定理、射影定理，初中学习程度好

的考生也可以解答，放在高考本来就是“鸡肋”，删去可以减轻高考考

生的负担。

特别注意修订1

二、考试大纲对计数原理部分的要求

L分类加法计数原理、分步乘法计数原理

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单

的实际问题.

2.排列与组合

(1)理解排列、组合的概念.

⑵能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

⑶能解决简单的实际问题.

3.二项式定理

(1)能用计数原理证明二项式定理.

(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

三、四川卷与全国卷对比分析

1.四川卷在对计数原理部分(不含概率综合)的考察分值对比见下表:

201420152016

四川卷101010

全国卷2555

全国卷1555

2.2014—2016四川卷与全国1卷，全国2卷在对计数原理部分（不

含概率综合）的卷面分布对比见下表：

201420152016

四川卷选2,选6选6,填11选2,选4

全国卷2填13填15选5

全国卷1填13选10填14

3.2014—2016四川卷与全国1卷，全国2卷在对计数原理部分（不

含概率综合）的知识点考察分布对比见下表：

201420152016

四1、二项式定理：1、排列，组合（分1、二项式定理（结

求展开式中一的类，分步，计算）合复数）:求展开式

川系数中含一的项

2、排列，组合（分2、二项式定理：求2、排列，组合（分

卷类，分布，计算）展开式中犬项的系类，分步，计算）

数

全二项式定理：利用二项式定理：利用

国己知系数求二项展开式中奇数次塞分步计数原理

卷2式中参数a的值项的系数之和求二

项式中参数a的值

全二项式定理：求展二项式定理：求展二项式定理：求展

国开式中人与的系开式中一），5的系数开式/的系数

卷1数

通过对2014-2016年四川卷与全国卷1，全国卷2的对比可发现,

四川卷在三年来变化不大，中规中矩。选择题均出现在1-6,填空题

出现在11题，主要考察学生对基础知识的理解和掌握。排列组合问

题偏重于分类，分布问题的综合考虑。二项式定理偏重于对展开式中

项与项的系数的求解。重点考察学生的运算求解能力，属基础题，得

分概率高。全国卷2在2014年和2016年均出现在试卷的基础题部分,

难度不大，得分概率高。2015年出现在填空题15题，从试题本身和

卷面分布方面看较2014.2016年难度有所噌加。能力考察方面与四川

卷相同。全国卷1在2014-2016均考察的是二项式定理中展开式含鼎

次项的系数，看似变化不大，但从试题本身难度均在四川卷和全国卷

2之上。值得注意的是2015年全国卷2的试题结构和2014年全国卷

1相似（（2015全国2.理填15）.（。+幻（1+幻4的展开式中x的奇数次基项的系数之和为

32,则。=.）;（（2014全国1.理填13）（x-y）（x+y）8的展开式中fy勺系

数为.）.

四、典型例题分析

7

典例1、（2014全国2.理填13）（x+cj°的展开式中，X的系数为15,则0=.（用

数字填写答案）

【答案】2

【解析】。拉7a3=15x7C温3=15,a=g.故a=g.

考点：二项式定理.

典例2(2例5全国2.理填15).伍+尤)(1+幻4的展开式中x的奇数次幕

项的系数之和为32,则”.

【答案】3

【解析】试题分析：由已知得(l+x)4=l+4x+6x2+4d+d,故(a+x)(l+x)4

的展开式中x的奇数次幕项分别为4ar,W,x,6?,丁，其系数

之和为4。+4a+1+6+1=32,解得a=3.

考点：二项式定理.

典例3(2016全国2.理选5)如图，小明从街道的E处出发，先到F

处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小

明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(A)24(B)18

【解析】B

Ef”有6种走法，尸fG有3种走法，由乘法原理知，共6x3=18种走法

故选B.

考点：分步计数原理

五、本班在计数原理部分的复习侧重点

加强对基础知识的理解和掌握，关注易误点的处理

1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

⑵会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单

一易误点

(1)切实理解“完成一件事”含义，以确定需要分类还是需要分步

进行.

(2)分类的关键是要求做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确

设计分步的程序，即合理分类，正确分步。

2.排列与组合

⑴理解排列、组合的概念.

⑵能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

⑶能解决简单的实际问题.

一易误点

(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序

有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关.

⑵计算A时易错算为〃(/7—1)(〃-2)…(刀一加.

3.二项式定理

⑴能用计数原理证明二项式定理.

(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

一易误点

⑴通项”+1=《目一方是展开式的第k+1项，不是第4项.

(2)(4+6)〃与⑺+协”虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是

不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量力的位置不能颠倒.

⑶易混淆一项式中的“项”“项的系数”“项的一项式系数”等概念,

注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指

C(k=O,1,…，〃).

六、2017年备考建议

“结合考试大纲和近几年高考形势看，靠题海战术备战数学高考是行

不通的。”14,15与16年高考数学命题淡化了繁琐运算，体现三个

特点：注重对学