福建省长乐中学2022-2023学年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.如果角。的终边在第二象限，则下列结论正确的是

A.cosa>0B.sin2cr<0

C.sina<0D.tan2a>0

2.集合A=x"<2'<2,B

=｛A:|X2-5X+6>0),则AB间的关系是()

A.A\JB=R

C.AnB=0D.AuB=B

3.已知函数/'(x)=asinx-Gcosx的图象关于直线大二一生对称，且/(%>/3)=-4,贝!)|玉-工"的最小值为

6

()

71

A.-B.—

63

吟D.兀

log2x,x>0

4.已知函数/(x)=<，则的值是°

3。x<0

A.-9B.9

1

c.-lD.-

99

5.如果直线ax+(l—。))，+5=0和(l+a)x—y—。=。同时平行于直线x-2y+3=0,则a,b的值为

A.a=—yb=0B.a=2,Z?=0

2

C.a=­=0D.&=--,b=2

22

6.集合｛0,1,2｝的所有真子集的个数是

A.5B.6

C.7D.8

7.a,△是两个平面，m，〃是两条直线，则下列命题中错误的是()

A.如果〃!_!_〃，tn±a,n10,那么a工B

B.如果"zua,all[31那么〃”/尸

C.如果。D£=/,mHa»〃”/万，那么加〃/

D.如果〃!_!_〃，tnLa>B,那么a_LQ

8.已知函数/(x)=°—log>,则八*)的零点所在的区间是()

x

A.(0,1)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,4-oo)

9.若方程x2+ax+a=0的一根小于・2,另一根大于・2,则实数a的取值范围是()

A.(4,+oc)B.(0,4)

C.(-oo,0)D.(-8,0)U(4,+8)

10.sin20cos701-cosl60cos20°=()

A.1B.-l

c4书

11.己知函数f(x)=x-er的部分函数值如下表所示:

X10.50.750.6250.5625

0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函数/")的一个零点的近似值(精确度为0.0D为。

A.0.55B.0.57

C.0.65D.0.7

12.log3[log4(log5x)]=0,贝ijx=()

A.64B.125

C.256D.625

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13.下列说法中，所有正确说法的序号是

①终边落在)'轴上的角的集合是｛。|0二手，kjZ｝；

②函数y=2cosx-J图象与x轴的一个交点是：，0；

③函数y=sinx在第一象限是增函数；

(4)44

④若cosa4—=—,则sin(%一a)=一

12J55

14.函数f(x)=bg2(xF),则f(3)=

15.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与

听课时间工(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的图象，当为£(0,12］时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶

点410,80),过点8(12,78)；当xe［12,40］时，图象是线段BC,其中。(40、50).根据专家研究，当注意力指数大于

62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为.(写成区间形式)

16.已知0<4<1欢声()，函数若函数g(x)=/(x)—Z有两个零点，则实数左的取值范围是

o+l,x<0

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.已知扇形的圆心角是。，半径为广，弧长为/.

(1)若a=135,r=10,求扇形的瓠长/；

(2)若扇形AO6的周长为22,当扇形的圆心角。为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最

大值.

18.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带

来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金20

万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入。与

各自的烫金投入4,4(单位；万元〉满足P=8。।41西，1120.设甲大棚的资金投入为x(单位；万元),

每年两个大棚的总收入为了（X）（单位：万元）

（1）求“50）的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入/（尢）最大

19.已知函数/（%）="2+版xw[0,2],其中〃<0,b>0.

（1）若4a+bN0,求函数/*）的最大值；

9

（2）若f（x）在10,2]上的最大值为一，最小值为—2,试求。，人的值.

8

cos(7F+«)cosatan(乃-a)

20.已知/（。）=

tan(—a)cos(2;r+a)

（1）求/g的值;

(2)若a£(0,4)且+求sin2a—cosa的值

5f

21.近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地A3C（如图所示）,

其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形O8ED4G和EC尸,

其中。E与。G、麻分别相切于点力、E,且。G与麻无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设B。长为工（单

位：百米），草坪面积为s（单位：万平方米）.

（1）试用x分别表示扇形D4G和O3E的面积，并写出工的取值范围；

（2）当*为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.

22.已知函数/（x）=Asin（公1+。）（4>0,3>0,冏<〃），它的部分图象如图所示.

y

(1)求函数的解析式;

(2)当xc时，求函数/⑶的值域.

1乙1L

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、B

【解析】由题意结合三角函数的性质确定所给结论是否正确即可.

【详解】角。的终边在第二象限，则cosa<0,sina>0,AC错误；

sina-2sincrcostz<0,"正确；

当a=150时，2a=300',tan2a<0,给错误

本题选择5选项.

【点睛】本题主要考查三角函数符号，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和汁算求解能力.

2、D

【解析】解指数不等式和一元二次不等式得集合48,再判断各选项

*、

【详解】由题意A="x"v2’<2，=[X|-3<JIV1},B={xf-5工+62()}={x[/<2或xN3),

所以AqB,即=g

故选：D

【点睛】本题考查集合的运算与集合的关键，考查解一元二次不等式，指数不等式，掌握指数函数性质是解题关键

3、D

【解析】由辅助角公式可得/（工）=〃sinA-Gcos=〃7T5siMx-。）tanQ=，），由函数“X）关于直线工=-今

对称，可得一£一°=&4+1,可取e=f.从而可得a=l,由此结合/（%）•/（工2）=-4，可得/（%）、/（9）一

623

个最大值一个最小值，从而可得结果.

【详解】•//（X）=asinx-y/3cosx,

/（x）=as\nx-\/3cos=\!a2+3sin（工一。）tan。=­j,

,/函数/（x）=asinx-J5cos关于直线1=一生对称，

6

TC,7C

y氏+万,

即9=-攵乃一与，keZ,故可取0=（

故tm\（p=6=^~,a=\f

即可得：/（x）=2sin^x-yj.

・・,/a）/（w）=Y，

故可令/（再）=一

2,/（X2）=2,

7C..7t7C._717T__5乃_,,,11r

/.x=2k由,x,=2k、i+—即％=+2k、兀,x,二---h2k、1,其中k、,k、eZ,

32-3'2f6~6-

1%一七京二不，

故选〃

【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题.

27r冗

由函数）'=Asin（的+0）可求得函数的周期为同；由公5可得对称轴方程；由。工+夕=女不可得对称中

心横坐标.

4、D

【解析】根据题意，直接计算即可得答案.

［详解］解：由题知，/^=log2A=-2,=

故选：D

5、A

【解析】由两直线平行时满足的条件，列出关于。涉方程，求出方程的解即可得到的值.

【详解】•••直线⑪+（1-/2）），+5=0和（1+。）%—），一人=0同时平行于直线.1一2）・+3=0,

解得。=-!力=0,故选A.

2

【点睛】本题主要考查两条直线平行的充要条件，意在考查对基础知识的理解与应用，属于基础题.

6、C

【解析】集合｛0,1,2｝中有三个元素，因此其真子集个数为23-1=7.

故选：C.

7、D

【解析】A.由面面垂直的判定定理判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；I）.由平面与

平面的位置关系判断；

【详解】A.如果mJ_〃，〃z_La,〃！/,由面面垂直的判定定理得。，故正确；

B.如果〃?ua,a/中,由面面平行的性质定理得加〃/，故正确；

C如果。0夕=/,mHa.mlip,由线面平行的性质定理得团〃/,故正确；

D如果〃?_L〃，mlatn//p,那么a,〃相交或平行，故错误；

故选：D

【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.

8、C

【解析】先判断出函数的单调性，然后得出/（3）,/（4）的函数符号，从而得出答案.

【详解】由），=£在（0,+。）上单调递减，＞=10824在（0,+8）上单调递减

所以函数/(x)=2-log?X在(。，+8)上单调递减

入

43|

X/(3)=2-log23=log2->0,/(4)=--log24=--<0

J乙乙

根据函数人x)在(O,y)上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3,4)之间存在零点.

故选：C

9、A

【解析】令/(x)=f+方+〃，利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式/(一2)<。求解即可.

【详解】令/(x)=f+"+〃，

・・,方程犬+ar+〃=0的一根小于一2,另一根大于一2,

.\/(-2)<0,即(一2)2-2〃+4<0,解得々>4,

即实数。的取值范围是。>4,故选A.

【点睛】本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系，数形结合思想在一元二次函数中的应用，是基本知识的考查

10、A

【解析】直接利用诱导公式和两角和的正弦公式求出结果

【详解】sin200cos70°-cos16()°cos20°=sin20°cos700+cos2()°sin70°=sin90O=1,

故选：A

11、B

【解析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.

【详解】函数=在R上单调递增，

由数表知：/(0.5)</(0.5625)<0</(0.625)</(0.75)</(I),

由零点存在性定义知，函数/(x)的零点在区间(0.5625,0.625)内，

所以函数/")的一个零点的近似值为0.57.

故选：B

12、D

【解析】根据对数的运算及性质化简求解即可.

【详解】vlog3[log4(log5x)]=o,

10g4(10g5x)=l,

/.log5x=4,

,-.X=54=625

故选：D

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13、②④

【解析】取值验证可判断①；直接验证可判断②；根据第一象限的概念可判断③；由诱导公式化简可判断④.

【详解】①中，取攵=2时，0的终边在x轴上，故①错误;

②中,当工二—时，y=2cos(----------)=2cos—=0,故②正确；

4442

③中,第一象限角的集合为{x|2A%<x<5+2&］#wZ},显然在该范围内函数y=sior不单调;

乃44

④中,因为cos(a+—)=-sina=一-,所以sina=一,

255

4

所以sin(4-a)=sina=g,故④正确.

故答案为：②®

14、2

【解析】利用对数性质及运算法则直接求解

【详解】:,函数f(x)=log2(x2-5),.*.f(3)=log2(9-5)=log24=2

故答案为2

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题

15、(4,28)

【解析】当xe(0,12］时，设/*)=］(1-10)2+80,把点(12,78)代入能求出解析式；当工［12,40］时，设)，="+"

把点8(12,78)、0(40,50)代入能求出解析式，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.

详解】当(0,12］时，S/(x)=a(x-10)2+80,

过点(12,78)代入得，〃=一!

2

则f(x)=-1(X-10)2+80,

当x£(12,40］时，

设丁=4工+儿过点耳(12,78)、C(40,50)

A=-1

得・即y=-x+90,

[b=90

0<x<12

12<x<40

由题意得,或！

-^(X-10)2+80>62[-x+90>62

得4V烂21或12<x<28,

所以4VxV28,

则老师就在(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，

故答案为：(4,28)

【点睛】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用，属于中档

题

16、(0,1)

【解析】由题意函数g(x)=/(x)一%有两个零点可得g(x)=/。)-攵=0,

得f(x)=%，令丁=%与》=/(x),

作出函数y=%与y=八外的图象如图所示：

由图可知，函数g(x)=/(x)-Z有且只有两个零点,

则实数k的取值范围是(0,1).

故答案为：(0,1).

【点睛】本题考查分段函数的应用，函数零点的判断等知识，解题时要灵活应用数形结合思想

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

(2)当a=2时，扇形面积最大值Sm豕=7.

【解析】(1)利用扇形弧长公式直接求解即可；

22

(2)根据扇形周长可得。=--2,代入扇形面积公式，由二次函数最值可确定结果.

r

【小问1详解】

・.・口=135'=至，...扇形的弧长/=。/=至、10=”三；

442

【小问2详解】

2?

•••扇形408的周长L=2〃+/=2〃+ar=(a+2)r=22,/.a=—-2,

1,f11',,

..扇形4。8面积S=7a广=----1广=一厂+11小

2\r)

则当”旦,s=旦

八J=，?，“max4

121

即当a=2时，扇形面积最大值Sgx=T.

4

18、(1)/(50)=277.5;(2)当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大.

【解析】(D根据题意，可分别求得甲、乙两个大棚的资金投入值，代入解析式即可求得总收益.

(2)表示出总收益的表达式，并求得自变量取值范围，利用换元法转化为二次函数形式，即可确定最大值.

【详解】(1)当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚资金投入为150万元，

则由足尸=80+4廊，Q=；4+120

可得总收益为/(50)=8()+472x50+；x15()+12()=277.5万元;

(2)根据题意，可知总收益为

/(x)=8()+4怎+：x(200-x)+120

=」x+4居+250

4

^>20

满足,解得20WE80,

200-x>20

令/=石/£[2技6向,

所以/(1)=一；/+4万+250

=-l(r-8x/2)-+282,/£126,6句

因为80£〔26,66］,

所以当/=80即x=l28时总收益最大，最大收益为282万元,

所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大，最大收益为282万元.

【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，分段函数模型的应用，二次函数型求最值的应用，属于基础题.

19、(1)="2)=4。+2/2(2)a=-2tb=3.

【解析】(1)根据条件得对称轴范围，与定义区间位置关系比较得最大值(2)由/(0)=()得对称轴必在［0,2］内，即

得“X)皿=/(一()，且/(x"n=/(2)，解方程组可得明〃的值.

试题解析：解:抛物线的对称轴为工二-二，

2a

(1)若%+〃N0,即久=一上~22

2a

则函数“X)在［0,2］为增函数，/(A-)(KIX="2)=4〃+»

(2)①当一上~<2时，即6<-4〃时，

2a

当X=时，〃力="与-绊看=)〃。)=。，"2)=4。+力

2ak2。J4a2a4a8

••/(A-)miI1=/(2)=4a+2h=-2t

1

a=-2

~~4a~S,解得，或.；(舍，.•.。=-2,b=3.

b=3

4a+2b=-2b=-一

4

②当一上时，即824时,

2a

/(“在［0,2］上为增函数，/()加=/(0)=0与〃61伽二一2矛盾，无解,

综上得：a=-2tb=3.

I31

20、(1)——；(2)—.

225

【解析】(1)利用诱导公式化简可得/(，)=-cosa,代入数据，即可求得答案.

(2)根据题意，可得sina+cosa=£,根据左右同时平方，利用sine士cosa,sinacos。的关系，结合。的范围,

即可求得sina和cosa的值，即可求得答案.

(-cosa)cosa{-iana)

【详解】（1）利用诱导公式化简可得/（。）=----------------------=—COSCtf

(-tana)cosa

71兀\

=-cos—=——

32

71\_

(2)因为/(")+/不一。

\乙5

所以5"8代一"11

-,即sina+cosa=一,

55

两边平方得l+2sinacosa=-!-,

25

er24

所以2sinacosa=——,

25

49加,49

1—2sinacosa=—,即(sina-cosa)~=—,

2525

24

因为2sinacosa=----<0,oce(O,^-),

25

所以aeg,乃），所以sina-'cosa〉。,

7人|

所以sine-cos<z=—,结合cosa+sina=—,

,43

解得sin<z=—,cosa=—-9

55

16331

故sin%一cosa=——(―-)=—

25525

4万、

2XG

21、（1）S血形0匐=£<2-幻2,SmDf!E=yXt（1,V3J；（2）x二六时，草坪面积最大，最大面积为

6'63I

万平方米.

【解析】（1）因为所以可得三个扇形的半径，圆心角都为?，由扇形的面积公式可得答案;

（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.

【详解】（DBD=x,则=AD=AG=EC=FC=2-xf

在扇形£>3E中，OE的长为（x,

c17To71

所以S画形/袖=5'刀厂=工厂，

23o

同理,S图形/MG=/x耳x（2-x）-=%（2-x）-.

・；与仔7无重叠，