高考数学试卷(理科)(含答案解析)

四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.

I.（5分）（2020•四川）已知集合A={x|x2-x-2<0},集合B为整数集,则AnB=（）

A.{-I,0,2）B.{-2,-I,0,I}C.{0,1}D.{7，0}

2.（5分）（2020•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）

A.30B.20C.15D.10

3.（5分）（2020•四川）为了得到函数y=sin（2x+l）的图象，只需把y=sin2x的图象.上所有的点（）

A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度

22

C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行一定1个单位长度

4.（5分）（2020•四川）若a>b>0,c<d<0,则一定有（）

A.B.—bC.D.-b

——

cdcddcdc

5.（5分）（2020•四川）执行如图所示的程序框图,若输入的x,yWR,那么输出的S的最大值为（）

C.2D.3

6.（5分）（2020•四川）六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有

）

A.192种B.216种C.240种D.288种

7.（5分）（2020♦四川）平面向量干（I,2）,b=（4,2）,c=ma+b（mGR）,且c与&的夹角等于c与b的夹

角，则m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

8.（5分）（2020•四川）如图，在正方体ABCD-AIBICIDI中,点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上,

直线OP与平面AiBD所成的角为a,则sina的取值范围是（）

呼竽D.［等，］］

9.(5分)(2020•四川)已知f(x)=ln(1+x)-In(1-x),xG(-1,1).现有下列命题:

①f(-x)=-f(x)；

②f(，Z_)=2f(x)

1+x2

③If(x)k2|x|

其中的所有正确命题的序号是()

A.①②③B.②③C.①③D.①②

10.(5分)(2020•四川)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，QA*QB=2

(其中O为坐标原点)，MAABO与&AFO面积之和的最小值是〔)

A.2B.3C.1772D.V10

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

9-9；

II.(5分)(2020•四川)复数/八=.

12.(5分)(2020♦四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x曰-1,1)时，f(x)

J-4J+2,-Kx<0，则f(g)=____________.

x,0<x<l2

13.(5分)(2020•四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67。，30%此时气球

的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67%0.92,

cos67°M.39,sin370-r0.60,cos37^0.80,加日.73)

14.(5分)(2020•四川)设mGR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,

y).贝UFA卜|PB|的最大值是.

15.(5分)(202()•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数中(x)组成的集合:

对于函数4)(X),存在一个正数M,使得函数巾(x)的值域包含于区间［-M,M］.例如，当巾i(x)=x1巾2

(x)=sinx时，(j)i(x)GA,巾2(x)6B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)WA〃的充要条件是“Vb£R,BaGD,f(a);b”；

②函数f(x)GB的充要条件是f(x)有最大值和最小值：

③若函数［(x),g(x)的定义域相同，且f(x)EA,g(x)GB,则f(x)+g(x)CB.

④若函数f(x)=aln(x+2)(x>-2,aGR)有最大值，贝ljf(x)GB.

x+1

其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)(2020•四川)己知函数f(x)=sin(3x+—).

4

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若a是第二象限角，f(工)=&os(a+—)cos2a,求cosa-sina的值.

354

17.(12分)(2020•四川)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，

要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现•次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获

得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为工，且各次击鼓出现音

2

乐相互独立.

(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率

统计的相关知识分析分数减少的原因.

18.(12分)(2020•四川)三棱锥A・BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M,N分别为线段AD,AB的中

点，P为线段BC上的点，且MNJ_NP.

(I)记明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

19.(12分)(2020•四川)设等差数列｛an｝的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2*的图象上(nGN*).

(1)若ai=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列｛a"的前n项和Sn；

(2)若ai=l,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2--L,求数列｛0｝的前n项和

ln2bn

Tn.

22

20.(13分)(2020•四川)已知椭圆C：(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点

a2b,2

构成正三角形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P：Q.

①证明：OT平分线段PQ(其中。为坐标原点)；

②当昌最小时，求点T的坐标.

21.(14分)(2020•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bGR,e=2.71828...为自然对数的底数.

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间［(),1］上的最小值；

(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,I)内有零点，求a的取值范围.

四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（5分）（2020•四川）已知集合A={X|X2-X-24）},集合B为整数集，则AcB=（）

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0，1}D.{-L0}

考点：交集及其运算.

专题：计算题.

分析：计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.

解答：解:A={x|-l<x<2},B=Z,

/.AnB={-1,0,1,2}.

故选：A.

点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考杳题,

一股都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.

2.（5分）（2020•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）

A.30B.20C.15D.10

考点：二项式系数的性质.

专题：二项式定理.

分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第什1项，令K的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求

解即可.

解答：解：（1+x）6展开式中通项T什尸C6「x「，

令r=2可得，T3=C62X2=15x2,

（l+x）6展开式中X2项的系数为15,

在X（1+X）6的展开式中，含x3项的系数为：15.

故选：C.

点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.

3.（5分）（2020•四川）为了得到函数y=sin（2x+l）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）

A・向左平行移动2个单位长度B•向右平行移动」个单位长度

22

C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行一定1个单位长度

考点：函数y=Asin（u）x+4））的图象变换.

专题：三角函数的图像与性质.

分析：根据y=sin（2x+l）=sin2利用函数丫二A$而（UJX+9）的图象变换规律，得出结论.

解今：解：/y二sin（2x+l）=sin2（x+-i）,「.把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动,个单位长度,

即可得到函数y=sin（2x+l）的图象，

故选：A.

点评：本题主要考查函数y二Asin（3X+。）的图象变换规律，属于基础题.

4.（5分）（2020•四川）若a>b>0,c<d<0,则一定有（）

_a>_bB.j<_bC._a>_bD.2V也

cdcddcdc

考点：不等式比较大小；不等关系与不等式.

专题：不等式的解法及应用.

分析：利用特例法，判断选项即可.

解答：解：不妨令a=3,b=l>c=-3,d=-1,

则且二一1，—=-b二•A、B不正确；

cd

且=-j,K-l,

dc3

「.C不正确，D正确.

故选：D.

点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.

5.（5分）（2020•四川）执行如图所示的程序框图,若输入的x,yeR,那么输出的S的最大值为（）

C.2D.3

考占.程序框图.

专题:计算题；算法和程序框图.

分析:

算法的功能是求可行域y>0内,目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的

x+y<l

坐标，求出最大值.

解答:x)0

解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值,

x+y<l

画出可行域如图:

当［x-1时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.

Iy=0

故选：C.

点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关

键.

6.（5分）（2020•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有

（）

A.192种B.216种C.240种D.288种

考点：排列、组合及简单计数问题.

专题：应用题；排列组合.

分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.

解答：解：最左端排甲，共有A^=120种，最左端只排乙，最左端不能排甲，有C；A；=96种,

根据加法原理可得，共有120+96=216种.

故选：B.

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.

7.（5分）（2020•四川）平面向量展（I,2）,b=（4,2）,（m€R）,且工与W的夹角等于3号E的夹

角，则m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

考点：数量枳表示两个向量的夹角.

专题：平面向量及应用.

/分:-•_

由已知求出向量C的坐标，再根据C与3的夹角等于C与b的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，

解方程可得答案.

解答：口，-

解：:向量干（I，2）,b=（4,2）,

—•—•—•

c=ma+b=（m+4,2m+2）,

又7与W的夹角等于W与E的夹角，

—♦—♦—#"♦

.c*a_c*b

"IcMalIcMbf

—♦—•—♦―«

.c♦a_c♦b

一市而

,nri-4+2（2nH-2）_4（irH-4）+2（2ird-2）

"飞诟

解得m=2,

故选：D

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.

8.（5分）（2020•四川）如图，在正方体ABCD-AIBICIDI中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC上,

直线OP与平面AIBD所成的角为a,则sina的取值范围是（）

C.必，空D.

，1]

考点:直线与平面所成的角.

专题:空间角.

分析:与•再

由题意可得：直线OP于平面AiBD所成的角a的取值范围是[/AOAl，—]U[ZCiOAr

2

利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.

解答:

解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角a的取值范围是[/AOA1，—]u[ZCiOAr—]•

22

不妨取AB=2.

在RsAOAi中，sin/AOAi二82/--4---近-------

1A1°V22+(V2)2"T

sinZCiOAi=sin(K-2ZAOAi)=sin2ZAOAi=2sinZAOAicosZAOA|=9

333

sirryL

」.sina的取值范围是[夸，1].

点评:本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.

9.(5分)(2020•四川)已知f(x)=ln(1+x)-In(1-x),xG(-1,I).现有下列命题：

①f(-x)=-f(x)；

②f(^)=2f(x)

l+x?

③If(X)|>2|X|

其中的所有正确命题的序号是()

A.①②③B.②③C.①③D.①②

考点：命题的真假判断与应用.

专题：函数的性质及应用.

分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可

得答案.

解答：解：.「f(x)=ln(1+x)-In(1-x),xe(-1,1),

/.f(-x)=ln(1-x)-In(1+x)=-f(x),即①正确：

QOH

f(—^)=ln(l+—-ln(l-—?Z_)=ln(x+2x+1)-In(—2?1)=加(*+2「+])=ln[(AtL)

l+x?1+x21+x2l+J1+x2X2-2X+1IP

2]=2ln(」±^)=2[ln(1+x)-In(1-x)]=2f(x),故②，正确；

1-x

当x£[0,1)时，|f(x)|>2|x|<=»f(x)・2x20,令g(x)=f(x)-2x=ln(1+x)-In(1-x)-2x(x£[0)

I))

•「g(x)=-L+—L_-2=2y2>0>.*.g(x)在[0,1)单调递增，g(x)=f(x)-2x>g(0)=0,

-2

1+x1x1-x

又f(x)>2x,又f(x)与y=2x为奇函数，所以If(x)I22IxI成立，故③正确；

故正确的命题有①②③，

故选：A

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.

1（）.（5分）（2020•四川）己知F为抛物线丫2=乂的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，0川0B=2

（其中。为坐标原点），则△ABO与△AF0面积之和的最小值是1）

A.2B.3C.17V2D.V10

8

考点：直线与圆锥曲线的关系.

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及

正•丽=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.

解答:解：设直线AB的方程为：x=ty+m,点A（xi,yi）,B（X2,y2）,直线AB与x轴的交点为M（（0,

m）,

%=ty+m

由<2=y2-ty-m=0,根据韦达定理有yi”2=-m,

y^=x

0A・0B=2,xi*x2+yi*y2=2,从而（y/y2）2+yj

,点A,B位于x轴的两侧，yi*y2=-2,故m=2.

不妨令点A在x轴上方，则yi>0,又F（工，0），

4

SAABO+SAFO=-1X（『"|

A2X-y2）XXyy[:3.

当且仅当的1$即y】亭，取“=”号，

△ABO与^AFO面积之和的最小值是3,故选B.

点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：

1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消无，这是处

理此类问题的常见模式.

2、求二角形面积时，为使面积的表达式他单，常根据图形的特征选择适当的底与高.

3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等〃.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

9-9；

11.(5分)(2020•四川)复数士_£1=-2i.

1+i------

考点：复数代数形式的乘除运算.

专题：数系的扩充和复数.

分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.

解答：解，更数2-2i_(2-2i)(l-i)_2X(-2i)一2；

,(1+i)(1-i)2B

故答案为：-2i.

点评：本题主要考会两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.

12.(5分)(2020•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x£[-1,I)时，f(x)

J-4>2+2,-l<x<0,则f(乜)=|.

|x,0<x<l2

考点：函数的值.

专题：计算题.

分析：由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f(心)的值转化成求f(工)的值.

22

解答：解：•••f(x)是定义在R上的周期为2的函数，

2

f审=f(-^)=-4X(-A)+2=l.

乙乙乙

故答案为：1.

点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在

高考中，属于“送分题

13.(5分)(2020•四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67。，30%此时气球

的高是46m,则河流的宽度BC约等于3_m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：疝67。=0.92,

cos670=0.39,sin370=0.60,cos370=0.80,立=1.73)

考点：余弦定理的应用：正弦定理；正弦定理的应用.

专题：应用题；解三角形.

分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D,分别在RtAACD、ABD中利用三角函数的定义，算

出CD、BD的长，从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度.

解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D,

则RtAACD中，ZC=30°,AD=46m

CD=_存79.58m.

tan30

又•「RtAABD中，ZABD=67°,可得BD=—o=46XQ.39^(95m

tan670.92

...BC=CD-BD=79.58-19.5=60.08=60m

故答案为:60m

点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形

的知识，属于中档题.

14.(5分)(2020•四川)设mGR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,

y).则IPAI・IPBI的最大值是5.

考点：点到直线的距离公式.

专题：直线与圆.

分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PAJ_PB；再利

用基本不等式放缩即可得出|PA|・|PB|的最大值.

解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0),

动直线mx-y-m+3=0即m(x-I)-y+3=0,经过点定点B(I,3),

注意到动直线x+niy=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

则有PAJLPB,/.|PA|2+|PB|2=|AB|2=1O.

故|PA|・|PB|4〔「AI+|PB]_=5(当且仅当|PA|二|PB|二代时取":")

2

故答案为：5

点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直"这一特征是本题解答的突破口，从而有

|PA『十|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵

活的好题.

15.(5分)(2020•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数中(x)组成的集合：

对于函数4)(x),存在一个正数M,使得函数小(x)的值域包含于区间[-M,M].例如，当巾i(x)=x>4)2

(x)=sinx时，巾I(x)WA,4)2(x)GB.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D,则"f(x)€A"的充要条件是“Vb€R,3aGD,f(a)=b〃；

②函数f(x)GB的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)GA,g(x)EB,则f(x)+g(x)£B.

④若函数f(x)=aln(x+2)+―9一(x>-2,aGR)有最大值，则f(x)€B.

x2+l

其中的直命题有①⑶④.(写出所有真命题的序号)

考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域.

专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.

分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中

函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.

解答：解：(1)对于命题①

“f(x)WA”即函数f(X)值域为R,

"VbWR,3aeD,f(a)=b〃表示的是函数可以在R中任意取值，

故有：设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)€A”的充要条件是"Vb€R,3aGD,f(a)=b"

命题①是真命题；

(2)对于命题②

若函数f(x)GB,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[-M,M].

-M<f(x)£M.例如：函数f(x)满足-2Vf(x)<5,则有-54(x)<5,此时，f(x)无最大值,

无最小值.

命题②"函数f(x)GB的充要条件是f(x)有最大值和最小值.〃是假命题；

(3)对于命题③

若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)GA,g(x)GB,

则f(x)值域为R,f(x)e(-+8),

并且存在一个正数M，使得-MVg(x)4M.

f(x)+g(x)6R.

则f(x)+g(x)WB.

命题③是真命题.

(4)对于命题④

函数f(x)=aln(x+2)+—1一(x>-2,aGR)有最大值，

J+1

「•假设a>0,当x->+8时，——--->0,In(x+2)aln(x+2)贝ij[(x)与题

x2+l

意不符；

假设a<0,当x->・2时，---,In(x+2)aln(x+2)则f(x)与

x2+l5

题意不符.

a=0.

即函数f(x)-(x>-2)

x2+l

当x>。时，W0<f(x)<|

X

当x=0时，f(x)=0；

xJ4-2.，一£《’7<Q即-gf(x)<0-

当xVO时,

X—乙

「•一~^<f(x)即f〔X)€B.

故命题④是真命题.

故答案为①③④.

点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算

量较大，也有一定的思维难度，属于难题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)(2020•四川)己知函数f(x)=sin(3x+—).

4

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若a是第二象限角，f(―)=&os(a+—)cos2a,求cosa-sina的值.

354

考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性.

专题：三角函数的求值.

分析：(1)令2kn-Hax+Edkn+E,kGz,求得x的范围，可得函数的增区间.

242

(2)由函数的解析式可得f(工)=sin(a+—),又f(工):生os(a+—)cos2a»可得sin(a+—)

343544

二且os（a+—）cos2a,化简可得（cosa-sina）2=—.再由a是第二象限角，cosa-sina<0,从而求

544

得cosa-sina的值.

解答：解：(1)二,函数f(x)=sin(3x+—),令2kn--2L<3x+—<2kn+—,kGz,

4242

求得&2L-Evxv&ZL+E,故函数的增区间为[也L-2L,&2L+3，kez.

343123431Z

(2)由函数的解析式可得f(&)=sin(a+—),又f(工)=-ios(a+—)cos2a,

34354

sin(a+—)=—cos(a+—)cos2a,即sin(a+—)=-ios(a+—)(cos2a-sin2a),

454454

sinacos-^-+cosasin-^=-^(cos2a-sin2a)(sina+cosa).

445

又a是第二象限角，cosa-sina<0>

当sina+cosa=()时，此时cosa-sina=-^J~2-

当sina+cosa*0时，此时cosa-sina=-

2

综上所述：cosa-sina=-加或--.

2

点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题.

17.（12分）（2020•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，

要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获

得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为上且各次击鼓出现音

2

乐相互独立.

（I）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率

统计的相关知识分析分数减少的原因.

考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.

专题：概率与统计.

分析：（1）设每盘游戏获得的分数为X,求出对应的概率，即可求X的分布列；

（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.

（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.

解答:解：(1)X可能取值有-200,10,20,100.

则P(X=-200)=c?(工)0(13」,

3、228

P(X=10)=rl(1)L(1-1)小乜

、228

P(X=20)=p2(1)2(]_«!)1=乜，

“、2s28

P(X=100)=c3(1)Z」，

故分布列为：

X-2001020100

P22乜」

由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=2+2」=二

88V8

则至少有一盘出现音乐的概率P=I-c；（I）°（i-1）3m.

由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（-200）X」+I0X2+20X£Jx|00=-四-至.

888^84

这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分

数相比，分数没有增加反而会减少.

点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.

18.（12分）（202（）•四川）三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M,N分别为线段AD,AB的中

点，P为线段BC上的点，且MN_LNP.

（1）证明：P是线段BC的中点；

（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角.

专题：空间向量及应用.

分析：（I）用线面垂直的性质和反证法推出结论，

（2）先建空间宜角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A-NP-M的余弦值.

解答：解：（1）由三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A-BCD中：

平面ABDJ•平面CBD,AB-AD-BD-CD=CB-2

设O为BD的中点，连接OA,OC

于是OA_LBD,OC±BD所以BDJL平面OAC=BD_LAC

因为M,N分别为线段AD,AB的中点，所以MNIIBD,MNIINP,故BD_LNP

假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线

从而BD_L平面ABC,这与/DBO60。矛盾，所以P为线段BC的中点

（2）以O为坐标原点，OB，OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A（0,0,加），M（-1，O,一亚），N（X0,爽），P（i近，0）

222222

于是就二弓，0,喙）»PN=（0,零，零）»MN=（1,0,0）

设平面ANP和平面NPM的法向量分别为孟二（X1，yrzj和彘（x2,y2,Z2）

一一一近％=0

由森贝性任JE则—D

2y2+22-u

x2=0

?•歹u,则,

由，V3«，设z2=l,则港(o,1,1)

PN・n=0"^■y2+Tz2=0

CCS一、=m・n2-V1C

所以二面角A-NP-M的余弦值Y亚

5

点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用,解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步

骤，属于中档题.

19.(12分)(2020•四川)设等差数列｛an｝的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2*的图象上(neN*).

(1)若ai=-2,点(as,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列｛a“的前n项和Sn；

(2)若ai=l,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-」，求数列｛亘｝的前n项和

ln2bn

Tn.

考点:数列的求和；数列与函数的综合.

专题:函数的性质及应用；等差数列与等比数歹IJ.

分析:

(1)由于点(a8,4b7)在函数f(x)=2X的图象上，可得bn二2*口，又等差数列｛an｝的公差为d,利用