高考数学圆锥曲线和解题技巧

椭圆与双曲线的性质

椭圆

1.点P外的切线PT平分△PFR在点P处的外角.

2.PT平分△PFM在点P级的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

72

X"）广X\XV

5.若外（题，）’0）在椭圆r+K=l上，则过凡的横国的切线方程是一号+*=1.

croo

厂V*

6.若4（%，％）在柚圆二+==1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为R、Pz，则切点弦PR的直线

ab~

方程是辫+誓”

a~b~

厂V-

7.梢圆r+K=l（a>b>0）的左右焦点分别为R，Fz，点P为椭圆上任意一点/月尸乙=/，则樵圆

a~h~

的焦点角形的面积为b2tan.

SAFIPF2=

v-2v2

8.椭圆，i;=1（a>b>0）的焦.半径公式：

a~b~

\MFX\=a+exQt\MF21=。-%（£（-c,0）,一（c,0）

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应

于焦点F的椭圆准线于M'N两点，则MFXNF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与梅圆交于两点P、Q,Ai、Az为椭圆长轴上的顶点1Mp和A2Q交于点M，1小

和AiQ交于点N，则MFJLNF.

x2y2b2

11.AB是椭圆r+K=l的不平行于对称轴的弦，M（%,）7）为AB的中点，则就.一一,

ab~a~r

即…年。

，jy°

2222

12.若兄（%,丁0）在椭圆—y+2=I内'则被Po所平分的中点弦的方程是+=+

ab-ab~ab

2222

13.若《（不）,）b）在椭圆r+F~=1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是r+=上-+*工

a-lra-b-a-b~

双曲线

1.点P欠的切线PT平分Z\PF岛在点P欠:的内角.

2.PT平分△PFR在点P欠的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除

去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.以焦点半径PR为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

若^（/，先）在双曲线二

5.y1（a>0,b>0）上，则过R）的双曲线的切线方程是

ab2

纪_血=1

/b2

22

xv

6.若《（小,），0）在双曲线r--T=l（a>0,b>0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、

a'b~

P2♦则切点弦P.P2的直线方程是=

a~b~

xy

7.双曲线r-tr=l（a〉0,b〉o）的左右焦点分别为W?2，点P为双曲线上任意一点/耳户工=y，

a~b"

则双曲线的焦点角形的面积为S邛/七=ty.

x~）广

8.双曲线今1（a>0,b〉o）的焦半径公式：（”（—c,0）,5（c,0）

a~h2

当加（%0，%）在右支上时♦\MFy\=exQ+a,\MF2\=ex0-a.

当M（Xo，），o）在左支上时*\MF]\=-exi）+a,\MF2\=-ex｛）-a

9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ

分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF_LNF.

10.过双曲线一个焦,支、F的直线与双曲线交于两点P、Q,ArAz为双曲线实轴上的顶点、，AP和A々交

于点M»A2P和AiQ交于点N，则MF±NF.

22

11.AB是双曲线0-当=1（a〉0,b〉0）的不平行于对称轴的弦，M（Xo，y°）为AB的中点，则

ab-

X

“K即心

"o

若《（%,%）在双曲线（）内•则被所平分的中点弦的方程是

12.=-2=1a>0,b>0Po

ab~

），°y_域）,。2

a~b~a~b~

.V

13.若＜）（-%，儿）在双曲线r=1（a>0,b>0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

a"

22

xy=xQxyQy

b2crb2,

椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）

椭圆

厂

1.椭圆/1力=1（a>b>。）的两个顶忌为A（a,0）,4（a,0），与y轴平行的直线交帏圆于R・

P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是——=1.

a"b~

XV

2.过椭圆r+=h=l（a>0,b>0）上任一点4%，）’0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C

a"b~

两点、•则直线BC有定向且*BC=(常数).

ay°

22

3.若P为椭圆二+2=1(a〉b〉O)上异于长轴端点的任一点，%是焦点，NPF\F,二a,

a~b~

/PF、F、-p，则——-=tan—cot—.

2'a+c22

x2y2

4.设椭圆r+g1=l(a>b>0)的两个焦点为Fi、Fz,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在

a-b~

sina

△PFE中，记N£P玲=a、4PF\F?=p,/%P=y，则有

sin夕+sin/a

5.若椭圆二十与=1(a>b>0)的左、右焦点分别为R、F2，左准线为L，则当0<eW&-l时，

a~b~

可在棺圆上求一点P，使得PR是P到对应准线距离d与PF?的比例中项.

XV"

6.P为椭圆-^-+—y=1(a>b>0)上任一点，Fi,Fz为二焦点，A为椭圆内一定点，则

a-b-

la-\AF21<|PA|+!/>/•\<2a+\AF,\f当且仅当A鸟，尸三息共线时，等号成立.

(X70)2()」方

7.桶圄=1与直线Ax+By+C=O有公共点的充要条件是

2

A2a2+B2b2>(AXQ+By。+C).

8.已知椭圆［+4=1(a>3>0)>0为坐标原点，P、Q为林圆上两动点，且OP_LOQ.(1)

a'b'

4og,6

1130P田叱的最大值为着k⑶s.的最小值是^

2

IOPIIOQF『b2

“22

9.过椭圆=+当=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分

a~b~

□IP用e

线交x轴于P，则^——L=-.

|MN|2

Xv

10.已知柚圆f+*=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交

crb

-„a2—b"a2-b"

于点尸(工0，°)，则---------<XO<------

22

11.设P点是椭圆'r+gr=l(a>b>0)上异于长轴端点的任一点，R、F?为其焦点记/七夕工=9,

a"b"

则⑴呼“也卜高.⑵ML的呜.

22

xv

12.设A'B是椭画r+-ra>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上的一忐，NPAR=a,

a~b~

乙PBA=B,Z.BPA=y，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有（1）|PA|二?」二夕•.（2）

a~-ccos~y

2〃2从

2

tanatan/?=1-^.(3)SSPAB=——7cot/.

b~-a'

已知棺圆J+春>=1（a>b>0）的右准线/与x轴相交于点E，过横圆右焦点尸的直线与椭

圆相交于A、B两点，点C在右准线/上，且8C_Lx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必

与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16.桶画焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为增点的焦半径之比为常数e（高心率）.

（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到桶阅中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）

双曲线

X2y2

1.双曲线二一*=1（a>0,b>0）的两个顶点为4（一。，°），4（。,0），与y轴平行的直线交

ab~

22

xv

双曲线于PiPz时AP与A2P2交点的轨迹方程是r+9=1.

a-b~

X2y2

2.过双曲线r一力=16〉。5〉0）上任一点人（%,），0）任意作两条倾斜有互补的直线交双曲

a~b~

及x

线于B,C两点，则直线BC有定向且怎c二一一1（常数）.

3.若P为双曲线'一当=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,R,F2是焦急,

a-b~

lc.c-aaPc-aBa、

NPF[F、=a,NPFJi=0，则-----=tan—cz>t—if或o------=tan—cc?t—).

c+a22c+a22

4.设双曲线’■一表■=1（a>0,b>0）的两个焦点为R、心,P（异于长轴端点）为双曲线上任

意一点，在△PFA中，记Z.F,PF2=a,NPF\F?=0,NgP=y，则有

sina

----------------=—=e

±(siny-sinft)a

22

5.若双曲线=一二=100,1）〉0）的左、右焦点分别为F>左准线为L则当l<eWj5+l

a'b~

时，可在双曲线上求一点P，使得PF】是P到对应准线距离d与PF?的比例中项.

xv-

6.P为双曲线二一一=1（a>0,b>0）上任一点,R,检为二焦点，A为双曲线内一定点，则

a~b~

\AF2\-2a<\PA\+\PFi\,当且仅当A鸟，P三点共线且P和A,鸟在y轴同侧时，等号成

立.

20

V*

7.双曲线七一*=1（a>0,b>0）与直线AT+By+C=0有公共点的充要条件是

crb~

A2a2-B2b2<C2.

22

Xy

8.已知双曲线r-r=1（b>a>0），0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且。尸_LOQ.

a'b~

（1）।J.+1二，一城；（2）IOP「+IOQ|2的戢小值为::；（3）Sg"的最小值是

a2b2

b2-a2,

9.过双曲线+■一*■=1（a>0,b〉0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN

IppIc

的垂直平分线交x轴于p，则三d=

IMN|2

22

10.已知双曲线3•一与=1（a〉0,b〉0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x

a-b-

轴相交于点P（M，°），则.2"+:或x（,«_a"

11.设P点是双曲线=一2=1（a〉0,b〉0）上异于实地端点的任一点，H、Fz为其焦点记

a~b~

Oh2y

NFFF,=e>W'KDI^IIPF.|=--------.（2）SMFF=bcolg.

1-cos<9Q2

X2y2

12.设A'B是双曲线r-一二1（8>04>0）的长轴两端点中是双曲线上的一点，NRA4=a,

crb~

NPBA=0,NBPA=y，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有

⑴心

(2)tanatan/?=l-^2.(3)S^cot/.

ABb2+a2

13.已知双曲线二一二二1（a>0,b>0）的右准线/与x轴相交于点£，过双曲线右焦点F的

a~b~

直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线/上，且3C_Lx轴，则直线AC经过线段EF的

中点.

14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点

的连线必与切线垂直.

15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径

互相垂直.

16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.

17.双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

图锋曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来父理

问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一.紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

，V

例1.已知点A（3，2），F（2，0），双曲线厂一」=1，P为双曲线上一点。

3

求|PA|+g|PF|的最小值。

解析：如图所示，

.•」PA\+-\PF\=\PA\+\PE\>AM=-

22

二.引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2.求共焦点F、共准线/的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线/的距离为p（定值），椭囿中心坐标为M（t，0）（t为

参数）

b-

'：p=—，而c=，

C

b2=pc=pt

再设稳圆短轴端点坐标为P（x，y），则

X=C=1

{y=b=/pt

消去t，得轨迹方程V=px

三.数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助致，

结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，善能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦

的问题。

例3.已知占），eR，且满足方程/+）3=3（>'>0），又〃?=2二3，求1n范,图。

x+3

解析：•「"2='上」的几何奇又为，曲线X-2+）3=3（y>0）上的点与点（-3，-3）连线的斜率，

x+3

如隆所示

展3,-3)

kpA<ffi<kPR

，工

22

四,应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”邈中的一些图形性质就和“平几”

知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4.已知圆（x—3）2+y2=4和直线），=，我的交点为P、Q，则QRQ。的值为。

解：•/\OMP〜bOQN

\OP\\OQi=\OMHON\=5

五.应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具》

2，

Xy-xV

例5.已知梢圆：—+77=1，直线/：二+5=1，P是/上一点，射线0P交椭圆于一点R，点Q

2416128

在0P上且满足|OQHOP|=|OR|2,当点P在/上移动时，求点Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上月的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线

的条件便可简便地解出。

->—>—>—»—>—>—>—>

解：如图，0。，OR»0P共线，设OR=20Q»OP=JLI0Q，OQ=(x>y)，则

―»-A

OR=(Zr,A,y)，OP=(少，py)

•.•I向苏二|俞

^\OQ\2=Ar\OQ\2

//=22

•.•点R在椭圆上，P点在直线/上

2416

x~yxy

即一+—=—+—

2416128

化简整理得点Q的轨迹方程为：

一+—=1(直线)，=-|x上方部分)

23

六.应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题

方法和技巧之一。

例6.求经过两圆—+6X-4=0和X?+)/+6y-28=。的交点，且圆心在直线不一)，-4二()

上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2+y2+6x-4+A(x2+y2+6y-28)=0

(\+A)x2+(1+Z)y2+6x+62y-(28A+4)=0

—3—3,

则圄心为(-----，------)，在直线x-y-4=0上

1+41+/1

解得A=-7

故所求的方程为x2+y2-x+7y-32=0

七.巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

V2

例7.过点A(2•1)的直线与双曲线;r2-==1相交于两点R、Pz，求线段PR中点的轨迹方程。

2

解:设一(再,弘)，鸟(占，y2),则

x,2-^-=l<1>

12

<

X，-且=1<2>

2

<2>一<1>得

(…)(…八…产)

加)'2一口_23+々)

%2-M乃+为

设RP?的中点为M(x0,%))，则

又k.\M=>0-1'而Pl'A'M、P2共线

/一2

2

/.P}P2中点M的轨迹方程是2.d-y-4x+)，=0

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题，1个填空题，1个解答题)，共计30分左右，考查的知

识点约为20个左右.其命题一般聚扣课本，突出重点，全面考查.选择题和填空题考查直线，圆，圆锥

曲线，参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组

与铤接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识，这

点值得考生在复课时强化.

例1已知点T是半圆0的直径上一点，AB=2OT=t(0<t<l)，以AB为直腰作直角梯形AAB'B，

使44'垂直且等于AT，使3星垂直且等于BT，4B'交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线N'Z?'的方程：(2)计算出点P、Q的坐标：

(3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.

济解：通过读图，看出4,*点的坐标.

(1)显然A(1J7),)(一1,1+“于是直线H夕

的方程为y=—tx+1；

X?]2,[_

)—'解出户(0,1)、0(^=^,-=—T)；

{y=-tx+v1+「1+,

(3)kPT=\^-=--

O-tt

由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗？

YV

例2已知直线1与椭圆r+'=1(。>〃>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求

a~b~

以线段SR为对角线的矩形0RPS的一个顶点P的轨迹方程•

游解：从直线/所欠的位置，设出直线/的方程，

由已知，直线1不过椭圆的四个m点，所以设直线1的方程为y=kx+,n(kH()).

代入椭圆方程力=a2b2,得b2x2+a2(k2x2+2knix+m2)=a2b2.

化简后，得关于X的一元二次方程(/父+〃2»2+2M。加+。2〃?2-4%2=0

于是其判别式△=(2hJ，〃)；:一4(“二2+/Xa2〃JJ).

由已知，得△=()•即标/+从=〃/.①

在直线方程)，=%X+〃？中，分别令y=0*x=0，求得R(-'.()),S(0.〃7).

k

m.y

x="-,k=--,

令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得k解得X

y=m.m=y.

代人①式并整理,得

4+4即为所求顶点p的轨迹方程•

方程式+忙=1形似横圄的标准方程，你能画出它的图形吗？

F），

例3已知双曲线「一二=1的离心率e=,过A（a,O）,B（O,一。）的直线到原点的距离是更.

a~b~32

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y=kx+5（k工0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

rK,abab_y/3

讲解：■/(1)三=口±,原点到直线AB：t—W=i的距离&=/，”+/”=工=亏..

ci3ab7a+/?乙

.b=a=V3.

故所求双曲线方程为E_V2=|

3z.

(2)把y=Ax+5彳弋入“2-3_y?=3中消去y，整理得(1-3Z:2)A2-3()^-78=0.

设C(xp弘),D(X2,y2),C£＞的中点是E(xQ,y0),则

A；+x,15k,_5,%+11

-------=--------T•y(»=kx。+5=------T,=------=----.

21-3A:2"°\-3k2BEk

15k5k、

/+*%+2=0,即-----、H--------2+4=0,又kO,k2=7

1一3k〜1—3k-

故用求k=±、万.为了求出％的值，需要通过消元，想法设法建构k的方程.

洌4已知椭圆C的中心在原点，焦点R、l在乂轴上，点P为椭圆上的一个动点，且NWPFz的最大值

为90,直线1过左焦点R与椭圆交于A、B两点，△ABFz的面积最大值为12•

（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程•

济解：（1）设I尸甲二小|尸入1=4/匕&1=2c,对△/半尸2，由余弦定理，得

cos“PF、=if/=（。+，）=2,泾-4/=4a之5-4/一।=1一22=°'

-22”24G2”-2（…2）2

解出e=2

2,

（2）考虑直线/的斜率的存在性，可分两种情况：

i）当k存在时，设1的方程为），=&（x+c）...........①

22l

椭圆方程为+==1.由0=变得〃2=2;2万=。2,

a'b~2

于是椭圆方程可转化为x2+2y2-2c2=0..................②

将①代入②，消去），得/+2/口+。2-2/=0,

整理为X的一元二次方程，得（1+2公）./+4以2*+2C2（K2-1）=0.

2缶川+公,

则、是上述方程的两根•卫|也...f.T7..2亚c(l+k),

XIX2-A-1I-|八BD|=Jl+A\xy-Xf|=,

1+2公1+2k

厂也可这样求解：、

AB边上的高〃=|F、F,|sinF、=2cx>川,

2

gkS=glKEI“M-乃I

ST国信）舟2c

=2信塔聆2后后L后

।

ii）当k不存在时，把直线x=-c代入椭圆方程得了=±芋＜?,|八8|="?,5=5丘乂岳2

2

由①②知S的最大值为岳2由题意得我/=12所以/=6收=/a=\2＞/2

故当△ABFz面积最大时梢圆的方程为：v,r

12后6百

下面给出本题的另一解法，请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：x=my-c①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

椭圆的方程为：*》WC3）

由“

.得：”2=2C2,/=C2,于是械圆方程可化为：X2+2V2_2C2=0……②

2

把①代入②并整理得：。〃2-2）/-2/ncy-c:0

于是X，％是上述方程的两根,

22亍2c2+402(^2+2)_2缶(1+”/)

I4§1=yl(^-x2)+(y-y2)=Jl+>Iy2-y,1=4^

〃/+2nr+2

2c

AB边上的高/3-―,

Vl+/n2

I2V2c(l+m:)

从而S=；|AB|AI=­X-------；---------X(--2--c----

2m'+2VI+w'

2

当且仅当m=0取等号，即Smax=42c.

由题意知岳2=12,于是b-=c2=6>/2,a2=12>/2.

故当AABF?面积最大时椭圆的