高考复习数学多维层次练33

多维层次练33

［巩固提升练］

1.已知数列也,乖,2^2,Vn,…，则2布是这个数列中的（）

A.第6项B.第7项

C.第19项D.第11项

解析：设也，下,小,班1,…构成的数列为｛〃〃｝,易归纳出数

列｛斯｝的一个通项公式为,令2下=啦5=弋3〃-1,解得n

=7,所以2点是这个数列的第7项，故选B.

答案：B

2.定义函数/（X）如下表，数殖斯｝满足斯+尸/（飙），

若41=2,贝!!41+。2+〃3+…+〃2019=（）

X123456

/（X）354612

A.7043B.7059

C.7064D.7263

解析：因为由=2,且对任意〃£N*,都有斯+1=/(呢)，所以

Q2=f(«1)=f(2)=5,d3=fCa2)=f(5)=1,a4=f(«3)=f

(1)=3,a5=f(。4)=/(3)=4,as=f(aD=f(4)=6,aj=f

(06)=/(6)=2,可知数列｛〃〃｝为2,5,1,3,4,6,2,5,1,…，

数列｛〃”｝是周期为6的数列，且01+42+03+44+05+46=21,故fli

+02+03+…+。2019=336X(〃1+。2+〃3+〃4+〃5+。6)+。1+〃2+。3=

7056+2+5+1=7064•故选C.

答案：C

a1

3.已知数列｛“〃｝满足01=2,。〃+1=--,则02019=()

A.-lB.O

C.lD.2

a

解析：因为a〃+i=〃I所以或+1=1—；，因为«i=2,(12

UnUn

=1-1=1,〃3=1-2=-1,44=1+1=2,所以02019=〃673x3=a3

=-l.

答案：A

4.已知数列｛。〃｝的通项公式为。“=粤，若QiXzX…XQ”《ai

XzX…XQA对〃CN*恒成立，则正整数4的值为()

A.5B.6

C.7D.8

解析：因为,所以当后5时，an>l;当心6时，斯vl.

由题意知，QIXGZX…X°A是｛呢｝的前n项乘积的最大值，所以k=

5.故选A.

答案：A

5,已知S〃是数列｛斯｝的前〃项和，且S〃+S〃+i=a〃+i,则此数列

是()

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

解析：因为S〃+S〃+i=a〃+i,所以当〃22时，S〃-i+S〃=a〃，两

式相减得斯+a〃+i="什L〃〃，所以〃“=0(〃22).当〃=1时，〃1+

(,a\+ai)=〃2,所以“1=0,所以。〃=0(/iGN*).故选C.

答案：C

6.设函数f(x)=｛(3—。)x-3,x&7,ax-。x>7,数列｛〃“｝

满足斯=/(〃)，〃£N*,且数列｛斯｝是递增数列，则实数〃的取值范

围是()

C.(1,3)D.(2,3)

解析：因为数列｛。〃｝是递增数列，呢=/(〃)，〃£N'，

3—Q>0,

所以彳a>l,解得2VQV3.故选D.

/(8)>f(7),

答案：D

7.已知数列｛〃“｝满足-3=1,。4/1=3,a2n=an(«eN*),则。2

018+。2019=.

解析：由题意得〃2018=/009="4x253-3=1,。2019=«4x505-l=3,

所以«2018+«2019=1+3=4.

答案：4

8.在数歹U｛斯｝中，m=l,为+1=3。〃+2,则它的通项公式为

=•

1।

解析：因为。“+1=3斯+2,所以。〃+1+1=3即:上

".。2+1内+104+1斯+1+1

=3,所以赤=3,^+7=3=3,由这些

an+l

a〃+i+lttn+i+1

等式相乘得=3〃.因为〃1=1,所以=3〃，即a”+i=2X

〃i+l1+1

3〃一1,所以〃〃=2X3Li-l(〃22),又〃1=1也满足上式，所以数

列｛为｝的通项公式为〃〃=2X3〃r-L

答案:2X3〃r-l

1

9.已知数列｛斯｝中，斯=13a£R且QW

a+2(w—1)

因为a〃=//-5〃+4=（〃-m一今由二次函数性质，得当〃=2

或〃=3时，0“有最小值，其最小值为02=。3=-2.

（2）由斯+i>a〃，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式

2

an=n+kn+4f可以看作是关于n的二次函数，考虑到〃£N*,

k3

所以一解得A>一3.

所以实数A的取值范围为（-3,+oo）.

［综合应用练］

1L设曲线/（X）（〃£N"）在点（L1）处的切线与x轴

的交点的横坐标为X”，则X/X2・X3・X4.....X2020等于（）

_1_

A2020nB,2020

C辿D，

v,2021u2021

解析：由/（x）=f巾得/（x）=（〃+l）炉，切线方程为y-1

=（w+1）（X—1）,令y=0得x”=h，故X-X2・X3・X4.........X2O19=；X

?X…x辿

320212021-

答案：D

12.（2020•安徽江淮十校第三次联考）已知数列｛斯｝满足如尸

=2,m=20,则手的最小值为（）

A.4^5B.4V5-1

C.8D.9

解析：由。“+1—知：“2—41=2X1,43-42=2X2,—,

an-an-i=2（71—1）.。22,

以上各式相加得q“一ai=〃2—〃，〃22,所以〃〃=〃2—〃+20,

〃N2,

当〃=1时，的=20符合上式,

所以友=〃+为一1,〃£N*,

nn99

所以〃W4时詈单调递减，心5时片单调递增,

因为号=号，所以华的最小值为号=仔=8,故选C.

答案：c

13.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成

的（如图），其中。41=442=4⑼3=3=474=1,记。4i,OA2f

Oh,…，。小的长度构成的数列为｛〃〃｝8）,则｛〃〃｝的通

项公式斯=（〃£N",，W8）.

解析：根据题意：04=4142=4汹3—・=474=1,所以冠=

ai-i+1（〃22）且届=1,所以｛忌｝是以1为首项，1为公差的等差

数列，所以屈=〃，斯=5.

答案：血

14.在数列｛。”｝中，。1=3,a〃+1=。“+〃（〃+1），贝U。2=>

通项公式a〃=.

解析:由已知,

因为斯+|一诙=〃（〃；i）+禽,

所以ai—a\—\—~z,

Li

所以以上(〃-1)个式子累加可得，an—。1=1—

因为。1=3,所以a”=4—7

答案：\T

15.设数列｛〃“｝的前〃项和为S〃,数列｛S〃｝的前〃项和为T〃,满

足T〃=2S〃一〃2,neN*.

(1)求41的值；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

解：(1)令〃=1,Ti=2Si-l,

因为Ti=Si=g,所以〃i=2m—1,所以〃i=L

(2)〃、2时，T„-I=2SH-I­(/<-1)2,

22

则Sn=T,—TM-I=2SW—?J—[2Sw-i—(zi—1)]=2(S〃-S〃一i)一

2〃+l=2a“一2〃+l.

因为当〃=1时，Q1=S1=1也满足t•式，

所以S“=2a〃-2〃+l(〃£N)

当〃》2时,Sw-i=2an-i-2(〃-1)+1,

两式相减得an=2an—2a,i-1—2,

所以斯=2a〃—i+2(〃22),

所以a〃+2=2(dn-i+2),

因为由+2=3丰0,

所以数列｛斯+2｝是以3为首项，2为公比的等比数列.

所以斯+2=3X2”r,

所以斯=3X2〃r-2,

当〃=1时也成立，

所以斯=3义-2.

［拔高创新练］

16.大衍数列来