北京市朝阳外国语2024届高三一诊考试数学试卷含解析

北京市朝阳外国语2024届高三一诊考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

91

1.已知实数。1满足a+Q5,则的最小值为（）

3+2及R3+4女3+2夜D.2

15.------------

4466

若tana=1,则cos"=()

2.

2

4343

B.--C.—D.-

5555

3.设机，〃均为非零的平面向量，贝心存在负数义，使得而=而”是“加而＜0”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件I）.既不充分也不必要条件

4.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在.起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作

业本的概率为（）

]_18

BD.—

7-7c135

5.已知i为虚数单位，复数z满足z-（l-i）=i,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知等差数列｛《｝的公差为・2,前〃项和为S.,若外,%，牝为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为12（）。,

则S”的最大值为（）

B.11C.20

7.若复数z满足(l+3i)z=(l+i)2,则|z|=()

A百B石「Vio

452

8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将I到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，

则该数列各项之和为()

A.56383B.57171C.59189D.61242

9.方程2<>-1)sin乃x+1=。在区间［-2,4］内的所有解之和等于()

A.4B.6C.8D.10

10.己知函数/。)=丁-冰以下结论正确的个数为()

①当。=0时，函数/*)的图象的对称中心为(0,-1)；

②当〃23时，函数/*)在(-1/)上为单调递减函数：

③若函数F*)在(-1,1)上不单调，则0<。<3；

④当。=12时，/*)在［-4,5］上的最大值为1.

A.1B.2C.3D.4

.r>-l

11.已知实数用),满足约束条件「,之二八，则2x-3)，的最小值是

.v-2y+2>0

2x-y-2<.0

12.集合,4={%卜2一工一24()},8={.4一1<0},则AU6=()

A.|x|x<1)B.|x|-l<x<1}

C.{小42}D.{x|-2«xvl}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为

8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学用餐平均用时为一分钟.

14.若幕函数犬的图象经过点(上，目，则其单调递减区间为.

3x-y-2>0

15.若实数x,)，满足约束条件x+y-240,则z=%+2y的最大值为.

x+4>'+4>0

16.已知实数。工0,对任意xeR,W(1-ov)5=a^+a^x+a^x1--Fax',且44+4=0,贝!)

%+4+%+…+%=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知二二W二，设函数二二二

⑺若=0,求的单调区间：

（〃）当二em+.时，二；二的最小值为0,求二十二的最大值.注：二二二一公二工.为自然对数的底数.

18.（12分）选修4.4：坐标系与参数方程

x=2cosa

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为｛.（a为参数）.以直角坐标系原点O为极点，x轴的

y=sina

正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为0cos（6-工）=2狡，点P为曲线C上的动点，求点P到直线I

4

距离的最大值.

x=tcosa、

19.（12分）在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为,.（，为参数，。£[0,万）.以坐标原点。为极

y=1+isinct

点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22=2夕CQS<9+3.

（1）求直浅/的普通方程和曲线C的直角坐标方程：

（2）若直线/与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=20.求直线/的方程.

20.（12分）如图，在直三棱柱A8C-A4cl中，A8=BC=4A=1,AC=6点DE分别为4c和耳。的中点.

（I）棱AA上是否存在点P使得平面PBD_L平面八砥？若存在，写出外的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

（II）求二面角A—。的余弦值.

21.（12分）已知椭圆。：二=1（。>6>0）的离心率为3,方是椭圆。的一个焦点，点”（0,2）,直线M尸的斜

cr十%

率为1.

（1）求椭圆C的方程;

（1）若过点M的直线/与椭圆。交于48两点，线段A8的中点为N,是否存在直线/使得|48b2|MN]?若存

在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

22.（10分）如图，已知E，『分别是正方形边BC,C。的中点，与AC交于点。，%,AC都垂直

于平面A8CQ,且Q4=A3=4，NC=）,历是线段以上一动点.

（1）当MO_L平面EFN,求的值;

（2）当M是Q4中点时，求四面体M—£FN的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

21191

所求一+；—的分母特征，利用1+5=5变形构造a+S-1）=4,再等价变形:（二+=）［。+（人-［）］,利用基本不

a^-14ab-\

等式求最值.

【详解】

解：因为满足〃+/>=5,

21

则nl二第=（宗士）［"（人呼；

年…),

当且仅当=’上时取等号,

b-\

故选：4.

【点睛】

本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的

技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的

定值为目标⑶拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

2、D

【解析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果.

【详解】

Vtana=—，

2

,,,1-1

ccos~a-sin~a1-tan~aA3

cos2a=—~-=r=~，

cos-a+sina1+tan-a1十।5

4

故选D

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化

能力，属于基础题型.

3、B

【解析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.

【详解】

因为加，"均为非零的平面向量，存在负数％,使得m=石7,

所以向量〃7,〃共线且方向相反，

所以而•/]<(),即充分性成立；

反之，当向量〃7,〃的夹角为钝角时，满足机•〃<(),但此时〃?，〃不共线且反向，所以必要性不成立.

所以“存在负数4,使得用=力?”是“mn<0”的充分不必要条件.

故选B.

【点睛】

判断P是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p,定义法

是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.

4、A

【解析】

利用P=4•计算即可，其中明表示事件A所包含的基本事件个数，〃为基本事件总数.

n

【详解】

从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有C；种不同结果，

C;1

由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为-4二一.

37

故选；A.

【点睛】

本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

5、B

【解析】

求出复数二，得出其对应点的坐标，确定所在象限.

【详解】

由题意=一"。对应点坐标为(二，3,在第二象限.

1-1(1-1)(1+1)2222

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题.

6、D

【解析】

由公差d=2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.

【详解】

等差数列｛〃“｝的公差为-2,可知数列单调递减，则出，生，由中。，最大，为最小，

又生，的，4为三角形的三边长，且最大内角为120。，

由余弦定理得a；=d+婚+。必，设首项为.，

即(4一以=(a,-4)2+(a,-6)2+(a,-4)出-6)=0得(q-4)(4—9)=0,

所以4=4或4=9,又q=a「6>0,即a1>6,4=4舍去，故％=9,d=-2

前〃项和S〃=9n+X(-2)=-(/7-5)2+25.

2

故，的最大值为邑=25.

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.

7、D

【解析】

31

先化简得二=g+gi,再求|z|得解.

【详解】

2i_2i(l-3i)=3l_.

-io~-551,

所以izi=/0.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8、C

【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前〃项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,

公差为5x7=35的等差数列，记数列也｝

则q=23+35(〃-1)=35〃-12

2

令4=35〃-12工2020,解得〃W58一.

35

CQ57

故该数列各项之和为58x23+卫xx35=59189.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

9、C

【解析】

画出函数)，=411心和)，=一妹下的图像，)，=sin也和)，=一丞匕均关于点(1,0)中心对称，计算得到答案.

【详解】

2(x-l)sin^x+l=0,验证知x二|不成立，故sinix=一」，

2(1)

画出函数¥=5而心和y=~:的图像，

2(x7)

易知：y=sin心和)，=-丞匕均关于点(1,0)中心对称，图像共有8个交点,

故所有解之和等于4x2=8.

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点(1,0)中心对称是解题的关键.

10、C

【解析】

逐一分析选项，①根据函数)，=『的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件,

则极值点必在区间(-W);④利用导数求函数在给定区间的最值.

【详解】

①y=F为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数/(x)的图象的对称中心为正确.

②由题意知=因为当—lv.rvl时，3V<3，

又所以/'(X)〈。在(-1,1)上恒成立，所以函数f(x)在(-1,1)上为单调递减函数，正确.

③由题意知/(*)=3/-。，当“M0时，，(x)》(),此时/(X)在(一8,80)上为增函数，不合题意，故々>0.

令尸(x)=0,解得入=±叵.因为/*)在上不单调，所以。。)=0在上有解,

3

需0〈叵<1,解得0v〃v3,正确.

3

④令/'(心=3/-12=0,得工=±2.根据函数的单调性，/3)在［-4,5］上的最大值只可能为了(—2)或/(5).

因为八-2)=15,/(5)=64,所以最大值为64,结论错误.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.

11、B

【解析】

作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，

21?1

设z=2x-3y,则—易知当直线y=经过点。时，z取得最小值，

12、C

【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.

【详解】

解得集合4={x|(x-2)(x+l)<0}={x\-\<x<2}tB={x|x<1}

所以Au8={x|x<2},故选C.

【点睛】

本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、7.5

【解析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.

【详解】

7x6+14x7+15x8+4x10

,=/.5

7+14+15+4

故答案为：7.5

【点睛】

此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.

14、（0,+<o）

【解析】

利用待定系数法求出基函数/*）的解析式，再求出/（X）的单调递减区间.

【详解】

解：基函数/（x）=x”的图象经过点（&T）,

则（&）£,

解得。=-2；

所以/'（x）=/,其中X«TQ,0）U（（）,+»）；

所以/（X）的单调递减区间为（0,+8）.

故答案为：（0,+8）.

【点睛】

本题考查了寤函数的图象与性质的应用问题，属于基础题.

15、3

【解析】

作出可行域，可得当直线Z=x+2），经过点4（1,1）时/取得最大值，求解即可.

【详解】

作出可行域（如下图阴影部分），联立可求得点

当直线z=x+2.y经过点4(1,1)时,2四=1—2x1=3.

故答案为⑶

【点睛】

本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，属于基础题.

16、-1

【解析】

由二项式定理及展开式系数的求法得4C；（-"+C；（-a）2=0,又。工（），所以。=2,令x=l得:

（1一2xl）5=4+4+生+/+%，所以/+4+生+%+4+4=一1，得解.

【详解】

52

由（1-ax）=%+«|X+a2x+…+45f，且4%+%=0，

则4c（一）+。；（-4-0,

又aH0,

所以。=2,

令x=l得：

（1一2xI），=%+%+/+ai+（14+%，

所以4+G+«2+%+〃4+6=-1，

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17,⑺详见解析，（〃）2V-

【解析】

⑺求导得到二'（二；=二二-二讨论二V雄二〉刷种情况，得到答案.

（//）二（。二、二一：二一三二故二二工二、二取口=¥，口■号，求导得到单调性，得到匚（二）1a二《）=0

得到答案.

【详解】

⑺二（二:二二二-二口，二（二）=二：一二

当二时，二工二=二广二之二恒成立，函数单调递增：

当二〉刷，二'（二）=：：1一二=（，口=皿，当口时，口（匚）＜0函数单调递减；

当二w：工二.十.二时，=（二＞涵数单调递增.

综上所述：二三。时，二二在二上单调递增；二）。时，二.口在〔一6出二）上单调递减，在k二十功上单调递增.

（//）二:二二二二-二二I-二、二;m滁二W[〃+H）上恒成立；

・二:（3=、二二二之&故二*、弓二二，

现在证明存在二二二+、5二二，二，使二（匚的最小值为0.

取二=手，二=?，（此时可使二,（寺=今，

口口=展一匚一焉二烦=峭一1?^7?口=苧〃

故当二€8+工〕上时，:；+.□、：：•+,；之上e二之：,故二二二＞0,

二「在二€。・工止单调递增，»=。，

故二（二在"0上单调递减，在:+N让单调递增，故二1二）二二二

综上所述：二-、S二的最大值为一二

【点睛】

本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

x+y=4(2)4皿=2&+芈

18、(1)—+/=!,

4’

【解析】

试题分析：利用QCOS。=x,ps\n0=y将极坐标方程化为直角坐标方程：?cos(。一f)=272化简为pcose+psinO

4

=1,即为x+y=L再利用点到直线距离公式得：设点P的坐标为(2cosa,sina),得P到直线I的距离

|2cosa+sin(z-4|42近+叵

62

试题解析：解：夕cos(9-工)=2夜化简为pco§0+psin0=1,

4

则直线1的直角坐标方程为x+y=l.

11

设点P的坐标为(2cosa,sina),得P到直线1的距离d二国。。,。*：[。4|12五十』@,

V22

.__/TVio

dnwx=2>/2H-------

2

考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式

19、(1)见解析(2)x-y+\=0

【解析】

x=tcosa、、e

(1)将J..消去参数，可得直线的普通方程，利用X=pcos0,p2-x2+y2可将极坐标方程转为直角坐标

y=I+tsina

方程.(2)利用直线被圆截得的弦长公式|A8|=2j7彳计算可得答案.

【详解】

[x=tcosa、

(1)由〈，,消去参数f得玄山。一ycosa+cosa=0(aG[O,^J),

[y=\+tsina

由=2pcos0+3得曲线C的直角坐标方程为：X2+/-2X-3=0

(2)由9十9一2工一3二0得(汇-1)2+)，2=4,圆心为(1,0),半径为2,

\sifia+cosa\

圆心到直线的距离为d=、J=\sina+cosc^\,

\Jsitra+cosa

|人网=2v4-J2=2V2,即^2—{4一(sina+cosa)?，整理得

sin2a=1,Vere[0,乃）,2ae[0,2/r）,,«=—,

所以直线/的方程为：x-y+l=0.

【点睛】

本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与

计算能力，属于基础题.

20、（I）存在点尸满足题意，且幽==，证明详见解析；（II）—.

419

【解析】

（I）可考虑采用补形法，取4G的中点为产，连接上八AF,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

即8Z）_LA尸，若能证明A尸_L/Y）,则可得证，可通过用△MD6用我们反推出点尸对

应位置应在以==3处，进而得证；

4

（II）采用建系法，以。为坐标原点，以DRDC,OF分别为弟Vz轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解：

【详解】

3

（I）存在点，满足题意，且

4

证明如下：

取AG的中点为F,连接ERAF,DF.

则所〃所以A77U平面ABE.

因为45=8C,。是AC的中点，所以40J_AC.

在直三棱柱AAC-A用G中，平面人BC1平面ACG，且交线为AC,

所以30,平面4CG，所以8。_14斤.

在平面ACG内,—=—=^,ZE4D=ZADF=90°.

ADDF2

所以RAPAI3R1AADF,从而可得A/_LPO.

又因为PDcBD=D,所以4尸_1_平面080.

因为平面ABE,所以平面尸801平面ABE.

(II)如图所示，以D为坐标原点，以DRDC,OF分别为％y，z轴建立空间直角坐标系.

易知Q（0,0,0）,By,0,0,彳0,一堂,0,

/\一,

所以8E=R%)],=%=o.ol

\Q4/\乙乙/、乙)/

设平面4石的法向量为/"=(x,y,z),则有

nrBE=--x+—y+z=0,

44取)'=2,得〃?=126.2,-6).

in-AB=—x+—^~y=0.

22,

同理可求得平面BOE的法向量为〃=(。，4,-G).

m-n8+311

则"〃=丽=标瓦标=后

由图可知二面角A—8£—。为锐角，所以其余弦值为

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题

22

21、(1)—+^-=1(1)不存在，理由见解析

43

【解析】

(1)利用离心率和过点时(