八年级下册北师大第1章三角形测试

三角形测试

一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）

1.（3分）能使两个直角三角形全等的条件是（）

A.斜边相等B.一锐角对应相等

C.两锐角对应相等D,两宜角边对应相等

2.（3分）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是AABC的（）

A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高的交点D.三边中线的交点

3.（3分）如图，由N1=Z2,BC=DC、AC=EC,最后推出^ABC^△EDC的根据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

4.（3分）△ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC边于点D,ZBDC=75°,则NA的

度数是（）

A.35°B.40°C.70°D.110°

5.（3分）下列两个三角形中，一定全等的是（）

A.有一个角是40。，腰相等的两个等腰三角形

B.两个等边三角形

C.有一个角是100。，底用等的两个等腰三角形

D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形

6.（3分）适合条件NA=lzB=-lzC的仆ABC是（）

23

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

7.（3分）有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由

于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍〃请你

计算后帮小明在标牌的'■"填上适当的数字是（）

A.3米B.4米C.5米D.6米

8.（3分）一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

9.（3分）如图,FD_LAO于D,FE±BO于E,下列条件:①OF是NAOB的平分线;②DF=EF；

③DO二EO；@ZOFD=OFE.其中能够证明△DO悭△EOF的条件的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分3（）分）

II.（3分）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小

关系是.

12.（3分）若等腰三角形的一个底角为50。，则它的顶角为度.

13.（3分）若等腰三角形•腰上的高等于腰长的•半，则这个等腰三角形底角的度数为一

14.（3分）如图，△ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于D,若DO7,则点D

到AB的距离DE=.

15.（3分）如图，ZABC=ZDCB,需要补充一个直接条件才能使4AB8△DCB、甲、乙、

丙、丁四位同学填写的条件分别是:甲“AB=DC"；乙"AC=DB"；丙"NA=ND"；丁

"NACB=ZDBC".那么这四位同学填写错误的是.

16.（3分）用反证法证明"三角形中至少有一个角不小于60。时，假设""，则

与""矛盾，所以原命题正确.

17.（3分）补全“求作NAOB的平分线”的作法：①在0A和OB上分别截取OD、OE,使

OD=OE；②分别以D、E为圆心，以为半径画弧，两弧在NAOB内交于

点C；③作射线OC即为NAOB的平分线

18.（3分）一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测.得某

灯塔位于它的北偏东30。的B处，如图所示，上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北

方向，此时它与灯塔的距离是海里（结果保留根号）.

19.（3分）如图，已知在△ABC中，ZA=90°,AB=AC,CD平分NACB,DE_LBC于E,

若BC=15cm,贝必DEB的周长为cm.

20.（3分）如图是2002年8月在北京召开的第24屈国际数学家大会的会标，它是由4个

相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2,则直角三角

形的两条直角边的和是cm.

三、解答题（共6小题，满分60分）

21.（8分）己知：如图，ZA=ZD=90°,AC=BD.求证：OB=OC.

22.（8分）如图，ZOBC=ZOCB,ZAOB=ZAOC,请你写一个能用全部已知条件才能推

出的结论，并证明你的结论.

23.（10分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点

E,使CE=CD.求证：BD=DE.

24.（10分）已知：如图，△ABC中，AB=AC,NA=120度.

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不

写作法）.

（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.

RA

25.（12分）（2002•曲靖；阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且/BAE二NCDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，

观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形口，且它们分别所在的两个三角形也

不全等.因此，要证AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一部，对原题进行证明.

F

(1)

(3)

26.（12分）已知：如图，点C为线段AB上一点，ZkACM、△CBN是等边三角形，可以

说明：△ACN空△MCB,从而得到结论：AN=BM.

现要求：

（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180。，使A点落在CB上.请对照原题图在下图

中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM〃是否还成立？若成立，请给予证明；若不成

立，请说明理由；

（3）在（I）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断AABD与四

边形MDNC的形状，并说明你的结论的正确性.

参考答案与试题解析

一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）

1.（3分）能使两个直角三角形全等的条件是（）

A.斜边相等B.一锐角对应相等

C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等

解解：A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误.

答：B、C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B、C选项错误.

D选项的根据是全等三角形判定中的斜边直角边定理，简称HL.

故选D.

2.（3分）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是AABC的（）

A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高的交点D.三边中线的交点

解解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.

答：故选A.

3.（3分）如图，由N1=Z2,BC=DC>AC=EC,最后推出^AB8△EDC的根据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

解解：:Nl=z2

答：ZACD+Z2=ZACD+Z1,即/ACB=ZECD

又BC=DC,AC=EC

△ABS△EDC（SAS）

故选A.

4.（3分）△ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC边于点D,ZBDC=75°,则NA的

度数是（）

A.35°B.40°C.70°D.110°

解解：设/A的度数是x,则/C二NB二丑上

答:2

■「BD平分/ABC交AC边于点D

...zDBC=180-X

4

.180-x+lSQ-x+75=j8QO

24

一.x=40°

「•zA的度数是40,

故选B.

5.（3分）（2009•滕州市一模）下列两个三角形中，一定全等的是（）

A.有一个角是40。，腰相等的两个等腰三角形

B.两个等边三角形

C.有一个角是100。，底用等的两个等腰三角形

D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形

解解：A、不正确，没有指明该角是顶角还是底角；

答：B、不正确，虽然其角相等，但边不一定相等；

C、正确，分析得该角不顶角，符合判定SAS；

D、不正确，没有指明边与角具体是腰还是底边，是顶角还是底角.

故选C.

6.（3分）适合条件/A=lzBJ/C的^ABC是（）

23

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

解：ZA」NB=lzC,

答：23

ZB=2zA,ZC=3zA,

/ZA+ZB+ZC=180°,BP6ZA=180°,

zA=30。，

/.zB=60°,zC=90°,

・•.△ABC为直角三角形.

故选B.

7.（3分）有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由

于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍〃请你

计算后帮小明在标牌的穹''填上适当的数字是（）

A.3米B.4米C.5米D.6米

解解：因为是一块正方形的绿地，所以NC=90。，由勾股定理得，AB=25米，

答：计算得由A点顺着AC,CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31

-25=6米.

8.（3分）一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

解解：如图，CA、CB的中点分别为D、E,CA、CB的垂直平分线OD、0E相交于点

答：O,且点O落在AB边上，

连接CO,

••・OD是AC的垂直平分线，

0C=0A,

同理OC=OB,

••OA—OB—OC>

」.A、B、C都落在以0为圆心，以AB为直径的圆周上，

・•.C是直角.

故选C.

10.（3分）如图，FD_LAO于D,FEJ_BO于E,下列条件：①OF是/AOB的平分线；

②DF二EF；（3）DO=EO：④NOFD=OFE.其中能够证明△D0F2△EOF的条件的个数有

解解：(1);OF是/AOB的平分线，

答：/.ZDOF=ZEOF.

又,.FDLAO于D,FE_LBO于E,OF=OF,

△DOa△EOF.(AAS)

(2)•.FDLAO于D,FE_LBO于E,DF=EF,OF=OF,

/.OD=OE.

△DOm△EOF.(SSS)

(3)「FD_LAO于D,FE_LBO于E,DO=EO,OF=OF,

△DOm△EOF.(HL)

(4)..^33_人0于口，FEJ_BO于E,ZOFD=OFE,OF=OF,

DOF要AEOF.(AAS)

「•能够证明aDO也△EOF的条件的个数有四个.

故选D.

二、填空题(共10小题，每小题3分，满分30分)

11.(3分)在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小

关系是PA=PB二PC.

解解：边AB的垂直平分线相交于P,

答：PA=PB,

•二边BC的垂直平分线相交于P,

PB=PC,

/.PA=PB=PC.

故填PA=PB=PC.

12.(3分)(2009•贵港)若等腰三角形的一个底角为30、则它的顶角为80度.

解解：•••等腰三角形底角相等，

答：1800-50°x2=80°,

..•顶角为80°.

故填80.

13.(3分)(2002•烟台)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底

角的度数为15或75。.

解解.：(1)当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，

BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=」AB,

根据直角三角形中30。角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30。，此时底角

为75。；

（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，

2.

BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=2AB,

2

根据直角三角形中30。角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30。，

此时顶角是150%底角为15。.

故其底角为15。或75°.

14.（3分）如图，△ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于D,若DC=7,则点D

到AB的距离DE=7.

CDR

解解：:N090°,AD平分/BAC,点D到AB的距离DE,

答：/.DE=DC=7.

故填7.

15.（3分）如图，ZABC=ZDCB,需要补充一个直接条件才能使△ABC2△DCB.甲,乙、

丙、丁四位同学填写的条件分别是:甲“AB=DC"；乙"AC=DB"；丙2A=ND"；丁

VACB=ZDBC〃.那么这四位同学填写错误的是」

解解：根据全等三角形的判定定理可知：SSA不能判定两三角形全等，因此乙的条件

答：不正确.

故本题的答案为：乙.

16.（3分）用反证法证明"三角形中至少有一个角不小于60。时，假设“三角形的三个内角

都小于60。",则与"三角形的内角和是180°”矛盾,所以原命题正确.

解解：用反证法证明〃三角形中至少有一个角不小于60。时，假设“三角形的三个内角都

答：小于60。〃，则与“三角形的内角和是180。〃矛盾•，所以原命题正确.

17.（3分）（2003•黄石）补全“求作NAOB的平分线〃的作法：①在OA和OB上分别截取

OD、OE,使OD=OE；②分别以D、E为圆心，以

大于］DE的长为半径画弧,两弧在NAOB内交于点C；③作射线OC即为NAOB的

平分线

解解：根据三角形两边之和大于第三边的性质可知，

答：画的时候，为了让两条弧有交点，必须是以大于2DE的长为半径画弧.

2

18.（3分）（2003•南通）一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船

在A处测得某灯塔位于它的北偏东30。的B处，如图所示，上午9时行至C处，测得灯塔

恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是_20A足海里（结果保留根号）.

解：在直角△ABC中，ZBAC=60°,AC=20海里，tan/BAC二"，

答：AC

所以BC=AC・tan6()°=2W5®里.

19.(3分)如图，已知在△ABC中，ZA=90°,AB=AC,CD平分/ACB,DEJ_BC于E,

若BC=I5cm,则△DEB的周长为15cm.

解解：:CD平分NACB

答：ZACD=ZECD

DE_LBC于E

ZDEC=ZA=90°

---CD=CD

/.△ACD合△ECD

•.AC=EC,AD=ED

1/ZA=90°,AB=AC

ZB=45°

/.BE=DE

△DEB的周长为：

DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BO15cm.

20.（3分）如图是2002年8月在北京召开的第24屈国际数学家大会的会标，它是由4个

相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2,则直角三角

形的两条直角边的和是」

解解：设直角三角形的两条直角边是a,b

答：fa2+b2-52

根据题意得：a十°

2ab=52-4

两个方程相加，得（a+b）2=100,解得：a+b=10cm.

三、解答题（共6小题，满分60分）

21.（8分）已知：如图，NA=/D=90。，AC=BD.求证：OB=OC.

解证明：•./A=ND=90°,AC=BD,BC=BC,

答：/.RtABA8RSCDB.

・•.ZACB=ZDBC.

/.ZOCB=ZOBC.

OB=OC（等角对等边）.

22.（8分）如图，ZOBC=ZOCB,ZAOB=ZAOC,请你写一个能用全部已知条件才能推

出的结论，并证明你的结论.

答：证明如下：

1/ZOBC=ZOCB,

OB=OC.

又「ZAOB=ZAOC,OA=OA,

/.△AOB些△AOC.

AB=AC.

23.（10分）（201（）•衡阳）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延

长线上取一点E,使CE=CD.求证：BD=DE.

解证明：・・•△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，

答：BD_LAC,BD平分/ABC,ZDBE=」NABC=30°.

2

■「CD=CE,

ZCDE=ZE.

/ZACB=60°,且NACB为ACDE的外角，

/.ZCDE+ZE=60°.

ZCDE=ZE=30°,

ZDBE=ZDEB=30°,

/.BD=DE.

24.（10分）已知：如图，△ABC中，AB=AC,NA=120度.

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不

写作法）.

（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.

解证明：(1)作图如下：

答：

(2)CM=2BM

证明：连接AM,则BM=AM

AB=AC,ZBAC=I2O°

/.ZB=ZC=30%ZMAB=ZB=30%ZMAC=90°

AM二％M,故BM」CM,

22

即CM=2BM.

25.（12分）（2002•曲靖；阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且NBAE=/CDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，

观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形口，且它们分别所在的两个三角形也

不全等.因此，要证AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.

D

A

BEC

解证明：方法一：作