高考复习数学多维层次练42

多维层次练42

［巩固提升练］

i.(多选题)有下列四个命题，其中不正确的命题有()

-A-A-A-A

A.已知A,B,C,。是空间任意四点，则A8+5C+CD+D4=

0

—►—►—►—A—►-►

B.若两个非零向量AB与CD满足A8+CD=0,贝!|4B〃CD

C.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这

两个向量不是共面向量

D.对于空间的任意一点。和不共线的三点A,B,C,若OP=

-A-►-A

xOA+yOB+zOC(x9y9zeR),则尸，A,B,C四点共面

-A—►

解析：对于A,已知A,B,C,。是空间任意四点，则A6+5C+

—►—►-A―A—►—►

CD+DA=O,错误；对于B,若两个非零向量4〃与CO满足A〃+CD=

―►—►

0,则A5〃C0,正确；对于C,分别表示空间向量的有向线段所在

的直线是异面直线，则这两个向量可以是去面向量，不正确；对于D,

—►-A—►

对于空间的任意一点。和不共线的三点A,B,C,^OP=xOA+yOB+

zOC(x9y9zeR),仅当x+y+z=l时，P,A,B,。四点共面，故

错误.

答案：ACD

―►-►—A—►―►—►

2.在空间四边形ABC。中，ABCD+ACDB+ADBC=()

A.-1B.0

C.1D.不确定

—►—►-►

解析：如图，令AC=b9AD=c,

则AB・CD+AC・ZZB+AZ>JBC=〃・(C—〃)+A・3—C)+C0—G)=G,C—

a*b+b*a-b・c+c*b-c*a—0.

答案：B

3.已知4(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点，OA+1OB

与03的夹角为120。，则2的值为（）

B.当

D.±76

2+A1

解析：04+205=(1,一九/),C°S12°。=旅两=一一

29

得2=±*，经检验2=?不合题意，舍去，所以2=—*.

答案：C

4.（2020•绵阳质检汝口图，在大小为45。的二面角4小尸・。中，四

边形CDEF都是边长为1的正方形，则比。两点间的距离

是（）

C.lD.V3-V2

-A-►-A-A

解析；因为AD=〃F+F£+E0,

-A-►―►―►—►—►―►—►—►-►

所以|BD|2=|BF|2+|F£|2+\ED|2+2BFFE+2FEED+2BFED=

1+1+1—也=3-也,

―►

故出。1=勺3-血.

答案：D

5.(多选题)已知点P是平行四边形A5CD所在的平面外一点，

—►—►—►

如果A3=(2,-1,-4),40=(4,2,0),AP=(—1,2,一1).下

列结论正确的有()

A.APLAB

B.APA.AD

—►

C.AP是平面A6co的一个法向量

D.AP//BD

-A-►

解析：对于A,AB-AP=2X(--l)+(-I)X2+(-4)X(-I)=0,

—►-A-A-A

所以APJ_A3,AP±AB9A正确；对于B,AP-AD=(-1)X4+2X

―►―►-►

2+(—l)X0=0.所以即AP_LAO,B正确；对于C,由AP_L

—►—►—►-►

AB,SLAPJ-AD,得出AP是平面A3CD的一个法向量，C正确；对

于D,由AP是平面A8CD的法向量，得出则D错误,故

选ABC.

答案：ABC

6.(多选题)已知A〃C»AiZ?iGDi为正方体，下列说法正确的是

()

—►―►—►-►

A.(AIA+AICI+AIBI)2=3(AIBI)2

—►—►-►

B.AiC-(AiBi-AiA)=O

—►—►

C.向量A。与向量A山的夹角是60。

―►—►—►

D.正方体ABCD-AiBiCxDi的体积为•AAvAD\

—►-A-A-A

解析：由向量的加法得到：AK+401+A山i=AC,因为AIC2=

―►-A—►—A—►

34M所以(402=3(461)2,所以A正确；因为—AiA=43i,

-A-A

ABi±AiC,所以4。4%=0,故B正确；因为△ACDi是等边三角形，

所以NAOiC=60。，又Ai3〃DiC,所以异面直线与AI所成的

—►—►

角为60。，但是向量ADi与向量的夹角是120。，故C不正确；因

—►—►—►—►-►

为AB±AA19所以4B・441=O,故|AB・441・AO|=0,因此D不正确.故

选AB.

答案：AB

7.设点C(2a+1,。+1,2)在由点P(2,0,0),4(1,一3,2),

6(8,-1,4)确定的平面上，则。=.

-►-A-A

解析：由共面向量定理知尸C=x/N+yP6,

即(2a—1,a+l92)=x(—1,—3,2)+j(6,—1,4),

2a-1=-x+6j,

即＜a+l=—3K—y,解得a=16.

、2=2x+4y,

答案：16

8.三棱柱中，M9N分别是A","Ci上的点，且

BM=2AXM9CIN=2HN.设AC=bfAAi=c.

(1)用用b,c表示向量MN为；

(2)若N5AC=90。，ZBAAi=ZCAAi=60°,AB=AC=AAI=19

则MN的长为.

ffff1ff1f1

解析:⑴由题图知MN=M4+AIZ?I+5IN=QA4I+A3+Q5IG=Q

JJJ

(C-a)+a+：S-G)=：a+；b+；c.

(2)由题设条件

因为(”+〃+c)2=〃2+〃2+c2+2a.〃+2b,c+2a・c=1+1+1+0+2X

!XlX-+2XlXlX-=5,所以|〃+b+c|=邓，\MN\=^\a+b+c\=

NNJ

迅

3・

答案：(l)j«+|6+jc⑵*

9.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=19ZACD=

90°,将它沿对角线AC折起，使4〃与CD成60。角，求外。间的

距离.

I)

解：因为N4c0=90。，所以4C・CO=0.

同理AC・8A=0.

因为4B与CD成60。角，所以〈区4,CD)=60。或120。.

—►-A-A—►—►—►-A-A

又因为Z?0=5A+AC+CD,所以|3O|2=|A4F+|ACF+|C0|2+

―►―A-A-A―►-A-►-A

2BAAC+2BAC«+2ACCn=3+2XlXlXcos<BA,CD).

-A-A-A

当<BA,CD)=60。时，BD2=4;

-A-A-A

当〈氏4,CD)=120。时，BD2=2.

-A

所以匹O|=2或/，即〃，。间的距离为2或，1

10.如图所示，已知四棱锥P/8CD的底面是直角梯形，ZABC=

ZBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面尸3C_L底面ABCD.

用向量方法证明：

(1)M±BD；

⑵平面R1DJ"平面PAB.

证明：（1）取3C的中点O,连接产。，

因为△PBC为等边三角形，所以PO_L〃C

因为平面PBCJ■底面A5C。，平面PBCfl底面ABCD=BC,POU

平面PBC,

所以POL底面ABQD.

以〃。的中点。为坐标原点，以3C所在直线为x轴，过点O

与AB平行的直线为y轴，。尸所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示.

不妨设C0=1,则AB=BC=29

PO=小,

所以所(1,-2,0),5(1,0,0),0(-1,-1,0),P(0,0,―),

―►—►

所以8。=(一2,-1,0),PA=(19-2,一小).

—►—►

因为BD・R4=(-2)Xl+(-l)X(-2)+0X(-5)=0,

所以所以

(2)取乃4的中点M,连接DM,则

(30,%PB=（l

因为OM=G，f0,一小),

1a

所以。必PB=：Xl+0X0+与X（一币）=0,

所以DM工PB,即。M_LP3.

因为OM・R4=;Xl+0X（-2）+Wx（-3）=0,

所以DMA.PA.

又因为RinPB=P,B4U平面RW,P5U平面RLB,

所以乃MJ•平面PAB.

因为OMU平面m。，所以平面B4DJ■平面以区

［绿合应用练］

11.（2020•成都调研）如图所示，在正方体A5CD.431GO1中，棱

长为〃，M,N分别为48和AC上的点，AiM=AN=*,则MN

与平面BBiCiC的位置关系是（）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.MN在平面8BC1C内

解析：以点G为坐标原点，分别以C/1,CiDi,GC所在直线

为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

历

由于AiM=AN=",

则告'9'戏'号

MN=ryO,'3

又C1O1J«平面B81GC,

-A

所以C101=(0,a,0)为平面881cle的一个法向量.

-A-►

因为"NGDi=0,

—►-►

所以MN_LGDi,又平面451clC,

所以MN〃平面BBiCC

答案：B

12.如图所示，正方形A5co与矩形4CE户所在平面互相垂直，

AB=也AF=l9M在EF上，且AM〃平面60E.则/点的坐标为

()

解析：设AC与BD相交于0点，连接0E,由AM〃平面BDE,

且AMU平面ACEF,平面ACEFCl平面5OE=OE,所以AM〃EO,

又。是正方形ABC。对角线交点，则。为AC中点,

所以M为线段Eb的中点.

在空间坐标系Cxyz中，E(0,0,1),F(V2,啦，1).

由中点坐标公式，知点M的坐标(坐，坐,1).

答案：C

13.如图，正方体由iGOi的棱长为1,E,产分别是棱

BC,上的点，如果6/_1_平面ABF9则CE与DF的和的值为

解析：以OiAi,DC,小。分别为k,j,z轴建立空间直角坐

标系，

设CE=x,DF=y9

则易知E(x,1,1),Bid,1,0),F(0,0,1-j),B(l,1,1),

所以HiE=(x-l,0,1),所以尸8=(1,1,y).

由于8[£J■平面Ab入

所以FB・bi£=(l,1,j)-(x-l,0,l)=0=x+y=l.

答案：1

14.在正三棱柱ABC-AxBxCx中，侧棱长为2,底面边长为1,

-►-A

M为8C的中点，CiN=2NC,且A8i_LMN,则2的值为.

解析：如图所示，取囱G的中点P,连接MP,以M为坐标原

-A-►-A

点，MC,MA,MP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直

角坐标系.

因为底面边长为1,侧棱长为2,

所以A0,害，0),

4一0,2),心0,0),0,2),M(0,0,0),

设心，0,，因为CiN=2NC,所以冲，0,隹，，

所以A%=(一/一半,2),MN=g«,高.

又因为A加_LMN,所以ABi・MN=0.

所以一;+4

=0,所以；1=15.

1+z

答案：15

2

15.如图，三棱锥P-4BC中，PAAB=PAAC=ABAC=d9PA=

AC2=4AB2.

H

(1)求证：A〃_L平面B4C；

⑵若M为线段PC上的点，设吧=九问当2为何值时，能使

\PC\

直线PC，平面

—►―►—►—A-A-►

(1)证明：因为B4・A5=B4・4C=A〃・4C=0,

所以R1_LA8,AB±AC9

因为mnAC=A,所以AZJ_L平面B4C.

(2)解：当M为PC的中点，即幺=；时，直线PC_L平面M4B.

以A为坐标原点，射线AC,AB,AP分别为x轴，y轴，z轴建

-A-►—►

立空间直角坐标系Axyz.由242=402=44区2可得RI=AC=2A5.设

AP=29则尸(0,0,2),A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,1,0),M(l,

AAA

0,1).PC=(2,0,-2),AM=(1,0,1),M3=(-l,1,一1).

—►—►—►-►

尸。・4〃=2*1+0乂0+(—2)*1=0,所以尸。_14时，即PC.LAM.

PC・MB=2X(-l)+0Xl+(-2)X(-1)=0,

—►—►

所以尸即尸C_L6M.

又因为AMDBM=M,所以尸CJL平面MA氏

［拔高创新练］

16.在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形

ABCD为等腰梯形，AB〃CD.

(I)在下歹!］四个条件：®AB=2BC9ZABC=60°,@AC.LFB9

③平面。。£尸_1_平面A5C0,④CF_L平面ABCD中任选2个证明AC

J_平面FBC；

(2)在⑴的结论下，判断线段E。上是否存在点使平面E4C

J_平面03C,证明你的结论.

解：(1)选①②，证明如下：

法一因为AB=2BC,ZABC=60°,

所以在△A3C中，AC2=AB2+BC2-2ABBCCOS600=3BC2,

所以4。2+〃。2=48。2=432,所以NACB=90。，

所以AC«L3C,5LAC±FB9FBC\BC=B9所以AC上平面FBC

法二在△ABC中，取AB中点G,连接CG,贝4BG=〃C,因

为NA〃C=60。，

所以ABCG为正三角形,所以NCG3=60。，AG=CG,NC4G=

ZACG=30°,

所以NACB=90。，所以AC»L3C.

又因为AC_LJFB,FBCBC=B,

所以ACJ■平面FBC.

选①③，证明如下：

因为AB=23C,ZABC=60°,

所以在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2ABBCCOS60°=3BC2,

所以4。2+4。2=45。2=442ZACB=90°,