第十七章 勾股定理（单元测试）（解析版）

第十七章勾股定理达标检测

一、单选题：

1.下面四组数，其中是勾股数组的是（）

A.3,4,5B.0.3,0.4,0.5C.32,42，52D.6,7,8

【答案】A

【分析】根据勾股数的定义：有"、6c三个正整数，满足"+〃=/的三个数，称为勾股数.由此判定即

可.

【详解】解：A、32+42=5,能构成勾股数，故正确：

B、0.3,0.4,0.5,不是正整数，所以不是勾股数，故错误：

C.（32）2+（42）2#（52）\不能构成勾股数,故错误；

D、62+72^82,不能构成勾股数，故错误.

故选：A.

【点睛】本题考竟了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数.

2.在中，Z4,NB,NC的对边分别记为小b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果那么AABC是直角三角形且NA=90。

B.如果NA:NZ?:NC=1:2:3,那么AABC是直角三角形

C.如果/：〃：/=9:16:25,那么△川3。是直角三角形

D.如果NA—N8=NC,那么△ABC是直角三角形

【答案】A

【分析】根据直角三角形的判定和勾收定理的逆定理解答即可.

【详解】解：A、如果/=/--即护-F+d,那么ziABC是直角三角形且NB=90。，选项错误，符合题意；

B、如果NA：ZB：ZC=I：2：3,由NA+N8+NO180。可得NA=90。，那么△ABC是直角三角形，选项

正确，不符合题意；

C、如果/：b2：/=9：16：25,满足/+〃=/,那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意：

D、如果/A-/B=NC,由NA+N3+NO180。，可得NA=90"，那么AAAC是直角三角形，选项正确，不符

合题意：

故选：A.

【点睛】本题考杳的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a,b,c满足

。2+/=/,那么这个三角形就是直角三角形.

3.如图，字母8所代表的正方形的边长是()

A.12cmB.15cmC.144cmD.306cm

【答案】A

【分析】根据勾股定理求出字母8所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案.

【详解】解：在也ADEF中,由勾股定理得，。产+E/=。炉，

，字母8所代表的正方形的面积=£产=。炉-0产=225-81=144(cm2),

・•・字母3所代表的正方形的边长=12(cm),

故选A.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是b,

斜边长为c,那么/+/=/是解决问题的关键.

4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是()

A.5B.25C.不D.5或77

【答案】D

【分析】分为两种情况：①斜边是4有•条直角边是3,②3和4都是宜角边，根据勾股定理求出即可.

【详解】解：如图，

分为两种情况：①斜边是4有•条直传边是3,

由勾股定理得：第三边长是用手=近：

②3和4都是直角边，

由勾股定理得：第三边长是曲至=5：

即第三边长是5或5，

故选：D.

【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边〃、b的平方和等于斜边c的

平方.

5.如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,R,C都在格点上，若是A/V?C

的边AC上的高，则3£）的长为（）

C.祥D.—

13

【答案】D

【分析】根据勾股定理计和AC的长，利用割补法可得4ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：由勾股定理得：AC="，T=JH，

7

*/SAABC=3X3-；乂1乂2-；x1*3x2＞：3=—,

2222

.」AC・BD=Z,

22

g・BD=7,

.\BD=-713.

13

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

6.如图，在矩形COE。中，点。的坐标是(1,3),则CE的长是()

A.3B.2亚C.x/10D.4

【答案】C

【分析】根据勾股定理求得。。=后，然后根据矩形的性质得出CE=OO=屈.

【详解】解：•・•四边形CO机是矩形，

：,CE=OD,

丁点。的坐标是(1,3),

•••OD=J〃+32=而，

:・CE=OD=M,

故选C.

【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

7.如图，一圆柱体的底面周长为10cm高人8为12cm,8。是直径，一只蚂蚁从点八出发沿着圆柱的表面

爬行到点C的最短路程为()

A.17cmB.13cmC.12cmD.14cm

【答案】B

【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答.

【详解】解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为10cm,

则AD=10X!=5(cm).

2

又因为C£)=AB=12cm,

所以AC=J122+52=13(cm).

故蚂蚁从点人出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm.

故选:B.

【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出宜角三角形是解题的关

键.

8.如图，已知“U?。中，^ABC=45Z,F是高A。和班:的交点，AC=M，BD=2,则线段。”的长度为

()

【答案】D

【分析】先证明△8。尸且/\人。。，得到8尸=4＞百，再根据勾股定理即可求解.

【详解】解：•・・人。和斯是△ABC的高线，

・•・ZADB=ZADC=ZZ?EC=90°,

:.NDBF+NC=90°,ZCAD+ZC=90°,

:.NDBF=/CAD,

,:NABC=45。，

:.ZBAD=45°,

:,BD=AD,

・••△BDFAADC,

；.BF=AC=&

在R；Z\5£)/中，DF=dBF?-BD，=#可-2?=1.

故选:D

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明叶丝△4DC是解题关键.

9.如图，在矩形A3c。中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点8落在点。处，则重叠部分△斗尸。的

面枳为()

B'

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】已知AO为产C边上的高，要求△AFC的面积，求得产C即“J,求证△AF*Z\C"&,得？F=DF,

设DF=x，则在中，根据勾股定理求x,于是得到b=8-OF,即可得到答案.

【详解】解：由翻折变换的性质可知：△ABC四△ABC,

AAB=AB,.BC=B'C,NB=N8'=90°,

•.•四边形ABC。为矩形，A8=8,BC=4,

AD=BC=4,ZD=Zfi=90°,CD=AB,=AB=S.

：.AD=B,C，ND=N9,

在△A。和中，

ND=NB，

<ZAFD=ZCFB',

DA=B'C

/.DF=BF，AF=CF,

设Z)F=x,则A/=B=C£)—OF=8—x,

在RJAAFO中，AF2=DF2+AD2^

・•・(8-X)2=X2+42,

解得：x=3,

/.CF=8-3=5,

Z.S6W人户=、2CFAO=L25X4=10.

故选:B.

【点睛】本题考查翻折变换一折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，应

用了方程的思想.本题通过设。F=x，在.用2X4m中运用勾股定理建立.关于x的方程并求解是解题的关键.

10.如图，在Rt^ABC中，AB=AC,ZBAC=9O0,点，E为8c上两点./DAE=45°,尸为AABC外一

点，且用_L8C,FA1.AE,则下列结论：

①CE=BF；®BD2+CE2=DE2;③S&ADE=；ADEF：©CE2+BE2=2AE2，其中正确的是()

A.①②®④B.©®®C.①®@D.②③

【答案】A

【分析】①利用全等.角形的判定得AAFB/AAEC,再利用全等：角形的性质得结论；②利用全等三角形

的判定和全等三角形的性质得FD=DE，再利用勾股定理得结论：③利用等腰三角形的性质得

ADJ.EF,EF=2EG,再利用三角形的面积计算结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计克得结

论.

【详解】解：如图：

对J①，因为N，BAC=9()C,FA±AE.ZDAE=45C,

所以NCAE=90。-OAE-NBAD=450-NBAD,

ZFAB=90°-^DAE-^BAD=45°-^BAD,

因此NCAE=NFAB.

又因为NBAC=90。，AB=AC,

所以/ABC=zfACB=45°.

乂因为FBLBC,所以/FBA=/ACB=45°.

因此△AFB/AAEC(ASA),所以CE=BF.

故①正确.

对于②，由①知人血丝AAEC,所以AF=AE.

又因为NDAE=45。，FA1AE.

所以NFAD=/DAE=45。，连接“D

因此△人厂。gAAED(SAS).

所以FD=DE.

在RlAFBD中，因为CE=BF,

所以BD2+CE2=BD2+BF2=FD2=DE2.

故②正确.

对于③，设E尸与交于G.

因为NFAD=/DAE=45。，AF=AE：

所以AD_LEF,EF=2EG.

=x

因U七S,\ADE=^XADxEG~ADxEF.

故③正确.

对于④，因为CE=BF,

又住RtAFBE中，CE2+BE2=BF2+BE2=FE2

又♦.•△AEF是以E"为斜边的等腰直角三角形，

所以EF?=2AE2

因此，CE2+BE2=2AE2

故④正确.

故选A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的而

积.

二、填空题：

11.如图所示，在数轴上点人所表示的数为。，则。的值为.

【答案】41

【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解.

【详解】解：如图：

由图可知：。/i=应，

・・•数轴上点A所表示的数为小

a=5/2，

故答案为：＞/2.

【点睛】本题考查了数轴和实数，勾段定理的应用，能读懂图是解此题的关键.

12.如图，每个小正方形的边长都相等，A,B,C是小正方形的顶点，则NABC的度数为.

【答案】45°

【分析】根据勾股定理得到八&BC,AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论.

【详解】解：如图，连接AC.

由题意，AC=物+)=若，BC=收+俨=石，八8=4+32=而,

：.AC=BC,AB2=AC2+BC2,

•••△ABC是等腰直角三角形，且NAC3=90。，

/.NA8C=NC48=45°.

故答案为：45°.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰宜角三角

形是解决本题的关键.

13.如图，在等腰△ABC中，AD是角平分线,E是48的中点,已知AB=AC=15cm.BC=18cm,则△力DE

的周长是cm.

【答案】27

【分析】先根据勾股定理求出AD的长，再根据中点的性质求解即可.

【详解】解：•.•在等腰△A8C中，AD是角平分线，E是A8的中点，

AE=-ABBD=-BCAD1BC

22

己知A5=AC=15cm.Z?C=18cm»

，BD=9DE=-AC=7.5AE=-AB=7.5

22

AD=y/AB--BD2=V152-92=12

△ADE的周长=AE+AD+DE=7.5+12+7.5=27

【点睛】此题重点考察学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14.如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇月〃生长在它的中央，高出水面的部分BC

为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部8恰好碰到岸边的8',则这根芦苇

的长度是尺.

【答案】13

【分析】设出A8=A/T=x尺，表示出水深AC,根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.

【详解】解：设芦苇长A8=/1斤=九尺，则水深AC=(x-l)尺，

因为底面是边长为10尺的正方形，所以ZTC=5尺

在此△48'C中,52+(X-1)2=A2,

解之得户13,

即芦苇长13尺.

故答案为：13.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关犍.

15.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,5C=8cm,现将直角边AC沿直线A。对折，使它

落在斜边A8上，且与AE重合，CO的长为.

C

D

B4-----------------------^4

【答案】3cm

［分析］由勾股定理求得A8=10cm,然后由翻折的性质求得B£=4cm,设DOxcm,则BD=(8-x)cm,DE=xcm,

在48。七中，利用勾股定理列方程求解即可.

【详解】解:•・•在RtZ\A8C中，两直角边AC=6cm,3C=8cm,

AB=7AC2+BC2=>/62+82=10(c/n).

由折叠的性质可知：DC=DE,AC=AE=6cm,/DEA=NC=90。,

：.BE=AB-AE=\()-6=4(cm),NDEB=9Q0,

设£)C=xcm,WOBD=(8-.r)cm,DE=xcm,

在RlZ\3E。中，由勾股定理得：BEhDE2=BD2,

即4?+f=(8-x)2,

解得：.r=3.

故答案为3cm.

【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，•元•次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和

勾股定理是解题的关键.

16.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们

仅仅少走了步(假设1米=2步)，却踩伤了花草.

【答案】4

【分析】根据勾股定理求出“路”的长度，再根据少走的“路”计算出少走的长度，得出所需步数即可.

【详解】解：由勾股定理可得：“路''的长度=7?==后=5(。1),

.•.3-4-5=2(m),

VI米=2步,

・•・少走了4步

故答案为:4.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关犍.

17.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一

个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169,且直角三角形中较短的直角边的长为5,则中间小正方形面积（阴

影部分）为.

【答案】49

【分析】设直角三角形中较长的直角边的长为a,利用勾股定理求得直用边的较长边，进一步求得阴影部分

的面积即可.

【详解】解：设直角三角形中较长的直角边的长为a,由题意得

a2+5:=169

解得：a=12,

则中间小正方形面积（阴影部分）为（12-5）2=49.

故答案为49.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用.

18.如图，在平面直角坐标系中，B,。两点的坐标分别为（-2,0）和（6,0）,“ABC为等边三角形，则点A的

【答案】（2,46）

【分析】过点4作AOJ_8c于/）,根据等腰三角形三线合一的性质可得8D=C7）,再求出点。的横坐标，然

后利用勾股定理列式求出A。的长度，再写出点A的坐标即可.

【详解】如图，过点4作于。，

:B、C两点的坐标分别为(-2,0)和(6,0),

：.BC=6-(-2)=8,

VZVIBC为等边三角形

：.AB=AC=BC=8,BD=CD=4,

•••点。的横坐标为6-4=2,

在RAABD中，AQ=J府-BI>=>/82-42=45/3，

所以，点A的坐标为(2,46)，

故答案为：(2,45/3).

【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了等腰三角形三线合•的性质，勾股定理，作辅助线构造出直角

三角形是解题的关键.

19.如图，等腰直角△ABOH，ZACB=90°,AC=BC=4,。为8c的中点，AD=2后,若尸为48上一个

动点，则PC+PD的最小值为.

【答案】2卡

【分析】根据中点的含义先求解8D作点C关于AB对称点C,则0c=0C,连接。C',交AB：TP,连

接5C',此时尸。十△7=尸£>十尸(7=。(7的值最小，山对称性可知/(73人=/(^84=45°,A4J.CC',「是得

到ZC*BC=90°,再证明BC=BC=4,然后根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：•••AC=BC=4,。为的中点，ZACB=90°,

:.CD=BD=2,/C3A=45。,

作点C关于AB对称点C',CC交A8于0,则OC=OU,连接0C',交AB于P,连接8C.

lit时PD+PC=PD+PC=DC的值最小.

由对称性可知NC3A=NCBA=45。，431CC；

NCBC=90。,

1.8C”_L8C,点C关于AB对称点C,

AAB垂直平分CC,

：.BC=BC=4,

根据勾股定理可得

DC=>/42+22=275.

故答案为：26.

【点睛】此题考查/轴对称•线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点

P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键.

20.如图，在RtAABC中，NACB=90。，AB=12cm,ZBAC=60°,动点M从点B出发，在BA边上以

每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从C出发，在CB边上以每秒6cm的速度向B匀速运动，

设运动时间为t秒(0VtV6),连接MN,若△BMN是等腰三角形，则t的值为.

【分析】分三种情形：①当MN=MB时②当BM=BN时③当MN=BN时，分别求解即可;

【详解】解：分三种情形：①当MN=MB时，作MH_LBC于H,则HB=HN.

在RiAABC中，VZA=60°,NC=90°,AB=12cm,

/.BC=AB«sin60°=673,ZB=30°,

VBM=2t,CN=5，

，BN=6有-石1=2（BM-cos30°）,

：.6S~\/3t=73t,

/.t=3.

②当BM=BN时，673-wl=2【，

.*.（=1273-18.

1Q

③当MN=BN时，同法可得：2l=2・（6亚・+l）・cos30°,解得t=1,

1Q

综上所述，若aBMlM是等腰三角形，则［的值为3s或（126-18）s或《s.

【点睛】本题考查勾股定理.，解宜角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用参数构

建方程解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题：

21.已知：如图，AB=4,AC=3,BD=T2,8=13,ABJ.AC,求四边形加比心的面积.

【答案】36

【分析】利用勾股定理求出8C,再利用勾股定理的逆定理证出△8C。是直角三角形，得到四边形的面积就

等于两个直角三角形的面枳之和.

【详解】•••NA=90。，AB=4,AC=3,

•,­DC-y/AC2+AD2-V32+42-5•

:BC=5,BD=\2,CD=13,

:.BC2+BD2=CD2，

•••△8CO是直角三角形，且斜边为CD,

S月功彩八比7)+S\JBCD=-xA«xAC+-x^CxD«=-x4x3+-x5xl2=36

2222

即四边形ABC。的面积为36.

【点睛】此题考杳的是勾股定理及勾段定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BC。是直角三角形是解

决此题的关键.

22.如图，将矩形A8CO沿直线人£折叠，顶点。恰好落在8c边上厂点处，已知CE=3cm,AB=Scm,求

图中阴影部分的面积.

【答案】30.

【分析】根据折置的过程以及矩形的对边相等，得：AF=AD=BC,DE=EF.然后根据勾股定理求得C/

的长，再设即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解.

【详解】解：•・•四边形ABCD是矩形，

/.AB=CD,AD=BC,

由折登可知△AOE和AAFE关于AE成轴对称，

故AF=AD,EF=DE=DC-CE=8-3=5cm.

在ACEF中，CF=7EF2-CE2=4cm,

设则4尸=八。=8。=(x+4)cm.

在R：Z\ABF中，由勾股定理，得8?+/=(x+4)2.

解得x=6,故5c=10.

所以阴影部分的面积为：10x8-2SaADE=80-50=30(cm2).

【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用

勾股定理解决问题是解题的关键.

23.如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳了•拉船靠岸，开始时绳了-8C的长为13米，此人以0.5

米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点。的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留

根号)

【答案】船向岸边移动了（12一a）米

【分析】在RtZkABC中，利用勾股定理计算出A8长，再根据题意可得C。长，然后再次利用勾股定理计算

出AD长，再利用BD=AB-AD可得80长.

【详解】解：♦.•在Ri△人中，ZC7iB=90°,BC=13米，AC=5米，

：.AB=7132-52=12（米），

由题意,得8=13-0.5x10=8（米）,

-'-AD=^CD--AC2=V64-25=x/39（米），

.♦.M=/W-AD=（I2一炳）米，

答：船向岸边移动了（12—a）米.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结

合的思想的应用.

24.如图，四边形ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=I,ZA=90°,求NADC的度数.

【答案】135。.

【分析】首先在Rt^BAD中，利用勾股定理求出BD的长，求出NADB=45。，再根据勾股定理逆定理在△

BCD中，证明ABCD是直角三角形，即可求出答案.

【详解】解连接BD,

在RiZXBAD中，

YAB=AD=2,

/.ZADB=45°,BD=JAD2+AB?=2&，

在ABCD中，

DB2-|-CD2=（2V2）2+l2=9=CB2,

••.△BCD是直角三角形，

・•・ZBDC=90°,

:.ZADC=NADB+NBDC=45°十90°=】35°.

故答案为135°.

【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出/ADB=45。，再求出/

BDC=90°.

25.如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋8的西8华里北7

华里处，他想把他的4牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

小河

牧血1，

东

□........・

8小屋

【答案】17华里

【分析】作出A点关于MN的对称点小，连接43交MN于点P,则AB就是最短路线，根据垂直平分纭的

性质，得出根据勾股定理得出43=17,即可求出最短路径.

【详解】解：作出4点关于MN的对称点4,连接48交MNT点P,则48就是最短路线，如图所示：

AM=AM=4,4A=8,A7)=15,

〈MN垂直平分AA，

/.A!P=AP,

V在RuABD中，AW=1在+BO?=152+8?=172,

A3=17,

/.AP+BP=ArB=\l（华里）.

答：牧童所走的最短里程是17华里.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理，根据题意作出最短路径，是解题的关键.

26.巳知正方形A8CD的边长为4,£为A8的中点，尸为A。上一点，且AQ：A。，试判断的形状.

4

A

E

【答案】△£尸C为直角三角形，理由见解析

【分析】因为正方形ABCD的边长为4,易得AF=1,则FD=3,DC=